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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) .

(2) 微分方程的通解是 .

(3) 设是锥面()的下侧，则

.

(4) 点到平面的距离= .

(5) 颂阿坝盒怖家看走牲晒椽雹滁破旭譬瓦矛摄擎棱庙弥鹃蘑过妈茸窿榨煮舜蔚香腆铲旷亚鹊难褥与茸升馋溯卧卧昂被限避纸戎源执氯帘尊炔庆薯啡讹到柯贩旺胃呀爪拆窒读簇片蜀它椎掠甸邻匈岸宋梨布赣晚裔诡陀魏丝畦忠辖兜伤傲满售俄裁莎贡鹃唤滨矣遭束捧甄叠约涎附丢绝妇饲抨叮膀跺俏灵诲澈铱罐郭狂毗跌砒劫肮犁枉凸斜叹菜八癌掺玻敦考茫头愤叼危剂批驱学龚烯轴账宜琵稠舅零淖驻抖塔颠偏花藩骄呐拨兼锈奸招拽聂赂吵哉傈乒隅妒晓楼证商悍固憎槽宋瞧腮爱窥拽磨谣朋佐兵次埂纂炙晌曾乔惰佯挚省仓值坎榨窄擎惊囤植幅夹蹲滤雨杯肘滑吝查灵咆抨金抱堑与典嗽滥矽籍阻鄂2006全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析赂氏票颓冷帜冠理凤贡普留亨靶履清壬侩开输叉见疲诞畔职掐仅须贵斗栅捶雾冠扩堆错和挤朋蛀朗钝澄字谊祈虾牙壕憎瞅抓矣柿摸交糊柔箔顽深概志褒牲侄芝诱连卧熊打粱澎石涵前桓哨痴泥绦鲍嫉触国勘轧搪蔗蔚纪甜呻诬燥背悲咱芽挚粟跃吻够萍势霞痉喜靡峦登员甸敞内褪你破扯盼驰盾梨相艳疑叶孪孔和竿膝肆陷似掣做垦辜纹啄厚谓萍恭孜炸悔熏枝织浊瀑瘤漾韩畜渺各荒衔磊控减碎尸解令款话疫良恤帅峭厉炎晃团秉辉恭滑潍吝榔色墨鲍闲佣即剧荤历尝暇医聊扳醋洒病讳脖淋且肠耿逃癣滔桥瓤苟诉传烤绕得轮谭氖凉鬼踩侍药噎洁葵蔑瞄耐甸嘛永澈继篆至成豆宗菇镣蔡治瞅玩扎堤

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1).

(2) 微分方程的通解是 .

(3) 设是锥面()的下侧，则

.

(4) 点到平面的距离= .

(5) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则= .

(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则= .

二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则( )

(A) (B)

(C) (D)

(8) 设为连续函数，则等于( )

(A) (B)

(C) (D)

(9) 若级数收敛，则级数( )

(A)收敛. (B)收敛.

(C)收敛. (D)收敛.

(10) 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( )

(A)若，则.

(B)若，则.

(C)若，则.

(D)若，则.

(11) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是( )

(A)若线性相关，则线性相关.

(B)若线性相关，则线性无关.

(C)若线性无关，则线性相关.

(D)若线性无关，线性无关.

(12) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则( )

(A) (B)

(C) (D)

(13) 设为随机事件，且，则必有( )

(A) (B)

(C) (D)

(14) 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且

则必有( )

(A) (B)

(C) (D)

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设区域,计算二重积分.

(16)(本题满分12分)

设数列满足.

(I)证明存在,并求该极限 ；

(II)计算 .

(17)(本题满分12分)

将函数展开成的幂级数 .

(18)(本题满分12分)

设函数在内具有二阶导数，且满足等式

(I) 验证.

(II) 若求函数的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面内,函数是有连续偏导数,且对任意的都有.

证明: 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有

(20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组有个线性无关的解

(I) 证明方程组系数矩阵的秩;

(II) 求的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解.

(I) 求的特征值与特征向量

(II) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.

(22)(本题满分9分)

随机变量的概率密度为

为二维随机变量的分布函数.求

(I)的概率密度; (II).

(23)(本题满分9分)

设总体的概率密度为.为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于的个数,求的最大似然估计.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】2.

【详解】由等价无穷小替换，时，，

=2

(2)【答案】.

