2017年辽宁省丹东市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（3分）﹣5的相反数是（　　）

A． B．5 C．﹣ D．﹣5

2．（3分）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“静”字相对的汉字是（　　）

A．细 B．心 C．规 D．范

3．（3分）据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（　　）亿．

A．2.37×103 B．2.37×104 C．2.37×105 D．0.237×106

4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）

A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯

B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍

C．在地球上，上抛出去的篮球会下落

D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛

5．（3分）如图，直线l1∥l2，则α=（　　）

A．160° B．150° C．140° D．130°

6．（3分）下列计算结果正确的是（　　）

A．m3+m4=m7 B．（m3）4=m81 C．m4÷m3=m D．m4•m3=m12

7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=，则HC的长为（　　）

A．4 B． C． D．6

8．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点A（2，0）、B（0，4），点C在第一象限内，双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，则m的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay4=　 　．

10．（3分）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是　 　．

11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AD是△ABC的角平分线，若CD=，则△ABD的面积为　 　．

12．（3分）不等式组的解集为　 　．

13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN=1，BD=，则菱形的周长为　 　．

14．（3分）某班共有学生45人，其中男生的2倍比女生的3倍少10人．设该班的男生有x人，女生有y人，请列出满足题意的方程组　 　．

15．（3分）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒，当t为　 　秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．

三、解答题（每小题8分，共16分）

17．（8分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°

18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积（结果保留π）

四、解答题（每小题10分，共20分）

19．（10分）某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机调查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数；

（4）若已知该校有500名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？

20．（10分）小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演，骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟，且骑自行车的速度是步行速度的4倍，求小明步行的速度（单位：米/分）是多少？

五、解答题（每小题10分，共20分）

21．（10分）在一个不透明的盒子中，装有一个红球和两个白球，它们除了颜色外其余都相同，现任意拿出一个球，记下球的颜色，然后放回盒中，搅匀后再任意拿出一个球，记下球的颜色．

（1）若随机地从盒子中拿出一个球，则拿出“白球”的概率是　 　；

（2）请你用列表法或画树状图的方法，求恰好拿到“一红、一白”球的概率．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC=90°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若DF=2，DC=6，求BE的长．

六、解答题（每小题10分，共20分）

23．（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

24．（10分）某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？

（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？

七、解答题（本题12分）

25．（12分）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE=90°．

（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当BA=BC=2AC，DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

八、解答题（本题14分）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求ED的长；

（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；

（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年辽宁省丹东市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（3分）﹣5的相反数是（　　）

A． B．5 C．﹣ D．﹣5

【解答】解：﹣5的相反数是5，

故选：B．

2．（3分）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“静”字相对的汉字是（　　）

A．细 B．心 C．规 D．范

【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

∴“细”与“心”是相对面，“冷”与“规”是相对面，“静”与“范”是相对面．

故选：D．

3．（3分）据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（　　）亿．

A．2.37×103 B．2.37×104 C．2.37×105 D．0.237×106

【解答】解：由题可得：2.37万亿=23700亿=2.37×104．

故选：B．

4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）

A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯

B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍

C．在地球上，上抛出去的篮球会下落

D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛

【解答】解：A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件；B．任意买一张电影票，座位号是2的整数倍，是随机事件；

C．在地球上，上抛出去的篮球会下落，是必然事件；

D．打开电视机，任选一个频道，正在播放世乒赛，是随机事件；

故选：C．

5．（3分）如图，直线l1∥l2，则α=（　　）

A．160° B．150° C．140° D．130°

【解答】解：如图，∵∠β=180°﹣120°=60°，

∴∠ACB=60°+70°=130°，

∵直线l1∥l2，

∴∠α=∠ACB=130°，

故选：D．

6．（3分）下列计算结果正确的是（　　）

A．m3+m4=m7 B．（m3）4=m81 C．m4÷m3=m D．m4•m3=m12

【解答】解：A．m3+m4≠m7，错误；

B．（m3）4≠m81，错误；

C．m4÷m3=m，正确；

D．m4•m3≠m12，错误；

故选：C．

7．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=，则HC的长为（　　）

A．4 B． C． D．6

【解答】解：由旋转的性质可知：AC=AF，

∵D为AF的中点，

∴AD=AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD⊥CD，

∴∠ACD=30°，

∵AB∥CD，

∴∠CAB=30°，

∴∠EAF=∠CAB=30°，

∴∠EAC=30°，

∴AH=CH，

∴DH=AH=CH，

∴CH=2DH，

∵CD=AD=BC=6，

∴HC=CD=4．

故选：A．

8．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点A（2，0）、B（0，4），点C在第一象限内，双曲线y=（x＞0）经过点C．将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，则m的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．

