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    2021年四川省德阳市中考数学试卷和答案-

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    2021年四川省德阳市中考数学试卷
    一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的. 1．（4分）﹣2的倒数是（ ） A．﹣2
    B．﹣
    C．2
    D．
    2．（4分）第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A．1.41178×107 C．1.41178×109
    B．1.41178×108 D．1.41178×1010
    3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．a3+a4＝a7 C．（a3）4＝a7
    B．a3•a4＝a12 D．（﹣2a3）4＝16a12
    4．（4分）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，则∠MPB＝（ ）

    A．30°
    B．60°
    C．120°
    D．150°
    5．（4分）下列说法正确的是（ ）
    A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查 B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查 C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件

    第1页（共27页）





    D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
    6．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是CD中点，连接OE（ ）

    A．AB＝AD EOD＝∠EDO
    7．（4分）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（ ） A．平均数是2 B．众数是1
    C．中位数是3 D．方差是1.6
    B．OE＝AB
    C．∠DOE＝∠DEO D．∠8．（4分）图中几何体的三视图是（ ）

    A． B．

    C． D．
    9．（4分）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ） A．y＝﹣2x C．y＝（x＜0）
    B．y＝﹣2x+3

    D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
    10．（4分）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展第2页（共27页）





    开图的圆心角为（ ） A．30°
    B．60°
    C．120°
    的解为D．150° （a，b）总在11．（4分）关于x，y的方程组直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ） A．k＞1
    B．k＞﹣1
    C．k＜1
    D．k＜﹣1
    12．（4分）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，顶点D的坐标为（ ）

    A．（﹣，﹣）
    ）
    B．（，﹣） C．（﹣，D．（﹣，﹣）
    二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
    13．（4分）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ． 14．（4分）要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 ．
    15．（4分）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+第3页（共27页）





    ∠E＝430° 度．

    16．（4分）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为，则该矩形的周长为 ．
    的图象如图所示，若直17．（4分）已知函数y＝线y＝kx﹣3与该图象有公共点 ．

    18．（4分）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则h的取值范围是 ．
    三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
    19．（7分）计算：（﹣1）3+|﹣1|﹣（）﹣2+2cos45°﹣．
    20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况
    第4页（共27页）





    分数x频数频率
    （分） （人） 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70
    （1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图； （2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
    （3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法
    b
    0.12

    0.18
    60
    0.3
    80
    a

    第5页（共27页）





    21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B（x＞0）的图象上，过A （1）求k的值及点C的坐标；
    （2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD

    22．（10分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1． （1）求证：四边形MEB1N是平行四边形； （2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
    ，判
    23．（12分）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两第6页（共27页）





    种类型的休闲椅，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
    （1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
    （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅
    24．（12分）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，且∠CBF＝∠BOE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC

    25．（14分）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B． （1）求抛物线的解析式；
    （2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
    （3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N（2）的条件下，是否存在点M，请求出点M的坐标；若不存在
    第7页（共27页）




    第8页（共27页）








    答案

    一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的. 1．解析：根据倒数的定义求解即可． 答案：∵（﹣2）×（﹣）＝1， ∴﹣2的倒数是﹣， 故选：B．
    2．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 答案：141178万＝1411780000＝1.41178×109， 故选：C．
    3．解析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．
    答案：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误； B、a3•a4＝a7，故错误，不符合题意； C、（a4）4＝a12，故错误，不符合题意； D、（﹣2a5）4＝16a12，故正确，符合题意； 故选：D．
    4．解析：根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
    第9页（共27页）





    答案：∵AB∥CD， ∴∠EFP＝∠CEF＝120°，
    ∴∠MPF＝∠EFP﹣∠M＝120°﹣90°＝30°， ∴∠MPB＝180°﹣∠MPF＝180°﹣30°＝150°， 故选：D．
    5．解析：根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念、全面调查和抽样调查的概念判断即可．
    答案：A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，本选项说法错误；
    B、了解九年级（1）班同学的视力情况，本选项说法正确； C、购买一张体育彩票中奖是随机事件，不符合题意；
    D、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，不符合题意； 故选：B．
    6．解析：由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CE＝CD＝AB，即可求解． 答案：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD， ∵点E是CD的中点，
    ∴OE＝DE＝CE＝CD＝，故选项B不合题意； ∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意； 故选：C．
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    7．解析：将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
    答案：将这组数据重新排列为1，1，6，3，4， 所以这组数据的平均数为×（1+8+1+3+3）＝2， 中位数为1，众数为4，
    方差为×[6×（1﹣2）6+（3﹣2）8+（4﹣2）4]＝1.6， 故选：C．
    8．解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线的表示． 答案：该几何体的三视图如下：