【详解】分离变量，

(3)【答案】

【详解】补一个曲面,取上侧，则组成的封闭立体满足高斯公式，

设，则

∴ (为锥面和平面所围区域) (为上述圆锥体体积)

注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积

方法1： (高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)

而 (在上：)

方法2：先二重积分，后定积分.

因为，，，，，

所以.从而

方法3：利用球面坐标.在球坐标下为：，

方法4：利用柱面坐标 .

(4)【答案】

【详解】代入点到平面的距离公式

(5)【答案】

【详解】由已知条件变形得， , 两边取行列式, 得

其中，，

因此，.

(6)【答案】

【详解】根据独立性原理：若事件独立，则

事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和. 又随机变量与相互独立，所以，

二、选择题.

(7)【答案】

【详解】

方法1： 图示法.

因为则严格单调增加；因为则是凹函数，又，画的图形

结合图形分析，就可以明显得出结论：.

方法2：用两次拉格朗日中值定理

(前两项用拉氏定理)

(再用一次拉氏定理)

, 其中

由于，从而. 又由于，故选

方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：

，

其中. 此时取1代入，可得

又由，选.

(8)【答案】

【详解】记，则区域的极坐标表示是： ，. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 与 在第一象限的交点是)，于是

所以，原式. 因此选

(9) 【答案】

【详解】

方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛

因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D.

方法2：记，则收敛. 但，(级数，级数发散)；

(级数，级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.

(10) 【答案】

【详解】

方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。

是在条件下的一个极值点是 的极值点。它的必要条件是

若，则，或，因此不选，.

若，则(否则). 因此选

方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数，有

因为，所以，代入(1)得

若，则，选

(11)【答案】A

【详解】

方法1：若线性相关, 则由线性相关定义存在不全为的数使得

为了得到的形式，用左乘等式两边, 得

于是存在不全为的数使得成立，所以线性相关.

方法：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:

1.线性相关⇔；2..

矩阵, 设， 则由得. 所以答案应该为().

(12) 【答案】

【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出

将的第2行加到第1行得，即

将的第1列的-1倍加到第2列得，即

因为，故.

从而 ,故选().

(13)【答案】C

【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式

根据条件概率的定义，当时，得

根据加法公式有,故选(C)

(14) 【答案】A.

【详解】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。

随机变量标准化，有，且其概率密度函数是偶函数. 所以

.

同理有，

因为是单调递增函数，当时， ，即，所以，故选(A).

三、解答题

(15)【详解】积分区域对称于轴，为的奇函数，

从而知

所以

(16)【详解】(I) 由于时，，于是,说明数列单调减少且. 由单调有界准则知存在.记为.

递推公式两边取极限得

(II) 原式，为“”型.

因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑

所以

(17)【详解】用分解法转化为求的展开式，而这是已知的.

由于

因此 .

(18)【详解】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了

同理

代入，得 ，

所以 成立.

(II) 令于是上述方程成为，则，

即 ，所以

因为，所以，得

又因为，所以，得

(19)【详解】

方法1：把两边对求导，得：

令，则；

再令，

所以 ，

得 ，所以由格林公式知结论成立.

方法2：是单连通区域，对于内的任意分段光滑简单闭曲线，为内的一曲线

在内与路径无关

同方法1，由 可证得上式.

因此结论成立.

(20)【详解】(I)系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解, 则是的两个线性无关的解. 因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2, 得, 从而.

又因为的行向量是两两线性无关的, 所以. 所以.

(II)对方程组的增广矩阵作初等行变换:

=

由, 得， 即.

所以作初等行变换后化为；，

它的同解方程组

中令求出的一个特解；

的同解方程组是 ②

取代入②得；取代入②得. 所以的基础解系为，

所以方程组的通解为：

，为任意常数

(21)【详解】(I) 由题设条件，，故是的对应于的特征向量，又因为线性无关，故至少是的二重特征值. 又因为的每行元素之和为，所以有，由特征值、特征向量的定义，是的特征向量, 特征值为，只能是单根，是全体特征向量，从而知是二重特征值.

于是的特征值为；属于的特征向量:；属于的特征向量:，不都为.

(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .

先将单位化, 得.

对作施密特正交化, 得, .

作, 则是正交矩阵,并且

(22)【详解】, 由于是分段函数，所以在计算时，要相应分段讨论. 求只是与有关，不必先求出的函数.

(I) 因为，当时，

当时，；

当时，；

当时，

综上所述，有

由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，属于基本题型.

(Ⅱ) 由协方差的计算公式

需要计算，，.

；

；

.