【解答】解：作CH⊥x轴于H．

∵A（2，0）、B（0，4），

∴OA=2，OB=4，

∵∠ABO+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAH=90°，

∴∠ABO=∠CAH，∵∠AOB=∠AHC，

∴△ABO∽△CAH，

∴===2，

∴CH=1，AH=2，

∴C（4，1），

∵C（4，1）在y=上，

∴k=4，

∴y=，

当x=2时，y=2，

∵将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度，使点A恰好落在双曲线上，

∴m=2，

故选：A．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay4=　3a（x+y2）（x﹣y2）　．

【解答】解：原式=3a（x2﹣y4）=3a（x+y2）（x﹣y2），

故答案为：3a（x+y2）（x﹣y2）

10．（3分）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数是　3　．

【解答】解：∵数据2，x，4，3，3的平均数是3，

∴（2+x+4+3+3）÷5=3，

∴x=3，

把这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4，

则这组数据的中位数为3；

故答案为：3．

11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AD是△ABC的角平分线，若CD=，则△ABD的面积为　　．

【解答】解：作DE⊥AB于E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=CD=3．

∴△ABD的面积为×5×=．

故答案是：．

12．（3分）不等式组的解集为　x＞　．

【解答】解：

由①得，x＞，

由②得，x＞，

故不等式组的解集为：x＞，

故答案为x＞．

13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN=1，BD=，则菱形的周长为　8　．

【解答】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，

∴AC=2MN=2，

∴OA=1，OB=，

在Rt△ABO中，AB=，

所以菱形的周长为8，

故答案为：8

14．（3分）某班共有学生45人，其中男生的2倍比女生的3倍少10人．设该班的男生有x人，女生有y人，请列出满足题意的方程组　　．

【解答】解：根据题意可得，

故答案为：．

15．（3分）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为　100　．

【解答】解：由题意可得，

第一个图形的小圆点的个数为：3×3=9，

第二个图形的小圆点的个数为：4×4=15，

第三个图形的小圆点的个数为：5×5=25，

……

第十个图形的小圆点的个数为：10×10=100，

故答案为：100．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动；同时动点Q从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿B→C→A匀速运动．当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，过点P的一条直线与BC交于点D．设运动时间为t秒，当t为　或2或　秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．

【解答】解：∵∠A=90°，AC=3，AB=4，

∴BC=5，

分两种情况：

①当Q在BC上时，如图1，由题意得：PA=t，BQ=4t，

由B与Q对称可知：PD⊥BQ，BD=DQ=2t，

∴PB=PQ=4﹣t

∵∠PDB=∠A=90°，∠B=∠B，

∴△PDB∽△CAB，

∴，

∴，

∴t=；

②当Q在AC上时，如图2，CQ=4t﹣5，

∴AQ=AC﹣CQ=3﹣（4t﹣5）=8﹣4t，

连接BQ，

∵B、Q对称，

∴PD是BQ的垂直平分线，

∴PB=PQ=4﹣t，

Rt△PQA中，由勾股定理得：PQ2=PA2+AQ2，

（4﹣t）2=t2+（8﹣4t）2，

2t2﹣7t+6=0，

（t﹣2）（2t﹣3）=0，

t1=2，t2=，

∵Q在AC上，

∴＜t≤2，

t=2时，Q与A重合，如图3，

综上所述，当t为秒或2秒或秒时，将△PBD沿PD翻折，使点B恰好与点Q重合．

故答案为：或2或．

三、解答题（每小题8分，共16分）

17．（8分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°

【解答】解：原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4．

18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出此过程中线段BA扫过图形的面积（结果保留π）

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2BC2即为所求，

∵AB==、∠ABA2=90°，

∴此过程中线段BA扫过图形的面积为=π．

四、解答题（每小题10分，共20分）

19．（10分）某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机调查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数；

