2011河北省中考数学试卷

一．选择题（共12小题，1-6小题每小题2分，7-12小题，每题3分，满分30分）

1．（2011河北，1，2分）计算30的结果是（　　）

A．3 B．30 C．1 D．0

考点：零指数幂。

专题：计算题。

分析：根据零指数幂：a0＝1（a≠0）计算即可．

解答：解：30＝1，

故选C．

点评：本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．

2．（2011河北，2，2分）如图，∠1＋∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．110° D．180°

考点：余角和补角。

专题：计算题。

分析：根据平角的定义得到∠1＋90°＋∠2＝180°，即由∠1＋∠2＝90°．

解答：解：∵∠1＋90°＋∠2＝180°，

∴∠1＋∠2＝90°．

故选B．

点评：本题考查了平角的定义：180°的角叫平角．

3．（2011河北，3，2分）下列分解因式正确的是（　　）

A．－a＋a3＝－a（1＋a2） B．2a－4b＋2＝2（a－2b）

C．a2－4＝（a－2）2 D．a2－2a＋1＝（a－1）2

考点：提公因式法与公式法的综合运用。

专题：因式分解。

分析：根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案．

解答：解：A．－a＋a3＝－a（1－a2）＝－a（1＋a）（1－a），故本选项错误；

B．2a－4b＋2＝2（a－2b＋1），故本选项错误；

C．a2－4＝（a－2）（a＋2），故本选项错误；

D．a2－2a＋1＝(a－1)2，故本选项正确．

故选D．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，理解因式分解与整式的乘法是互逆运算是解题的关键．

4．（2011河北，4，2分）下列运算中，正确的是（　　）

A．2x－x＝1 B．x＋x4＝x5 C．（－2x）3＝－6x3 D．x2y÷y＝x2

考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。

专题：计算题。

分析：A中整式相减，系数相减再乘以未知数，故错误；B，不同次数的幂的加法，无法相加；C，整式的幂等于各项的幂，错误；D，整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减．

解答：解：A中整式相减，系数相减再乘以未知数，故本选项错误；

B，不同次数的幂的加法，无法相加，故本选项错误；

C，整式的幂等于各项的幂，故本选项错误；

D，整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减．故本答案正确．

故选D．

点评：本题考查了整式的除法，A中整式相减，系数相减再乘以未知数，故错误；B，不同次数的幂的加法，无法相加；C，整式的幂等于各项的幂，错误；D，整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减．本题很容易判断．

5．（2011河北，5，2分）一次函数y＝6x＋1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点：一次函数的性质。

专题：存在型；数形结合。

分析：先判断出一次函数y＝6x＋1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．

解答：解：∵一次函数y＝6x＋1中k＝6＞0，b＝1＞0，

∴此函数经过一．二．三象限，

故选D．

点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一．三象限，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交．

6．（2011河北，6，2分）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（　　）

A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG

考点：展开图折叠成几何体。

专题：几何图形问题。

分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意找准红心“”标志所在的相邻面．

解答：解：由图1中的红心“”标志，

可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．

故选A．

点评：本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相邻面入手进行分析及解答问题．

7．（2011河北，7，3分）甲．乙．丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是32岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2＝27，S乙2＝19.6，S丙2＝1.6，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（　　）

A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．甲或乙团

考点：方差。

专题：应用题。

分析：由S甲2＝27，S乙2＝19.6，S丙2＝1.6，得到丙的方差最小，根据方差的意义得到丙旅行团的游客年龄的波动最小．

解答：解：∵S甲2＝27，S乙2＝19.6，S丙2＝1.6，

∴S甲2＞S乙2＞S丙2，

∴丙旅行团的游客年龄的波动最小，年龄最相近．

故选C．

点评：本题考查了方差的意义：方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．

8．（2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（　　）

A．1米 B．5米 C．6米 D．7米

考点：二次函数的应用。

专题：计算题。

分析：首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝－5(t－1)2＋6的顶点坐标即可．

解答：解：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，

∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，

∴h＝－5×(1－1)2＋6＝6米，

故选C．

点评：解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是（， ）当x等于时，y的最大值（或最小值）是．

9．（2011河北，9，3分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB．AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．

解答：解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，

∴∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，

∴△ACB∽△AED，

又A′为CE的中点，

∴，

即，

∴ED＝2．

故选B．

点评：本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．

10．（2011河北，10，3分）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数 则这样的三角形个数为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．13

考点：三角形三边关系。

专题：计算题。

分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可；

解答：解：由题意可得， ，

解得，11＜x＜15，

所以，x为12．13．14；

故选B．

点评：本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．

11．（2011河北，11，3分）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

考点：一次函数综合题；正比例函数的定义。

专题：数形结合。

分析：从y－等于该圆的周长，即列方程式，再得到关于y的一次函数，从而得到函数图象的大体形状．

解答：解：由题意

即

所以该函数的图象大约为A中函数的形式．

故选A．

点评：本题考查了一次函数的综合运用，从y－等于该圆的周长，从而得到关系式，即解得．

12．（2011河北，12，3分）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：

①x＜0 时，

②△OPQ的面积为定值．

③x＞0时，y随x的增大而增大．

④MQ＝2PM．

⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（　　）

A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤

考点：反比例函数综合题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。

专题：推理填空题。

分析：根据题意得到当x＜0时，y＝－，当x＞0时，y＝，设P（a，b），Q（c，d），求出ab＝－2，cd＝4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab＝－2，cd＝4得到MQ＝2PM；因为∠POQ＝90°也行，根据结论即可判断答案．