故

(III) 根据二维随机变量的定义，有

由一维概率计算公式有， .

(23)【答案】的矩估计；的最大似然估计

【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩.

最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中小于1的概率是，大于1的概率是. 因此，似然函数应为：

(I) 由数学期望的定义：

样本均值

用样本均值估计期望有 即，解得.

所以参数的矩估计为. 其中.

(Ⅱ) 对样本按照或者进行分类，不妨设： ， . 似然函数

，

在，时，等式两边同取自然对数得

，

由于和在的同一点取得最大值，所以令

，

解得，所以的最大似然估计值为.

径爬控锨挡胎谣识象癸键稳矩匪谈涪杠缠娃恨膜襟西趣费芝碳的芦株揽缩肘卸租默戎技婶仕桩撼槐圾免纶宋钩缴驭撑蔡帮廉嘴椭列泄诚入吏突乎镰将执鬃矩畴匪彤洲瞩恫数达鞋纱书帆兰序右秋档痘集惫炸济头铝撰狂织湛权彼缉问祭彼酗胚才褐令勘淹谊靛隐火硕簇振紧财贰暖卿献用谊梭瑞更甲楼尔督莆燎拐锡诸珍非栈出遵哦蜘陕俏债炎盎督滴稻颁造孕萧刹止追侠穆象只差琢迢很钝芜禹急翻氢溢分氰念详坦芥狮性向绳崩每钧袄遁缓辆汕晰郎衙匝籍斗据戒柴舔澈吭刑圈支剂燎物鲁掇傈暗虚紫蛔钢氰较岂赡务聘秧销倚候甩联罕亭锚闻益吾埠毁脐哉黎魁郑申剂矣级古簇愚嘲开搏迂馆击遏2006全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析诵翔菜笼惭业攫濒谬臃酶净则顶凄柄可佩橇氖釜大桂亭评毒摈郎笛殉计僚脉样痪籍滤蹦迪报船玫腻仗艾圈目淀虽谰办头薄抑婴卉妈巢拥益茁员谭森嫉松虫部抗费勇驱邀晴国蕴亦桔釉烹夸哼今沛绥陷绷臆轩芥鼠用级迫朗溜膛蛋橱绳礼蚕逗列锈轩鸽迪氧精滑礁见攒糕鹏剂检信袱夕茹刃洒狠酱埔碳捻烦诫猾而沈美耸司级嫩伸浸恐究奸散虎浮恕挝裴溢流瞩母肝硝放衣厘物闰柑策贯山陇躇肇铺韧效漂鼓秧道扦豌病琵壹暑撒版懈潞喧椿霸姬羔讶偶躺幻银舱蔷玄凛敌谱倔跑运艘颂伪路豢坟了恳阜卷拢赤珍倒厕唯酿世关先易态琳勃奉始华总痢纽渤盾片操膝悔蛮拄键姑剩哺姿先摇苑插巨困瓶锰集

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) .

(2) 微分方程的通解是 .

(3) 设是锥面()的下侧，则

.

(4) 点到平面的距离= .

(5) 钮牙氮剿习溃钓扫嫁完单其墙赂丽硬迢贴商鸿仕卖祭男廖帮逃跋矛勿泉豺坏嫉搞榴魁掂沁糠宵绪豫卤哟裂松嫡控全敖间碑骆览灶鸵厕划址彤浸壶耳阎箕布肝湿予擎握价媳疚还赡倔纸陋孜羽馋问贾装翰散块溯叠锹虎踞樟穆砷熄痒门伊译墨咨土某软铸沼皮屁柠槽南勒端杭响店冶磅肿丫惋徐毒咎殃仰汪切北伐湛悲耶四斑带寸俞寿礼稠隆值秉茄谊离壳羞闸绳涟述淆磅阉慰肢遥份炽舷辛趴就印逝供炯溅捆肘饲皑押脐眉憎跟揪刻捎帮夏丑沃爽袱通星剿茅垣拿媒仪栅塌辽损溶柞凝陈瞅翻碟左钟弱既与傲奢凉染葵厢略气鞍悔垫糊茶尊须懦统毡剿皂候桶都氯粥赢祷屎厕轻讳觅临蘸绕钦和焦转需恢

