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    华师一附中2019年自主招生数学试题(word版附答案)

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    华中师大一附中2019年高中招生考试
    数学试题
    2019．3．31
    考试时间：70分钟卷面满分：120分
    说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
    一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．
    1．若关于x的一元二次方程(m－2x2＋4x－1=0有实数根，则实数m的取值范围是(A．m≥－2是(A．≤s＜6
    23
    B．m>－2或m≠2C．m≥－2且m≠2D．m≠2
    2．已知过点(2，3的直线y=ax＋b(a≠0不经过第四象限，设s=a＋2b，则s的取值范围
    32
    32
    32
    B．－6＜s≤−
    C．－6≤s≤D．≤s≤6
    3．已知√(x＋12＋|3－x|=4，则y=2x－1的最大值与最小值的和是(A．1
    B．2
    C．3
    D．4
    4．古希腊数学家欧几里德的《几何原本》记载，形如x2＋2bx=a2的方程的图解法是：如图，画Rt△ACB，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，在斜边AB上截取AD=b，则该方程的一个正根是(A．AC的长
    B．BC的长
    C．CD的长
    BN
    D．BD的长
    CF
    5．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于点M，AF交BD于点N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记x=z=
    BEOM
    ON
    ，y=
    BF
    ，
    ，则有(
    B．x=y=z
    C．x=y＜z
    D．x=y＞z
    A．x＞y＞z
    6．设a，b为整数，关于x的一元二次方程x2＋(2a＋b＋3x＋(a2＋ab＋6=0有两相等实根α，关于x的一元二次方程2ax2＋(4a－2b－2x＋(2a－2b－1=0有两相等实根β；那么以α，β为实根的整系数一元二次方程是(A．2x2＋7x＋6=0C．x2＋4x＋4=0

    B．x2＋x－6=0D．x2＋(a＋bx＋ab=0
    4π3
    二、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共36分7．ΔABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，劣弧BC的长是
    ，则⊙O的半径是．
    8．若m，n是方程x2－x－2019=0的两实根，则m2－2m－n的值为．
    第1页（共8页）

    9．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是．

    10．当a，b是正实数，且满足a＋b=ab时，就称点M(a，为“完美点”；已知点A是“完
    ba
    美点”且在直线y=－x＋5上，则点A的坐标为．
    11．从－3，－2，－1，－，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m．若
    2
    2
    1xm−2(2x＋7≥3数m使关于x的不等式组{3无解，且使关于x的分式方程＋＝－1
    x＋3x＋3
    1
    1
    x−m＜0
    有整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是．12．如图，ΔABC中，∠ACB=90°，sinA=
    513
    ，AC=12，将Δ
    ABC绕点C顺时针旋转90°得到ΔA'B'C，P为线段A'B'上的动点，以点P为圆心，PA'长为半径作⊙P，当⊙P与ΔABC的边相切时，⊙P的半径为．
    三、解答題(本大题共3小題，共48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．13．(本小题满分16分
    已知：如图，RtΔABC的三边满足(AB－42＋|AB－BC|=0，∠ABC=90°．(1若M是边AB上一点，N是边BC延长线上一点，且线段AM=CN=m，求m的值；
    (2若M是边AB上一动点，N是边BC延长线上一动点，且线段AM=CN，判断线段DM与DN的大小关系，并说明你的理由；
    (3若M、N分别是边AB、BC延长线上的动点，D为线段MN与边AC延长线的交点，线段AM=CN，判断线段DM与DN的大小关系，并说明你的理由．A
    A
    =BC＋2，AB−m
    m
    AB

    MB
    DC
    N
    BM
    CD
    N
    第2页（共8页）

    14．(本小题满分16分在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1与P2(x2，y2的“特别距离”，给出如下定义：
    若｜x1－x2|≥｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜x1－x2|；若｜x1－x2|＜｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜y1－y2|．
    例如：点P1(1，2，点P2(3，5，因为|1－3|<|2－5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2−5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点．
    (1已知点A(－，0，B为y轴上的一个动点．
    21
    ①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值．
    (2已知C是直线y=x＋4上的一个动点，如图2，点D的坐标是(0，1，求点C与点D
    34
    的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．


    第3页（共8页）


    15．(本小题满分16分如图，已知抛物线y=x2＋2bx＋2c(b，c是常数，且c<0与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0．(1点B的坐标为＿＿＿＿(结果用含c的代数式表示；
    (2连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2＋2bx＋2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为(2，0．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3在(2条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得ΔPBC的面积为S．①S的取值范围；
    ②若ΔPBC的面积S为整数，则这样的ΔPBC共有＿＿＿＿个.