    故选：A．
    9．解析：一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
    答案：A．一次函数y＝﹣2x中的a＝﹣2＜6，故不符合题意． B．一次函数y＝﹣2x+3中的a＝﹣6＜0，故不符合题意． C．反比例函数y＝，在第三象限，故不符合题意． D．二次函数y＝﹣x7+4x+3（x＜3），对称轴x＝y随x的增大而增大．
    第11页（共27页）

    ，开口向下，



    故选：D．
    10．解析：根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 答案：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝5π， 设圆心角的度数是n度， 则＝2π，
    解得：n＝120． 故选：C．
    11．解析：将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可． 答案：解方程组，
    ∵点P（a，b）总在直线y＝x上方， ∴b＞a， ∴＞﹣，
    可得，
    解得k＞﹣1， 故选：B．
    12．解析：如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2025÷6＝337•3，推出经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，由此即可解决问题．
    第12页（共27页）





    答案：如图，连接AD．
    在正六边形ABCDEF中，AB＝1，∠ABD＝90°， ∴BD＝＝＝，
    在Rt△AOF中，AF＝6， ∴∠OFA＝30°， ∴OA＝AF＝， ∴OB＝OA+AB＝， ∴D（，），
    ∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°， ∴6次一个循环， ∵2025÷6＝337•2，
    ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
    ∵D与D3关于原点对称， ∴D6（﹣，﹣），
    ），
    ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（﹣，﹣故选：A．

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    二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
    13．解析：根据平方差公式即可求出答案． 答案：当a+b＝2，a﹣b＝3时， a8﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×5＝6． 故选：6．
    14．解析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
    答案：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意；
    ②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意； ③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意；
    ④300是样本容量，故④符合题意； 故答案为：②④．
    15．解析：先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°，则可计算出∠B＝110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
    第14页（共27页）





    答案：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°， ∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°， ∴∠B＝540°﹣430°＝110°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠CDA＝180°，
    ∴∠CDA＝180°﹣110°＝70°． 故答案为70．
    16．解析：分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3﹣，求出矩形的周长即可；
    ②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为＝2，求出矩形的周长即可． 答案：分两种情况：
    ①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣；
    ＝2， ﹣1）＝6﹣，
    ②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（∴矩形的周长为5（﹣1+3）＝2．
    ；
    综上所述，该矩形的周长为417．解析：根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y＝kx﹣3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）2+8＝kx﹣3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
    答案：当直线经过点（1，12）时，解得k＝15；
    第15页（共27页）





    当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）3+8＝kx﹣3， 整理得x2﹣（10+k）x+36＝0，
    ∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是5， ∴k的最大值与最小值的和为15+2＝17． 故答案为：17．
    18．解析：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2，证明△OBC为等边三角形得到∠BOC＝60°，则根据圆周角定理得到∠BAC＝30°，作直径BD、CE，连接BE、CD，则∠DCB＝∠EBC＝90°，当点A在上（不含D、E点）时，△ABC为锐角三角形，易得CD＝BC＝2，当A点为的中点时，A点到BC的距离最大，即h最大，延长AO交BC于H，如图，根据垂径定理得到AH⊥BC，所以BH＝CH＝1，OH＝的范围．
    答案：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2， ∵BC＝2， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°，
    ∴∠BAC＝∠BOC＝30°， 作直径BD、CE、CD，
    ∴当点A在上（不含D，△ABC为锐角三角形，
    第16页（共27页）

    ，则AH＝2+，然后写出h



    在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°， ∴CD＝BC＝7，
    当A点为的中点时，即h最大， 延长AO交BC于H，如图， ∵A点为的中点， ∴＝， ∴AH⊥BC， ∴BH＝CH＝1， ∴OH＝BH＝，
    ，
    ．
    ∴AH＝OA+OH＝2+∴h的范围为2故答案为2＜h≤8+．
    ＜h≤2+
    三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
    19．解析：直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
    答案：原式＝﹣1+
    ﹣2﹣4+2×第17页（共27页）





    ＝﹣2+＝﹣3．
    ﹣1﹣4+
    20．解析：（1）先由80≤x＜90的频数及频率求出样本容量，再根据频率＝频数÷样本容量求解即可；
    （2）总人数乘以样本中竞赛成绩在80分以上（含80分）的频率和即可；
    （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可．
    答案：（1）样本容量为60÷0.3＝200， ∴a＝80÷200＝7.4，b＝200×0.12＝24， 70≤x＜80对应的频数为200×7.18＝36， 补全图形如下：

    （2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+2.3）＝2450（名）； （3）画树状图如下：
    第18页（共27页）






    由树状图知，共有6种等可能结果，
    所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为＝． 21．解析：（1）由点A（2，6）求出反比例函数的解析式为y＝，可得k值，进而求得B（4，3），由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+9，即可求出C点的坐标；
    （2）由（1）求出CD，根据S△ABD＝S△ACD﹣S△ACD可求得结论． 答案：（1）把点A（2，6）代入y＝， ∴反比例函数的解析式为y＝∵将点A向右平移6个单位， ∴x＝4， 当x＝4时，y＝∴B（4，3），
    设直线AB的解析式为y＝mx+n， 由题意可得解得，
    ， ，
    ，
    ∴y＝﹣x+2， 当x＝0时，y＝9，
    第19页（共27页）





