江苏省淮安市2019年中考数学试卷

数 学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共24分)

一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)

1.的绝对值是 (　　)

A. B. C. D.

2.计算的结果是 (　　)

A. B. C. D.

3.同步卫星在赤道上空大约36 000 000米处.将36 000 000用科学记数法表示应为 (　　)

A.36× B.0.36×

C.3.6× D.3.6×

4.下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体,则该几何体的主视图是 (　　)

5.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是 (　　)

A. B.

C. D.

6.2019年淮安市“周恩来读书节”活动主题是“阅读,遇见更美好的自己”.为了解同学们课外阅读情况,王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计,结果如下(单位：本)：5,5,3,6,3,6,6,5,4,5,则这组数据的众数是 (　　)

A.3 B.4 C.4 D.5

7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　　)

A. B.

C. D.

8.当矩形面积一定时,下列图象中能表示它的长和宽之间函数关系的是 (　　)

第Ⅱ卷(非选择题 共126分)

二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)

9.分解因式：　　　　.

10.现有一组数据2,7,6,9,8,则这组数据的中位数是　　　　.

11.方程的解是　　　　.

12.若一个多边形的内角和是,则该多边形的边数是　　　　.

13.不等式组的解集是　　　　.

14.若圆锥的侧面积是,母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是　　　　.

15.如图,,直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若,,,则　　　　.

16.如图,在矩形ABCD中,,,H是AB的中点,将沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则　　　　.

三、解答题(本大题共有11小题,共102分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

计算：

(1)； (2).

18.(本小题满分8分)

先化简,再求值：,其中.

19.(本小题满分8分)

某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如下表所示：

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？

20.(本小题满分8分)

已知：如图,在□中,点E、F分别是边AD、BC的中点.求证：.

21.(本小题满分8分)

某企业为了解员工安全生产知识掌握情况,随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试,测试试卷满分100分.测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.(说明：测试成绩取整数,A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下)

请解答下列问题：

(1)该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有　　　　人；

(2)补全条形统计图；

(3)若该企业共有员工800人,试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数.

22.(本小题满分8分)

在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字,分别为5、8、8,现将三张卡片放入一只不透明的盒子中,搅匀后从中任意摸出一张,记下数字后放回,搅匀后再任意摸出一张,记下数字.

(1)用树状图或列表等方法列出所有可能结果；

(2)求两次摸到不同数字的概率.

23.(本小题满分8分)

如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点).

(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点,点B的对应点为点,请画出平移后的线段；

(2)将线段绕点按逆时针方向旋转,点的对应点为点,请画出旋转后的线段；

(3)连接、,求的面积.

24.(本小题满分10分)

如图,AB是的直径,AC与交于点F,弦AD平分,,垂足为E.

(1)试判断直线DE与的位置关系,并说明理由；

(2)若的半径为2,,求线段EF的长.

25.(本小题满分10分)

快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息1.5小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间为小时,快车行驶的路程为千米,慢车行驶的路程为千米.下图中折线OAEC表示与之间的函数关系,线段OD表示与之间的函数关系.

请解答下列问题：

(1)求快车和慢车的速度；

(2)求图中线段EC所表示的与之间的函数表达式；

(3)线段OD与线段EC相交于点F,直接写出点F的坐标,并解释点F的实际意义.

26.(本小题满分12分)

如图,已知二次函数的图像与轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为,点D的坐标为.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点E是线段BD上的一点,过点E作轴的垂线,垂足为F,且,求点E的坐标；

(3)试问在该二次函数图像上是否存在点G,使得的面积是的面积的？若存在,求出点G的坐标；若不存在,请说明理由.

27.(本小题满分12分)

如图,在中,,＝,D是BC的中点.

小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转,点B的对应点是点E,连接BE,得到.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究,并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时,如图所示.

＝　　　　；

连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是　　　　.

(2)请在图中画出,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.

江苏省淮安市2019年中考数学试卷

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】D

【解析】根据绝对值的性质,得,故选D.

【考点】绝对值

2.【答案】A

【解析】,故选A.

【考点】同底数幂的乘法

3.【答案】D

【解析】36 000 000用科学记数法表示为,故选D.

【考点】科学记数法

4.【答案】C

【解析】从正面看第一层是3个小正方形,第二层最左边有一个小正方形,故选C.

【考点】简单组合体的三视图

5.【答案】B

【解析】,能搭成三角形；,不能搭成三角形；,能搭成三角形；,能搭成三角形.故选B.

【考点】三角形的三边关系

6.【答案】C

【解析】数据5出现了4次为最多,故众数是5,故选C.

【考点】众数

7.【答案】B

【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,,,故选B.

【考点】一元二次方程根的判别式

8.【答案】B

【解析】设矩形的面积为,则它的长与宽之间的函数关系式为：(且),是反比例函数,且图像只在第一象限,故选B.

