湖南省长沙市明德中学2021-2022高二数学下学期入学考试试题（含解析）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若集合，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．

【详解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝

∴A∩B＝

故选D．

【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )

A. 800 B. 1 000 C. 1 200 D. 1 500

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．

【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．

故选：C.

【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题．

3.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ）

A. 2 B. －2 C. 2,－2 D. 2,0,－2

【答案】C

【解析】

(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.

4.函数f（x）的图象大致为（ 　　）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.

【详解】因为f（x）=f（x），

所以f（x）是奇函数，排除B，C

又因为，排除D

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

5.已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（　 　）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.

【详解】因为β＜α，

所以，

所以，，

又因为cos（α﹣β），sin（α+β），

所以，

则sin2β.

故选：D

【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

取的中点，连接，

因为三棱锥的所有棱长都相等，分别是棱的中点，

所以，所以是异面直线与所成的角，

设三棱锥的所有棱长为，

则，，

所以，

所以异面与所成的角的余弦值为．

点睛：本题考查了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力．

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，则Sn最大时，n的值为（　　 ）

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数列{an}是等差数列，利用性质有，再根据，a10S21＜0，确定再求解.

【详解】因为数列{an}是等差数列，

所以，

因为首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，

所以，

所以.

所以n的值为10.

故选：B

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8.在△ABC中，，若，则λ+μ＝（　 　）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

△ABC中，根据，有，再由，利用待定系数法求解.

【详解】在△ABC中，因为，

所以，

又因为，

所以，

所以λ+μ＝.

故选：C

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.

【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

10.已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（ 　　）

A. 12 B. C. 15 D. 10+2

【答案】B

【解析】

【分析】

由a＞0，b＞0且2，利用“1”的代换，将3a+b转化为利用基本不式求解.

【详解】已知a＞0，b＞0且2，

则3a+b=（3a+b）=，

当且仅当且2，

即取等号，

所以3a+b的最小值为.

故选：B

【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．

【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，

∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；

②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；

③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；

④由 （an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，

当数列为：1，3，6，8，16……

得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；

故选C．

【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.

12.已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.

详解】

方程有三个不相等的实数根，

等价于和有三个不同交点，

因为,所以的周期为2，

由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:  

不妨设

当直线过时，的值分别为与1，

由图可知，时直线与的图象有三个交点，

时, 方程有三个不相等的实数根,

同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,

所以实数的取值范围是，故选C.

【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值

由平移可知，当过点时，在轴截距最大

由得：

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.

14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是 ；

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：如图所示，半径为的圆中，是正三角形，其边长为.显然，当点落在弧上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是．

考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．

15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．

【答案】

【解析】

【分析】

在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.

【详解】如图：

在平行四边形ABCD中，取的中点O，

则，，

则.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

16.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：

①；

②；

③f（x）的单调递增区间是；

④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____

【答案】①②④

【解析】

【分析】

先转化f（x）＝asin2x+bcos2x，根据f（x）对一切x∈R恒成立，得到是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为，

①由相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于对称.③根据是f（x）的最大值或最小值结合单调性判断.④由f（x）是奇函数，f（x）是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.

【详解】设f（x）＝asin2x+bcos2x，

因为f（x）对一切x∈R恒成立，

所以是f（x）的最大值或最小值.

又因为f（x）的周期为，

①为四分之一个周期，所以，故正确.

②因为，关于对称，所以，故正确.

③若是f（x）的最大值，则；f（x）的单调递减区间，故错误.

④由，所以函数不可能转化为f（x）或f（x）的形式，所以函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故正确.

⑤若存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则直线与横轴平行且，不成立，故错误.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题：（共六题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；

（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．

【答案】（1），s2；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据数据，利用平均数和方差的公式求解.

（2）先明确是古典概型，用列举法将总的基本事件数列出，再找出所研究事件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式求解.

【详解】（1）X＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为（8+8+9+10）＝8.75，

方差为s2[2×（8﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2]；

（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；

乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10；

分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），

（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A1，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A4，B4），

用C表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一件事，则C中的结果有4个，他们是：（A1，B1），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），

故所求概率为P（C）．

【点睛】本题主要考查了茎叶图和古典概型的概率，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

18.已知数列{an}满足，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的定义，判断数列是等差数列，并写出它的通项公式以及{an}的通项公式；

（2）根据数列{an}的前n项和定义，利用错位相减法求出Sn；

【详解】(1)证明：因an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，

即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.

(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n

＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.

所以Sn＝(2n－3)2n＋3.

【点睛】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，是综合性题目．

19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos（A）asin（B）＝0，且sinA，sinB，2sinC成等比数列．

（1）求角B；

（2）若a+c＝λb（λ∈R），求λ的值．

【答案】（1）B；（2）λ

【解析】

【分析】

（1）根据bcos（A）asin（B）＝0，由诱导公式化简bsinAacosB＝0，再由正弦定理可得：sinB sinAsinAcosB再消去sinA＞0求解.

