2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（B卷）

1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合word/media/image2.gif，word/media/image3.gif，则word/media/image4.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image6.gif word/media/image7.gif.word/media/image8.gif word/media/image9.gif.word/media/image10.gif word/media/image11.gif.word/media/image12.gif

2、对任意的正实数word/media/image13.gif，下列等式不成立的是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image14.gif word/media/image7.gif.word/media/image15.gif word/media/image9.gif.word/media/image16.gif word/media/image11.gif.word/media/image17.gif

3、已知函数word/media/image18.gif，设word/media/image19.gif，则word/media/image20.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image21.gif word/media/image7.gif.word/media/image22.gif word/media/image9.gif.word/media/image23.gif word/media/image11.gif.word/media/image24.gif

4、设word/media/image25.gif是虚数单位，word/media/image26.gif是实数，若复数word/media/image27.gif的虚部是2，则word/media/image28.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image29.gif word/media/image7.gif.word/media/image30.gif word/media/image9.gif.word/media/image21.gif word/media/image11.gif.word/media/image31.gif

5、设实数word/media/image32.gif为常数，则函数word/media/image33.gif存在零点的充分必要条件是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image34.gif word/media/image7.gif.word/media/image35.gif word/media/image9.gif.word/media/image36.gif word/media/image11.gif.word/media/image37.gif

6、已知向量word/media/image38.gif，word/media/image39.gif，则下列结论正确的是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image40.gif word/media/image7.gif.word/media/image41.gif word/media/image9.gif.word/media/image42.gif word/media/image11.gif.word/media/image43.gif

7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image44.gif word/media/image7.gif.word/media/image45.gif word/media/image9.gif.word/media/image46.gif word/media/image11.gif.word/media/image47.gif

8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）

word/media/image49.gif.word/media/image50.gif word/media/image7.gif.word/media/image30.gif word/media/image9.gif.word/media/image29.gif word/media/image11.gif.word/media/image51.gif

9、若实数word/media/image13.gif满足word/media/image52.gif，则word/media/image53.gif的最小值为（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image24.gif word/media/image7.gif.word/media/image22.gif word/media/image9.gif.word/media/image54.gif word/media/image11.gif.word/media/image21.gif

10、如图，word/media/image55.gif是平行四边形word/media/image56.gif的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image57.gif word/media/image7.gif.word/media/image58.gif

word/media/image9.gif.word/media/image60.gif word/media/image11.gif.word/media/image61.gif

11、设word/media/image62.gif的内角word/media/image63.gif的对边分别为word/media/image64.gif，若word/media/image65.gif，则word/media/image66.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image67.gif word/media/image7.gif.word/media/image68.gif word/media/image9.gif.word/media/image69.gif word/media/image11.gif.word/media/image70.gif

12、函数word/media/image71.gif，则word/media/image72.gif的最大值和最小正周期分别为（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image73.gif word/media/image7.gif.word/media/image74.gif word/media/image9.gif.word/media/image75.gif word/media/image11.gif.word/media/image76.gif

13、设点word/media/image77.gif是椭圆word/media/image78.gif上的一点，word/media/image79.gif是椭圆的两个焦点，若word/media/image80.gif，则word/media/image81.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image29.gif word/media/image7.gif.word/media/image51.gif word/media/image9.gif.word/media/image82.gif word/media/image11.gif.word/media/image83.gif

14、设函数word/media/image72.gif是定义在word/media/image84.gif上的减函数，且word/media/image72.gif为奇函数，若word/media/image85.gif，word/media/image86.gif，则下列结论不正确的是（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image87.gif word/media/image7.gif.word/media/image88.gif word/media/image9.gif.word/media/image89.gif word/media/image11.gif.word/media/image90.gif

15、已知数列word/media/image91.gif的前word/media/image92.gif项和word/media/image93.gif，则word/media/image94.gif（ ）

word/media/image5.gif.word/media/image95.gif word/media/image7.gif.word/media/image96.gif word/media/image9.gif.word/media/image97.gif word/media/image11.gif.word/media/image98.gif

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16、双曲线word/media/image99.gif的离心率为 .

17、若word/media/image100.gif，且word/media/image101.gif，则word/media/image102.gif .

18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .

19、圆心为两直线word/media/image103.gif和word/media/image104.gif的交点，且与直线word/media/image105.gif相切的圆的标准方程是 .

三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20、若等差数列word/media/image91.gif满足word/media/image106.gif，且word/media/image107.gif.

（1）求word/media/image91.gif的通项公式；

（2）设数列word/media/image108.gif满足word/media/image109.gif，word/media/image110.gif，求数列word/media/image108.gif的前word/media/image92.gif项和word/media/image111.gif.

21、如图所示，在三棱锥word/media/image113.gif中，word/media/image114.gif，word/media/image115.gif，word/media/image116.gif为word/media/image117.gif的中点，word/media/image118.gif垂直平分word/media/image119.gif，且word/media/image118.gif分别交word/media/image120.gif于点word/media/image121.gif.