【考点】反比例函数

第Ⅱ卷

二.填空题

9.【答案】

【解析】.

故答案为：.

【考点】公式法分解因式

10.【答案】7

【解析】这组数据排列顺序为：2,6,7,8,9,

这组数据的中位数为7.

故答案为：7.

【考点】中位数

11.【答案】

【解析】方程两边都乘以,

得,

解得,

检验：当时,,

所以是原方程的解.

故答案为：.

【考点】分式方程

12.【答案】5

【解析】设多边形的边数为,根据题意得,解得.故答案为：5.

【考点】多边形内角和

13.【答案】

【解析】根据同大取大即可得到不等式组的解集是,故答案为：.

【考点】一元一次不等式组

14.【答案】3

【解析】设圆锥的底面圆半径为,由题意得,元,解得.故答案为：3.

【考点】圆锥的计算

15.【答案】4

【解析】∵,

∴,

∵,,,

∴,

∴.

故答案为：4.

【考点】平行线分线段成比例定理

16.【答案】

【解析】∵,点H是AB的中点,

∴,

由翻折变换的性质可知,

,,

∴,

∴,

∵

∴,

∵,

∴.

故答案为：.

【考点】翻折变换的性质,矩形的性质和锐角三角函数的定义

三、解答题

17.【答案】(1)

(2)

【解析】(1)原式

(2)原式

【考点】实数的运算,整式的混合运算

18.【答案】7

【解析】原式

,

当时,原式.

故答案为7.

【考点】分式的化简求值

19.【答案】解：设每节火车车皮装物资吨,每辆汽车装物资吨,根据题意得：

解得

答：每节火车车皮和每辆汽车各装物资50吨、6吨.

【解析】设每节火车车皮装物资吨,每辆汽车装物资吨,然后根据“2节火车车皮与5辆汽车共运输物资总量为130吨,4节火车车皮与3辆汽车共运输物资总量为218吨”列出方程组解答.

【考点】二元一次方程组

20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴,且,

∵E、F分别的边AD、BC的中点,

∴,

∴四边形DEBF是平行四边形,

∴.

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,可得,且,再证明四边形DEBF是平行四边形,即可根据平行四边形的性质得到.

【考点】平行四边形的判定与性质

21.【答案】解：(1)(人),所以参加本次安全生产知识测试共有40人,故答案为40；

(2)C等级的人数为：(人),

补全条形统计图如下：

(3)(人),

答：估计该企业员工中对安全生产知识的掌握达到A等级的约有160人.

【解析】(1)利用B等级的人数除以其所占百分比得到调查的总人数；

(2)根据图中提供数据,先计算C等级的人数,然后补全条形统计图；

(3)用企业员工总数800.人乘以A等级所占的百分比即可.

【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用

22.【答案】解：(1)列表得：

或画树状图：

共有9种所有可能结果；

(2)由(1)知,两次摸到不同数字的结果有4次,

∴P(两次摸到不同数字).

【提示】(1)根据题意列出表格,即可求得所有等可能结果；

(2)根据(1)中的表格求出两次摸到不同数字的结果,然后利用概率公式求解即可.

【考点】用列表或画树状图法求事件的概率.

23.【答案】解：(1)如图,线段为所作；

(2)如图,线段为所作；

(3)的面积.

【解析】(1)将A、B两点分别向上平移2个单位,找到平移后的对应点、,连接即可；

(2)根据旋转中心为点,旋转角度为,旋转方向为逆时针,找到点的对应点,连接即可；

(3)将放入一个矩形内,再利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可.

【考点】平移作图,旋转作图,图形面积的求法.

24.【答案】解：(1)DE与相切,理由如下：连接OD,如图所示：

∵AD平分,

∴,

∵,

∴,

∴

∴,

∵,

∴,

∵点D在上,

∴直线DE与相切.

(2)连接BD,由(1)知,

∵,

∴

∵AB是的直径,

∴,

∵的半径是2,

∴,

∴,.

∵

∴,

∴,

∵四边形ABDF是的内接四边形,

∴,

∴,

∵,

∴,

∴,

即,

解得：.

【解析】(1)连接OD,由角平分线和等腰三角形的性质得出,证出,再由已知条件得出,即可得出结论；

(2)连接BD,通过解和分别求出AD、BD和DE的长,然后证明,得到,代入相关线段的长,即可求出EF的长.

【考点】圆内接四边形的性质,正方形的性质.

25.【答案】解：(1)快车的速度为：(千米/小时),慢车的速度为：(千米/小时)；

(2)“快车途中休息1.5小时,点E的坐标为,快车休息后行驶的时间为：(小时),即快车全程用了(小时),点C的坐标为,

设线段EC所表示的函数关系式为,

将E,C代入,得

解得

∴；

(3)由题意得,解得,(千米),点F的坐标为,点F的实际意义：行驶4.5小时后,快车和慢车都行驶了270千米.

