导数及其应用

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （07全国Ⅱ文）已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（    ）

(A)1               (B)   2                   (C) 3              (D) 4

2．（08全国Ⅰ文）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A．30°        B．45°         C．60°        D．120°

3．（08广东文）设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(    )

A.a＜-1         B.a＞-1         C.a＜         D.a＞

4．（08福建文）如果函数y=f(x)的图象如下图，（    ）

那么导函数y=f(x)的图象可能是

5．（08全国Ⅱ文）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（    ）A．1            B．               C．              D．

6．（08重庆文）函数f(x)=的最大值为(    )

A.               B.                 C.               D.1

7．（07海南、宁夏文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

A.           B.            C.              D.

8.（07湖北文）由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)3+y2=1引切线，则切线长的最小值为（    ）
A.1                          B.2                          C.              D.3

9. （07全国Ⅰ文）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ）

A.               B.               C.           D.

10．（07全国Ⅱ文）已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（    ）

(A)1               (B)   2                   (C) 3              (D) 4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上。

11. （07湖北文）已知函数的图象在M(1，f(1))处的切线方程是+2，     

12．（08江苏文）直线是曲线的一条切线，则实数b＝    ．

13. （07重庆文）函数的最小值为                      。

14. （07浙江文）曲线在点(1，一3)处的切线方程是___________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15. （07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。

16．（08湖北文）已知函数（m为常数，且m＞0）有极大值9.

  （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

17．（08山东文）设函数，已知

(Ⅰ)求a和b的值；(Ⅱ)讨论的单调性；(Ⅲ)设，试比较与的大小.

18．（08天津文）设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.

(1)当a=时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围;

(3)若对于任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,求b的取值范围.

19．（09浙江文）已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a).（Ⅰ）若f‘(1)=3,求a的值及曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间[0，2]上的最大值。

20．（08重庆文）设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a＜0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求: (1)a的值;(2)函数f(x)的单调区间.

导数及其应用（答案）

一、选择题。

1．答案 A 解析:∵y′=,∴x=1.

2．答案：B y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线斜率 k=y′|x=1=3×12-2=1. ∴倾斜角为45

3． 答案：A  y′=ex+a=0,ex=-a,x=ln(-a),

∵x＞0,∴ln(-a)＞0且a＜0.∴-a＞1,即a＜-1.

4．答案 A  y=f(x)的单调变化情况为增、减、增、减,因此y=f′(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零.故选A.

5．答案 A y=ax2,y′=2ax,∴y′|x=1=2,

∵切线与直线2x-y-6=0平行,∴2a=2,∴a=1.

6．答案：B  f(x)=,x≥0.①当x=0时,f(x)=0.②当x≠0时,f(x)=,

∵+≥2仅当x=1时取“=”, ∴0＜≤,

即0＜f(x)≤.综上:f(x)∈［0,］,故f(x)max=.

7．答案 D解析:y′=ex,∴y=ex在(2,e2)点的导数为e2.∴y=ex在(2,e2)的切线方程为y=e2x－e2.y=e2x-e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,-e2),∴S=×1×e2=.

8．答案 C解析：如图，设A为直线y=x+1上任一点，切线为AB，切点为B，圆心为C，

∴|AB|2=|AC|2－12.要使|AB|最小，只要使|AC|最小，而当CA⊥直线时，|AC|最小，

∴|AB|min=.

9．答案 A解析:y′=x2+1,∴y=x3+x在(1,)处的切线斜率k=2,方程为y－=2(x－1),与坐标轴的交点为(,0)和(0,－).∴切线与坐标轴围成的三角形的面积S=××=.

10．答案 A解析:∵y′=,∴x=1.

二、填空题。

11．答案 3解析：f′(1)是切线的斜率：，f(1)是切点的纵坐标，∵切点在切线上，∴f(1)=×1+2=.∴f(1)+f′(1)=+=3.

12．答案 ：ln2－1  解析:本小题考查导数的几何意义、切线的求法.y′=,令=得x=2,故切点(2,ln2),代入直线方程,得ln2=×2+b,所以b=ln2-1.

13．答案 1+2 f(x)=的定义域为(－∞，0］∪［4，+∞).当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，当x∈(4，+∞)时，f(x)为增函数.∴当x=0时，f(x)取得(－∞，0］上的最小值f(0)=4；当x=4时，f(x)取得［4，+∞］上的最小值f(4)=2+1.∵2+1<4，∴f(x)在(－∞，0)∪［4，+∞］上的最小值为2+1.

14．答案 解析:=3x2－4x－4,代入x=1,得y=－3,∴(1,－3)为切点.∴｜x=1=3－4－4=－5=k.∴切线方程为y+3=－5(x－1).

三、解答题。

15． 解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，.即

解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

.

当时，；

当时，；

当时，.

所以，当时，取得极大值，又，.

则当时，的最大值为.因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为.

16. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.又f(－1)＝6，f(－)＝，所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

17． 解：(Ⅰ)因为              又  因此  解方程组得 

(Ⅱ)因为     所以     

令

因为             所以 在（-2，0）和（1，+）上是单调递增的；

在（-，-2）和（0，1）上是单调递减的.

(Ⅲ)由（Ⅰ）可知 

18．解:(1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).当a=时,

f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).

令f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(0,),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(,2)内是减函数.

(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.

为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a2-64≤0.

解此不等式,得≤a≤.

这时,f(0)=b是唯一极值.

因此满足条件的a的取值范围是［,］.

(3)由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a2-64＜0,

从而4x2+3ax+4＞0恒成立.

当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.

因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.

为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.

所以b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.

19．（I）解：．

因为，

所以    ．

又当时，=1，=3，

所以曲线处的切线方程为   ．

（II）解：令，解得．

当，即a≤0时，在[0，2]上单调递增，从而

．

当时，即a≥3时，在[0，2]上单调递减，从而

．

当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而   

综上所述，

20．解:(1)因f(x)=x3+ax2-9x-1,所以f′(x)=3x2+2ax-9=3(x+)2-9-,即当x=-时,f′(x)取得最小值-9-.

因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12,

所以-9-=-12,即a2=9.

解得a=±3,由题设a＜0,所以a=-3.

(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x3-3x2-9x-1,

f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.

当x∈(-∞,-1)时,f′(x)＞0,故f(x)在(-∞,-1)上为增函数;

当x∈(-1,3)时,f′(x)＜0,故f(x)在(-1,3)上为减函数;

当x∈(3,+∞)时,f′(x)＞0,故f(x)在(3,+∞)上为增函数.

由此可见,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞);单调递减区间为(-1,3).