（1）证明：word/media/image122.gif；

（2）证明：word/media/image123.gif.

2018年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（B卷）答案解析

一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、B 解析：word/media/image124.gif，故选B.

2、B 解析：对于B项，令word/media/image125.gif，则word/media/image126.gif，而word/media/image127.gif，显然不成立，故选B.

3、C 解析：word/media/image128.gif word/media/image129.gif，故选C.

4、D 解析：word/media/image130.gif word/media/image131.gif，故选D.

5、C 解析：由已知可得，word/media/image132.gif，故选C.

6、B 解析：对于A项，word/media/image133.gif，错误；

对于B项，word/media/image134.gif，word/media/image39.gif，则word/media/image135.gif，正确；

对于C项，word/media/image136.gif，错误；

对于D项，word/media/image137.gif，错误. 故选B.

7、A 解析：抽样比为word/media/image138.gif，则应抽取的男生人数为word/media/image139.gif，应抽取的女生人数为word/media/image140.gif，故选A.

8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为word/media/image141.gif，故选C.

9、D 解析：（快速验证法）交点为word/media/image142.gif，则word/media/image53.gif分别为word/media/image143.gif，所以word/media/image144.gif的最小值为word/media/image21.gif，故选D.

10、D 解析：对于A项，word/media/image145.gif，错误；

对于B项，word/media/image146.gif，错误；

对于C项，word/media/image147.gif，错误；

对于D项，word/media/image148.gif，正确. 故选D.

11、A 解析：由余弦定理，得word/media/image149.gif，又word/media/image150.gif word/media/image151.gif，故选A.

12、A 解析：word/media/image152.gif word/media/image153.gif，最小正周期为word/media/image154.gif，故选A.

13、B 解析：word/media/image155.gif word/media/image156.gif

word/media/image157.gif，故选B.

14、D 解析：对于A项，word/media/image158.gif为word/media/image84.gif上的奇函数word/media/image159.gif，正确；

对于B项，word/media/image158.gif为word/media/image84.gif上的减函数word/media/image160.gif，正确；

对于C项，word/media/image161.gif word/media/image162.gif

word/media/image163.gif，正确；

对于D项，word/media/image164.gif word/media/image165.gif

word/media/image166.gif，错误. 故选D.

15、C 解析：当word/media/image167.gif时，word/media/image168.gif；当word/media/image169.gif时，word/media/image170.gif适合上式. word/media/image171.gifword/media/image172.gif是首项为word/media/image29.gif，公比为word/media/image29.gif的等比数列 word/media/image173.gif，故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.

16、word/media/image174.gif 解析：由已知，得word/media/image175.gif word/media/image176.gif

word/media/image177.gif双曲线的离心率为word/media/image178.gif.

17、word/media/image179.gif 解析：word/media/image180.gif，且word/media/image101.gifword/media/image181.gif

word/media/image182.gif.

18、word/media/image183.gif 解析：word/media/image184.gif.

19、word/media/image185.gif 解析：联立word/media/image186.gif得word/media/image187.gif

则圆心word/media/image188.gif到直线word/media/image105.gif的距离为word/media/image189.gif，故圆的半径为word/media/image190.gif

word/media/image177.gif圆的标准方程为word/media/image185.gif.

3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

20、解：（1）设等差数列word/media/image91.gif的公差为word/media/image191.gif.

word/media/image177.gifword/media/image192.gif

word/media/image193.gif word/media/image177.gif数列word/media/image91.gif的通项公式为word/media/image194.gif.

（2）由（1）知，word/media/image194.gif word/media/image195.gif

word/media/image196.gif又word/media/image197.gif适合上式 word/media/image198.gif

word/media/image199.gifword/media/image177.gif数列word/media/image108.gif是首项为word/media/image30.gif，公差为word/media/image21.gif的等差数列.

word/media/image200.gif

21、解：（1）证明：word/media/image202.gif垂直平分word/media/image119.gif word/media/image203.gif为word/media/image119.gif的中点

又word/media/image204.gif为word/media/image117.gif的中点 word/media/image205.gif为word/media/image206.gif的中位线 word/media/image207.gif

又word/media/image208.gif word/media/image209.gif

（2）证明：连接word/media/image210.gif

word/media/image211.gif，word/media/image212.gif为word/media/image119.gif的中点 word/media/image213.gif

word/media/image202.gif垂直平分word/media/image119.gif word/media/image214.gif

又word/media/image215.gif，word/media/image216.gif word/media/image217.gif

又word/media/image218.gif word/media/image219.gif

word/media/image220.gif word/media/image221.gif

又word/media/image222.gif，word/media/image223.gif word/media/image224.gif

又word/media/image225.gif word/media/image226.gif