（2）根据sinA，sinB，2sinC成等比数列．得到sin2B＝2sinAsinC，再由正弦定理转化为边有b2＝2ac，然后结合B，由余弦定理求解.

【详解】（1）∵bcos（A）asin（B）＝0，

∴bsinAacosB＝0，

∴由正弦定理可得：sinB sinAsinAcosB，

由sinA＞0，可得：sinBcosB，

即tanB，

∵B∈（0，π），

∴B．

（2）∵sinA，sinB，2sinC成等比数列．

∴sin2B＝2sinAsinC，

由正弦定理可得：b2＝2ac，

∵B，由余弦定理可得：

b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，

∴解得：（a+c）2＝5ac，

∵a+c＝λb（λ∈R），

∴（λb）2＝5ac，

解得：λ2b2＝2acλ2＝5ac，

解得：λ．

【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.如图，在四校锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4的正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，点E是AD的中点，点Q是侧棱PC的中点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD体积；

（2）求证：PA∥平面BDQ；

（3）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？

【答案】（1）16；（2）见解析；（3）存在，AF

【解析】

【分析】

（1）根据底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，边长为4，求面积，再由正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，，得到平面ABCD，PE是底面上的高，然后代入体积公式求解.

（2）由O是AC中点，点Q是侧棱PC的中点，根据中位线得到OQ∥PA，再利用线面平行的判定理证明.

（3）建立空间直角坐标系，设在线段AB上存在点F，且，求得相应点的坐标，进而得到向量的坐标，再利用直线PF与平面PAD所成的角为30°，代入线面角的向量法公式求解.

【详解】（1）

如图所示：连结PE，BE，

∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4，

∴S四边形ABCD＝AD×BE＝48，

又因为正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，

所以平面ABCD，

又PE2，

∴四棱锥P﹣ABCD的体积：VP﹣ABCD16．

（2）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OQ，

∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，

∵点Q是侧棱PC的中点，

∴OQ∥PA，∵PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，

∴PA∥平面BDQ．

（3）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

设在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，

且F（a，b，c），，即（a﹣2，b，c）＝（﹣2λ，2，0），λ∈[0，1]，

即a＝2﹣2λ，b＝2λ，c＝0，∴F（2﹣2λ，2，0），

因为平面PAD的法向量（0，1，0），

（2﹣2，﹣2），且直线PF与平面PAD所成的角为30°，

∴sin30°，

解得，符合λ∈[0，1]，

∴AF＝λAB．

∴在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，且AF．

【点睛】本题主要考查了几何体的体积，线面平行的判断定理和空间向量法研究线面角问题，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.

21.已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第一象限．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆相交于不同两点、，且，求实数的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题得和，解方程即得圆的方程；（Ⅱ）取的中点，则，化简得，即得m的值.

【详解】（Ⅰ）由，得圆的圆心为，

圆关于直线对称，①．

圆的半径为，②

又圆心在第一象限，，，由①②解得，，

故圆的方程为．

（Ⅱ）取的中点，则，

，

，即，又，解得．

【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.已知函数f（x），x∈R．

（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；

（2）当a＞0时，不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围；

（3）当a＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）a；（2）（]；（3）（，log4]

【解析】

【分析】

（1）根据f（x）是偶函数，有f（﹣x）＝f（x），得log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax化简求解.

（2）由a＞0，结合对数函数和一次函数的单调性，得到函数f（x）＝log2（2x+1）+ax是增函数，然后利用单调性的定义，将不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，转化为sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立，利用三角函数的性质求解.

（3）根据题意，有 f（0）＝1，将方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1，转化为f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．再利用函数的单调性，转化为变形为：1og4a，通过函数g（x）的图象与y＝a有2个交点求解.

【详解】（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），

则有log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax，变形可得2ax＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝﹣x，

解得a；

（2）当a＞0时，函数y＝log2（2x+1）和函数y＝ax都是增函数，则函数f（x）＝log2（2x+1）+ax为增函数，

∵不等式f（sinxcosx）﹣f（4+t）≥0，所以f（）≥f（4+t）对任意的x∈恒成立

∴sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立；

∴t≤2sin（x）﹣4对任意的x∈恒成立；

∴t≤（2sin（x）﹣4）min，x∈；

由x∈，得x∈[]，

∴当x时，sin（x）﹣4的最小值为4；

∴t；故t的取值范围为（]．

（3）根据题意，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax，有f（0）＝1，

则f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1即f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．

又由当a＞0时，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax增函数，

则有f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）＝0，

即log2（2x+1）﹣1og4（2x﹣1）＝a，

变形可得：1og4a，设g（x）＝1og4，

若方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，

对于g（x）＝1og4，设h（x），则h（x）（2x﹣1）4．

又由1≤x≤2，则1≤2x﹣1≤3，则h（x）min＝8，h（1）＝9，h（2），则h（x）max＝9，

若函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，

必有log48a≤log4，

故a的取值范围为（，log4]．

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.