【解析】(1)根据“”即可求出快车和慢车的速度；

(2)根据题意求出点E和点C的坐标,利用待定系数法求出线段EC的解析式；

(3)根据两车距离出发地的路程列出方程,求出值,再求出的值,即可得到点F的坐标,根据两车的行驶情况得出点F的实际意义.

【考点】一次函数的应用,用待定系数法求函数解析式,一次函数交点坐标问题.

26.【答案】(1)设二次函数解析式为,把点,得,解得,

∴二次函数表达式为：.

(2)设BD的解析式为,把点代入,

得解得,

∴直线BD的解析式为,

设点,如图1过点E作x轴的垂线,垂足为F,设对称轴与x轴交于点Q,

则,

又∵,

∴,

∴,

又∵,

∴,

∴,

即,

解得,

∴点E的坐标为.

(3)存在.理由如下：

设底边DG上的高为,底边DG上的高为,

∵的面积是的面积的,

∴,由二次函数可知点A的坐标为,

∴,

当点G在对称轴的左侧；且在x轴上方时,如图2,设直线DG交x轴于点P,分别作,垂足分别为N、M,

则,

∴,,即,

∴,

解得,

∴点P的坐标为,

又∵,

∴直线DG的解析式为,联立得解得(舍去)

∴点G的坐标为；

当点G在对称轴的左侧,且在x轴下方时,如图3,

设直线DG交x轴于点P,分别作垂足分别为N、M,则,,,

∴,即,

∴,

解得,

∴点P的坐标为,

又∵D,

∴直线DG的解析式为,联立得解得：(舍去)

∴点G的坐标为；

当点G在对称轴的右侧时,由图像可知,在直线DG上y随x的增大而减小,,

∴,

∴此时点G不存在；

综上所述,满足条件的点G的坐标为：或.

【解析】(1)利用顶点坐标设二次函数解析式,然后把点B的坐标代入即可求出函数表达式；

(2)根据点B、点D的坐标求出BD的解析式为,设点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,设对称轴与x轴交于点Q,则,于是可得,所以,然后把相关线段用坐标表示出来,代入求解可得点E的横坐标,进而可求出点E的坐标；

(3)存在.设底边DG上的高为,底边DG上的高为.根据题意则有；分点G在对称轴的左侧,且在x轴上方,点G在对称轴的左侧,且在x轴下方,点G在对称轴的右侧三种情况,分别作出和,根据相似三角形的性质,求出直线DG与x轴的交点坐标,进而得到直线DG的解析式,与二次函数解析式联立,解方程组即可求出点G的坐标.

【考点】待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的图像与性质,相似三角形的判定与性质,图形面积的求法,直线与抛物线的交点坐标求法以及分类讨论思想.

27.【答案】(1)由旋转得

∴,

故答案为.

如图1,连接CE,

∵,

∴,,即AD垂直平分BC,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴,

故答案为平行.

(2).理由如下：如图2,延长CE交AD于点Q,连接BQ、PC,

∵AD垂直平分BC,

∴,,

∵线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PE,

∴,

∴,

在和中,

∴

∴,

∴

∵,

∴.

∵,

∴,

∵

∴

∵.

∴,

∵

∴

∴.

(3)由(1)(2)可知,当点E在AD上或在AD右侧时,

；当点E在AD左侧时,如图3,连接CE交AD于点Q,连接PC、BQ,

∵AD垂直平分BC,

∴,

∵线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PE,

∴,

∴,

在和中,

∴

∴

∴,

∴点P、B、E、Q四点共圆,

∵,

∴

∴,

又∵,

∴,

∴,

∴点B的对应点E在过点C且与AB平行的直线上；

如图4,当点P在A点时,点B的对应点为,此时.

∵,,

∴,

当点P为线段AD上任意一点时,设点B的对应点是点E,

∵是的外角,

∴,即,

∴,

∴,

∴当点P在线段AD上运动时,AE的最小值为3.

【解析】(1)①由旋转的性质和等腰三角形的性质可得,代入即可；

②由已知易证,可得,进而得到,即可得出.

(2)由已知易证,由,,就可以得出,得出,由四边形的内角和可得出,进而得出的值,即可判断CE与AB的关系.

(3)根据题意判断出点E的运动轨迹,再结合点P的运动范围,根据三角形中大角对大边,即可得到AE的最小值.

【考点】旋转的性质,等腰三角形的判定与性质,平行线的判定,全等三角形的判定与性质,四边形内角和定理等知识.解题关键是熟练掌握旋转的性质和确定点E的运动轨迹.