（4）若已知该校有500名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？

【解答】解：（1）调查的学生总数=20÷20%=100（名）；

（2）其它：10%×100=10（名），

足球：100﹣30﹣20﹣10=40（名），

补全条形统计图如下：

（3）“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数=×100%×360°=144°；

（4）爱好“足球”和“排球”的学生共有×100%×500=350（名）．

20．（10分）小明到离家2.8千米的学校参加文艺汇演，骑自行车到学校比他步行到学校用时少30分钟，且骑自行车的速度是步行速度的4倍，求小明步行的速度（单位：米/分）是多少？

【解答】解：设小明步行的速度为x米/分，则骑自行车的速度4x米/分．

由题意：﹣=30，

解得x=70，

经检验：x=70是分式方程的解．

答：小明步行的速度为70米/分．

五、解答题（每小题10分，共20分）

21．（10分）在一个不透明的盒子中，装有一个红球和两个白球，它们除了颜色外其余都相同，现任意拿出一个球，记下球的颜色，然后放回盒中，搅匀后再任意拿出一个球，记下球的颜色．

（1）若随机地从盒子中拿出一个球，则拿出“白球”的概率是　　；

（2）请你用列表法或画树状图的方法，求恰好拿到“一红、一白”球的概率．

【解答】解：（1）P白球=

故答案为：

（2）列表法：

从表中可以看出，可能出现的结果有9种．

其中出现一红一白的结果有4种

所以：P（一红一白）=

22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC=90°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若DF=2，DC=6，求BE的长．

【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴CD=DB，又CO=OE，

∴OD∥BE，

∴∠CEB=∠DOC=90°，

∴CE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：连接EF、ED，

∵BD=CD=6，

∴BF=BD﹣DE=4，

∵CO=OE，∠DOC=90°，

∴DE=DC=6，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠EFC=90°，

∴EF==4，

∴BE==4．

六、解答题（每小题10分，共20分）

23．（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

【解答】 解：过A作AD⊥BC，

在Rt△ACD中，tan∠ACD=，即CD==AD，

在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即BD==AD，

由题意得：AD﹣AD=75，

解得：AD=300m，

则热气球离底面的高度是300m．

24．（10分）某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？

（3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，

，得，

即y与x之间的函数关系式是y=﹣5x+200；

（2）由题意可得，

（x﹣20）（﹣5x+200）=375，

解得，x1=25，x2=35（舍去），

y=﹣5×25+200=75，

答：这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个；

（3）由题意可得，

ω=（x﹣20）（﹣5x+200）=﹣5（x﹣30）2+500，

∵20≤x≤32，

∴当x=30时，ω取得最大值，最大值是500．

七、解答题（本题12分）

25．（12分）已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE=90°．

（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当BA=BC=2AC，DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

【解答】解：（1）CD2+BD2=AD2，

理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE=DE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，

∴CD2+BD2=AD2，

（2）CD2+BD2=AD2，

理由：∵BA=BC=2AC，DA=DE=2AE，

∴，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵，

∴△BAD∽△CAE，

∴=2，

∴BD=2CE，

在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，

∴CD2+BD2=AD2，

（3）（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2，

理由：∵AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p，

∴DE=AD，△ABC∽△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∵，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∴CE=BD，

在Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，

∴CD2+BD2=AD2，

∴（mCD）2+（pBD）2=（nAD）2

八、解答题（本题14分）

26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求ED的长；

（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；

（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x﹣6；

（2）设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+，

当x=0时，y=x+=，则E（0，），

∴DE=+6=；

（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，

设P（m， m2﹣x﹣6），则Q（m， m+），

∴PQ=m+﹣（m2﹣x﹣6）=﹣m2+m+，

∴S=S△PAQ+S△PCQ=•6•PQ=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；

（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，

易得AH=AB=6，

∵AC===10，

∴CH=10﹣6=4，

∵cos∠ACB==，

∴CF==5，

∴F（4，3），

易得直线AF的解析式为y=x+1，

解方程组得或，

∴N点坐标为（，）；

当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴=，即=，解得OG=4，

∴G（0，﹣4），

易得直线AG的解析式为y=﹣2x﹣4，

解方程组得或，

∴N′的坐标为（，﹣），

综上所述，满足条件的N点坐标为（，）；（，﹣）．