    第4页（共8页）

    华中师大一附中2019年高中招生考试数学试题
    参考答案与试题解析
    一、选择题
    1．C．由△≥0，且m－2≠0，得m≥－2且m≠2．2．A．由题意得a＞0，b≥0，且3=2a＋b，
    当b=0时，s=a=；当b＞0时，s=a＋2(3－2a=6－3a＜6．
    23
    3．B．由题意得x＋1≥0，3－x≥0，∴－1≤x≤3，当x=－1时，y=2x－1有最小值为－3，当x=3时，y=2x－1有最大值为5，∴和是2．
    法2：由题意得|x＋1|＋|3−x|=4，即数轴上一点x到点(－1，0、(3，0的距离之和为4，当x=－1时，y=2x－1有最小值为－3，当x=3时，y=2x－1有最大值为5，∴和是2．4．D．由勾股定理得AB=√b2＋a2，∴BD=√b2＋a2－b，
    22
    由求根公式得x=−2b±√(2b−4×1×(−a=±√b2＋a2－b，
    2
    ∴该方程的一个正根是BD的长．5．C．如图，由角平分线，
    BNABACCF
    2ONAOABBF
    ，即x=y=√2，又AME的角分线与高重
    合，则AME为等腰三角形，AMAE，作OP∥AB，交ED于P，则OP为DBE的中位线，OMP∽AME，z=
    BEBEOMOP
    ==2，∴x=y＜z．
    6．A．由题意得，(2a＋b＋32－4(a2＋ab＋6=0，即(b＋32=12(2－a①，又(4a－2b－22－4×2a(2a－2b－1=0，即(b＋12=2a②，由①②得，7b2＋18b−9=0，其整根为b=－3，∴a=2；
    两个方程分别是：x2＋4x＋4=0和4x2＋12x＋9=0，∴α=−2，β=−，∴以α，β为实根的整系数一元二次方程是2x2＋7x＋6=0．二、填空题
    7．解：连接OB、OC．
    BOC2BAC120，劣弧BC的长是

    3
    2
    4，3
    120r4
    ，r2．故答案为2．1803
    8．解：由题意得：m2－m－2019=0，m＋n=1，∴m2－m=2019，∴m2－2m－n=m2－m－(m＋n=2019－1=2018．
    第5页（共8页）

    9．解：当3x－2=127时，x=43，当3x－2=43时，x=15，当3x－2=15时，x=是整数；所以输入的最小正整数为15．故答案为15．
    173
    ，不
    10．解：∵a，b是正实数，且满足a＋b=ab，∴＋1=a，即=a－1，∴M(a，a－1，
    b
    b
    aa
    即“完美点”A在直线y=x－1上，又∵点A是“完美点”且在直线y=－x＋5上，x=3
    ∴{，∴{，∴点A的坐标为(3，2．
    y=2y=－x＋5
    x≥1
    11．解：整理不等式组得：{，由不等式组无解，得m≤1，即m为－3，－2，－1，
    x＜m－，0，，1；分式方程去分母得：x＋m－2=－x－3，∴x=−
    2
    2
    1
    1
    m＋12
    y=x−1
    ，由分式方程有整数
    13
    解，∴m为－3，－1，1，3，∴满足条件的m为－3，－1，1，∴m的概率是．12．解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．设PQ=PA'=r，∵PQ∥CA'，∴
    PQPBr13r156
    r，，．
    251213CAAB
    如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A'、B'、T三点共线，△ABT∽ABC，
    r
    ATAB204AT17
    ，AT，，121313ACAB
    1102156102
    AT．综上所述，⊙P的半径为或．
    2513213
    13．解：(1∵(AB－42＋|AB－BC|=0，∴AB－4=0，且AB－BC=0，∴AB=BC=4，∵
    m
    AB−m
    =+2，∴
    BC
    ABm4−m
    =3，
    A
    ∴m=3，经检验得，m=3．(注：未检验扣1分
    (2∵DM=DN．理由如下：过M作ME⊥AB交AC于E，∴∠AME=∠B=90°，∴ME∥BC，∴∠EMD=∠N，∵AB=BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠ACB=45°，∴∠AEM=∠ACB=45°，∴AM=ME，∵AM=CN，∴ME=CN，又∵∠MDE=∠NDC，∴△MED≌△NCD(AAS，∴DM=DN．
    (3∵DM=DN．理由如下：过M作MH⊥AB交AC的延长线于H，同(2可证△MHD≌△NCD(AAS，∴DM=DN．
    MBA
    E
    DC
    N
    BM
    CDH
    N
    (注：其它解法酌情给分，(2、(3问只有结论而无证明过程各得1分．
    第6页（共8页）