    ∴C（2，9）；
    （2）由（1）知CD＝9﹣6＝4，
    ∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|xB|﹣CD•|xA|＝×4×5﹣． 22．解析：（1）可证B1是EE1的中点，则EB1＝EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN＝EE1，即可证明； （2）由S△EAF＝S△FEC，可得AF＝EC．然后通过SAS可证明结论． 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，
    ∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
    ∴AE＝AE5，∠AB1E1＝∠AB4E＝∠B＝90°， ∴B1是EE1的中点， ∴EB6＝EE4，
    ∵M、N分别是AE和AE1的中点， ∴MN∥EB1，MN＝EE1， ∴EB7＝MN，
    ∴四边形MEB1N为平行四边形， （2）△AE1F≌△CEB8， 证明：连接FC，

    第20页（共27页）





    ∵EB1＝B1E3＝E1F， ∴同理，S∵＝＝， ，
    ＝，
    ∴S△EAF＝S△FEC， ∵AF∥EC，
    ∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等． ∴AF＝EC． ∵AF∥EC， ∴∠AFE＝∠FEC， 在△AE1F和△CEB1中，
    ，
    ∴△AE1F≌△CEB3（SAS）．
    23．解析：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可；
    （2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
    第21页（共27页）





    答案：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元
    ，
    解得x＝160，
    经检验，x＝160是原方程的解， ∴2.75x＝120，
    答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元； （2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张 5m+3（300﹣m）≥1200， 解得m≥150；
    设购买休闲椅所需的费用为W元， 则W＝160m+120（300﹣m）， 即W＝40m+36000， ∵40＞6，
    ∴W随m的增大而增大，
    ∴当m＝150时，W有最小值，W最小＝40×150+36000＝42000， 300﹣m＝300﹣150＝150；
    答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用．
    24．解析：（1）连结AE，OE，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于90°”得到∠ABF＝90°，即BF⊥AB，即可判定BF是⊙O的切线；
    （2）过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，解直角三角形得出EC第22页（共27页）





    ＝2，BC＝6，CG＝BG＝3得出＝，由AB∥CG判定△FCG∽△FAB，，BF＝12，再根据勾股定理求，即可求出FG＝9，AF＝8出CF＝6，最后根据特殊角的三角函数即可得解．
    【解答】（1）证明：连结AE，OE，
    ∵∠BAE＝∠BOE∠BOE， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 即∠ABF＝90°， ∴BF⊥AB， ∴BF是⊙O的切线；
    （2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

    ∵∠CBF＝45°，
    第23页（共27页）





    ∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°， 在Rt△ABE中，AB＝4∴AE＝BE＝4∵BE＝2EC， ∴EC＝2，BC＝4，
    在Rt△CBG中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG＝3，
    ，
    ×sin45°＝8，
    ∵CG⊥BF，BF⊥AB， ∴AB∥CG， ∴△FCG∽△FAB， ∴∴＝＝， ，
    ， ，
    ，
    ，
    ∴FG＝4∴BF＝12在Rt△FCG中，CF＝在Rt△ABF中，AF＝∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°＝∠ABD， 又∵∠BAD＝∠BAF， ∴cos∠BAD＝cos∠BAF， 即∴
    ＝＝， ，
    第24页（共27页）




    ∴AD＝．
    25．解析：（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P为所求的点；
    （3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），利用∠MBN＝∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
    答案：（1）把点A（﹣1，0），﹣5）代入y＝x2+bx+c， 得到方程组：解得，
    ，
    ∴抛物线的解析式为y＝x3﹣2x﹣3；
    （2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（5，连接AC'并延长与抛物线交与点P，

    设直线AC'的解析式为y＝mx+n， 由题意得：解得：，
    第25页（共27页）

    ，




    ∴直线AC'的解析式为y＝x+4， 将直线和抛物线的解析式联立得：
    ，
    解得    （舍去）或，
    ∴P（4，5）； （3）存在点M，
    过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP＝同理可求得AC＝，PC＝， ，

    ∴AP8+AC2＝PC2，∠PAC＝90°， ∴tan∠APC＝，
    ∵∠MBN＝∠APC， ∴tan∠MBN＝tan∠APC， ∴，
    （m≠3），
    设点M（m，m2﹣2m﹣6），则解得m＝当m＝或m＝﹣， 时，m2﹣4m﹣3＝第26页（共27页）

    ，




    ∴M（﹣，当m＝∴M（），
    ，
    ，m2﹣2m﹣8＝，），
    ，∴存在符合条件的点M，M的坐标为（

    ），（，）．
    第27页（共27页）


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