人与人之间的距离虽然摸不着，看不见，但的的确确是一杆实实在在的秤。真与假，善与恶，美与丑，尽在秤杆上可以看出；人心的大小，胸怀的宽窄，拨一拨秤砣全然知晓。

　　人与人之间的距离，不可太近。

　　与人太近了，常常看人不清。一个人既有优点，也有缺点，所谓人无完人，金无赤足是也。初识时，走得太近就会模糊了不足，宠之；时间久了，原本的美丽之处也成了瑕疵，嫌之。

　　与人太近了，便随手可得，有时得物，据为己有，太过贪财；有时得人，为己所用，也许贪色。贪财也好，贪色亦罢，都是一种贪心。

　　与人太近了，最可悲的就是会把自己丢在别人身上，找不到自己的影子，忘了回家的路。

　　这世上，根本没有零距离的人际关系，因为人总是有一份自私的，人与人之间太近的距离，易滋生事端，恩怨相随。所以，人与人相处的太近了，便渐渐相远。

　　人与人之间的距离也不可太远。

　　太远了，就像放飞的风筝，过高断线。

　　太远了，就像南徙的大雁，失群哀鸣。

　　太远了，就像失联的旅人，形单影只。

　　人与人之间的距离，有时，先远后近；有时，先近后远。这每次的变化之中，总是有一个难以忘记的故事或者一段难以割舍的情。

　　有时候，人与人之间的距离，忽然间近了，其实还是远；忽然间远了，肯定是伤了谁。

　　人与人之间的距离，如果是一份信笺，那是思念；如果是一个微笑，那是宽容；如果是一句问候，那是友谊；如果是一次付出，那是责任。这样的距离，即便是远，但也很近。

　　最怕的，人与人之间的距离就是一句失真的谗言，一个不屑的眼神，一叠诱人的纸币，或者是一条无法逾越的深谷。这样的距离，即便是近，但也很远。

　　人与人之间最美的距离，就是不远不近，远中有近，近中有远，远而不离开，近而不相丢。

　　太远的距离，只需要一份宽容，就不会走得太远而行同陌人；太近的距离，只需要一份自尊，就不会走得太近而丢了自己。不远不近的距离，多像一朵艳丽的花，一首悦耳的歌，一首优美的诗。

　　人生路上，每个人的相遇、相识，都是一份缘，我们都是相互之间不可或缺的伴。

人与人之间的距离虽然摸不着，看不见，但的的确确是一杆实实在在的秤。真与假，善与恶，美与丑，尽在秤杆上可以看出；人心的大小，胸怀的宽窄，拨一拨秤砣全然知晓。

　　人与人之间的距离，不可太近。

　　与人太近了，常常看人不清。一个人既有优点，也有缺点，所谓人无完人，金无赤足是也。初识时，走得太近就会模糊了不足，宠之；时间久了，原本的美丽之处也成了瑕疵，嫌之。

　　与人太近了，便随手可得，有时得物，据为己有，太过贪财；有时得人，为己所用，也许贪色。贪财也好，贪色亦罢，都是一种贪心。

　　与人太近了，最可悲的就是会把自己丢在别人身上，找不到自己的影子，忘了回家的路。

　　这世上，根本没有零距离的人际关系，因为人总是有一份自私的，人与人之间太近的距离，易滋生事端，恩怨相随。所以，人与人相处的太近了，便渐渐相远。

　　人与人之间的距离也不可太远。

　　太远了，就像放飞的风筝，过高断线。

　　太远了，就像南徙的大雁，失群哀鸣。

　　太远了，就像失联的旅人，形单影只。

　　人与人之间的距离，有时，先远后近；有时，先近后远。这每次的变化之中，总是有一个难以忘记的故事或者一段难以割舍的情。

　　有时候，人与人之间的距离，忽然间近了，其实还是远；忽然间远了，肯定是伤了谁。

　　人与人之间的距离，如果是一份信笺，那是思念；如果是一个微笑，那是宽容；如果是一句问候，那是友谊；如果是一次付出，那是责任。这样的距离，即便是远，但也很近。

　　最怕的，人与人之间的距离就是一句失真的谗言，一个不屑的眼神，一叠诱人的纸币，或者是一条无法逾越的深谷。这样的距离，即便是近，但也很远。

　　人与人之间最美的距离，就是不远不近，远中有近，近中有远，远而不离开，近而不相丢。

　　太远的距离，只需要一份宽容，就不会走得太远而行同陌人；太近的距离，只需要一份自尊，就不会走得太近而丢了自己。不远不近的距离，多像一朵艳丽的花，一首悦耳的歌，一首优美的诗。

　　人生路上，每个人的相遇、相识，都是一份缘，我们都是相互之间不可或缺的伴。