    14．解：(1①∵点B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为(0，y．
    ∵|−−0|=≠3，∴|0−y|=3，∴y=3或y=－3，∴点B点的坐标为(0，3或(0，－3．
    2
    12
    1
    ②点A与B点的“特别距离”的最小值为．故答案是：．
    2
    2
    11
    (2设点C(x，x＋4，D(0，1，则｜x1－x2|=x，｜y1－y2|=|x＋3|，
    3
    4
    43
    ①当|x|≥|3x＋3|时，
    (i若x≤－，则－x≥−3x−3，x≥－9，∴－9≤x≤－，
    4
    4
    9
    4
    9
    4
    (ii若－＜x≤0，则－x≥x＋3，≤x≤－3，x≤－，∴－＜x≤－，
    4
    3
    3
    4
    4
    7
    947999
    (iii若x＞0，则x≥x＋3，x≤－9(舍，
    3
    4
    综上，－9≤x≤－，∴当x=－时，|x|min=|－7|=，
    7
    7
    99
    99
    797
    ②当|x|＜|3x＋3|时，同理可得，x＜－9或x＞－，(i若x＜－9，则|3x＋3|=−3x−3，|3x＋3|＞9，(ii若x＞－，则|x＋3|=x＋3，|x＋3|＞，
    7
    7
    9
    43
    43
    43
    9
    4
    4
    4
    4
    综合①②得，点C与点D的“特别距离”的最小值为．相应的点C(－，
    7
    9
    9167
    7
    ．
    (注：其它解法酌情给分
    15．（1）∵抛物线y=x2＋2bx＋2c过点A(－1，0，∴1－2b＋2c=0，∴2b=1＋2c，∵抛物线y=x2＋2bx＋2c与x轴分别交于点A(－1，0、B(xB，0，
    ∴−1、xB是一元二次方程x2＋2bx＋2c的两个根，∴−1＋xB=－2b=－1－2c，∴xB=－2c，∴点B的坐标为(－2c，0；
    （2）∵抛物线y=x2＋2bx＋2c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=2c，即点C的坐标为(0，2c．
    设直线BC的解析式为y=kx＋2c，∵点B的坐标为(－2c，0，∴－2ck＋2c=0，∵c≠0，∴k=1，∴直线BC的解析式为y=x＋2c，∵AE∥BC，∴可设直线AE的解析式为y=x＋m，
    ∵点A的坐标为(－1，0，∴－1＋m=0，解得m=1，∴直线AE的解析式为y=x＋1．∵抛物线y=x2＋2bx＋2c过点A(－1，0，∴1－2b＋2c=0，∴2b=1＋2c，
    第7页（共8页）

    ∴y=x2＋(1＋2cx＋2c，与y=x＋1联立，解得x=－1，y=0或x=1－2c，y=2－2c，∴E(－1，0(与点A重合，舍去，E(1－2c，2－2c．
    ∵点C的坐标为(0，2c，点D的坐标为(2，0，∴直线CD的解析式为y=－cx＋2c．∵点C，D，E三点在同一直线上，∴2－2c=－c(1－2c＋2c，∴2c2＋3c－2=0，∴c1=(与c＜0矛盾，舍去，c2=－2，∴b=−，∴抛物线的解析式为y=x2－3x－4；
    2
    2
    1
    3
    （3）①∵A(－1，0，B(4，0，C(0，－4，∴AB=5，OC=4，直线BC的解析式为y=x－4，分两种情况：(i当－1＜x＜0时，
    0＜S＜S△ACB，∵S△ACB=AB·OC=10，∴0＜S＜10；
    21
    y
    E
    AO
    (ii当0＜x＜4时，
    过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F，设PF=yF−yP=(x－4－(x2－3x－4=−x2＋4x，
    12
    12
    G
    DBxF
    C
    P
    ∴S△PCB=S△PFC＋S△PFB=PF·OB=(−x2＋4x×4=−2x2＋8x=−2(x−22＋8，∴当x=2时，S最大值=8，∴0＜S≤8；综合(i(ii可知：S的取值范围为0＜S＜10．
    ②∵S的取值范围为0＜S＜10，且S为整数．∴S=1，2，3，4，5，6，7，8，9．分两种情况：
    (i当－1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
    ∵B(4，0，C(0，－4，∴BC＝4√2，∴S=BC·h=2√2h，∴h=
    21
    √2
    4
    S，
    又∵0＜S＜10，即0＜2√2h＜10，∴0＜h＜
    5√2
    ，2
    9√2√2
    ∴当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，≤h≤，
    44
    此时，满足条件的ΔPBC有9个；
    (ii当0＜x＜4时，∵S△PCB=−2x2＋8x，且0＜S≤8；
    ∴当S=1，2，3，4，5，6，7时，均有∆＞0，此时P点共有7×2=14个，当S=8，有∆＝0，此时P点只有1个；
    综上可知，满足条件的ΔPBC共有9＋14＋1=24个．
    第8页（共8页）

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