学员编号： 年 级： 五年级 课时数： 3

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：

课题

定义新运算

教学目标

1. 理解新定义运算的涵义及分类

2. 掌握分析新定义运算的思路及解题方法

教学内容

【知识梳理】

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一、 定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝5 2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二、 定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型

3.观察规律型

4.其他类型综合

【分类型例题分析】

一、直接运算型

例 1 若表示，求的值

例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定： a⊕b= a+b-1，，那么

例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。

例 5 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。

例 6 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：

[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

二、反解未知数型

例 1 如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .

例 2 如果a⊙b表示，例如4⊙5=3×4-2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时， x= ？

例 3 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。

例 4 定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？

三、观察规律型

例 1 规定:6※2=6+66=72

2※3=2+22+222=246,

1※4=1+11+111+1111=1234.

7※5=

例 2 有一个数学运算符号，使下列算式成立：

，，，，求

四、综合型题目

例 1 如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即

⑴a+b=b+a；⑵(a+b)+c=a+(b+c)。

现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：(a,b)*(c,d)=(a×c＋b×d,a×c－b×d).

如：

请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

例 2 对于任意有理数x, y，定义一种运算“※”，规定:x※y=，其中的表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算。又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x(m≠0)，则m的数值是 _________。

【强化练习】

1. 设△，那么，5△______，(5△2) △_____.

2. “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。

3. 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。

4. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

5. 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗

规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．

那么：（猎人小兔）（山羊白菜） ．

6. 规定新运算※：a※b=3a-2b，若x※(4※1)=7，则x= .

7. 设表示两个不同的数,规定.求.

8. 定义运算“”为.求12(34).

9. 设表示两个不同的数,规定,如果已知4.求.

10. 定义新的运算⊖.求(1⊖2)⊖3.

11. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:2⊗4=10,5⊗3=18,3⊗5=14,9⊗7=34.求7⊗3=?

12. 定义新运算为.求的值.

13. 对于数规定运算“○”为x○.求7○(8○9)的值.

14. 设表示的3倍减去的2倍,即=,已知(41)=7.求.

15. 定义两种运算“”、“”,对于任意两个整数, ,

.计算的值.

16. 对于数规定运算“”为,若等式

成立,求的值.

17.表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:※,○.求(3※4)○5的值.

18. 设分别表示两个数,如果表示,照这样的规则,3[6(85)]的结果是什么?

小结 解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是对问题的理解及适应能力。