解答：解：①．x＜0，y＝－，∴①错误；

②．当x＜0时，y＝－，当x＞0时，y＝，

设P（a，b），Q（c，d），

则ab＝－2，cd＝4，

∴△OPQ的面积是（－a）b＋cd＝3，∴②正确；

③．x＞0时，y随x的增大而减小，∴③错误；

④．∵ab＝－2，cd＝4，∴④正确；

⑤．因为∠POQ＝90°也行，∴⑤正确；

正确的有②④⑤，

故选B．

点评：本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．

二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（2011河北，13，3分），π，－4，0这四个数中，最大的数是　 　．

考点：实数大小比较。

专题：计算题。

分析：先把各式进行化简，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．

解答：解：∵1＜＜2，π＝3.14，－4，0这四个数中，正数大于一切负数，

∴这四个数的大小顺序是

故答案为：π

点评：此题主要考查了实数的大小的比较．注意两个无理数的比较方法：根据开方的性质，把根号内的移到根号外，只需比较实数的大小．

14．（2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝　　．

考点：菱形的性质；数轴。

分析：根据数轴上A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，得出AB的长度，再根据BC＝AB即可得出答案．

解答：解：∵菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则AB＝1－（－4）＝5，

∴AB＝BC＝5．

故答案为：5．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及数轴上点的距离求法，求出AB的长度以及利用菱形的性质是解决问题的关键．

15．（2011河北，15，3分）若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为　　．

考点：非负数的性质：绝对值。

专题：计算题。

分析：根据非负数的性质，可求出x．y的值，然后将x，y再代入计算．

解答：解：∵|x－3|＋|y＋2|＝0，

∴x－3＝0，y＋2＝0，

∴x＝3，y＝－2，

∴则x＋y的值为：3－2＝1，

故答案为：1．

点评：此题主要考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键．

16．（2011河北，16，3分）如图，点0为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB延长线上，BD＝BC，则∠D＝　　．

考点：圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。

专题：计算题。

分析：根据圆周角定理，可得出∠ABC的度数，再根据BD＝BC，即可得出答案．

解答：解：∵∠AOC＝108°，∴∠ABC＝54°，

∵BD＝BC，∴∠D＝∠BCD＝∠ABC＝27°，

故答案为27°．

点评：本题考查了圆周角定理．三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．

17．（2011河北，17，3分）如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图2，则阴影部分的周长为　 　．

考点：平移的性质；等边三角形的性质。

专题：几何图形问题。

分析：根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM＋MN＋NR＋GR＋EG＋OE＝A′D′＋CD＝1＋1＝2，即可得出答案．

解答：解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，

∴A′M＝A′N＝MN，MO＝DM＝DO，OD′＝D′E＝OE，EG＝EC＝GC，B′G＝RG＝RB′，

∴OM＋MN＋NR＋GR＋EG＋OE＝A′D′＋CD＝1＋1＝2；

故答案为：2．

点评：此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M＝A′N＝MN，MO＝DM＝DO，OD′＝D′E＝OE，EG＝EC＝GC，B′G＝RG＝RB′是解决问题的关键．

18．（2011河北，18，3分）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．

如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．

若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是　 　．

考点：规律型：图形的变化类。

专题：应用题。

分析：根据“移位”的特点，然后根据例子寻找规律，从而得出结论．

解答：解：∵小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”，

∴3→4→5→1→2五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3，

同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，即连续循环两次，故仍回到顶点3．

故答案为：3．

点评：本题主要考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，难度适中．

三．解答题（共8小题，满分72分）

19．（2011河北，19，8分）已知是关于x，y的二元一次方程的解，求（a＋1）（a－1）＋7的值．

考点：二次根式的混合运算；二元一次方程的解。

专题：计算题。

分析：根据已知是关于x，y的二元一次方程的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出．

解答：解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，

∴2＝＋a，

a＝，

∴（a＋1）（a－1）＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．

点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a的值是解决问题的关键．

20．（2011河北，20，8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．

（1）以O为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△AA′B′C′和△ABC位似，且位似比为 1：2；

（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）

考点：作图-位似变换。

专题：计算题；作图题。

分析：（1）根据位似比是1：2，画出以O为位似中心的△A′B′C′；

（2）根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长．

解答：解：（1）如图所示：

（2）AA′＝CC′＝2．

在Rt△OA′C′中，

OA′＝OC′＝2，得A′C′＝2；

同理可得AC＝4．

∴四边形AA′C′C的周长＝4＋6．

点评：本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的为似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了利用勾股定理求四边形的周长．

21．（2011河北，21，8分）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形＞．

（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．

考点：列表法与树状图法。

专题：计算题。

分析：（1）由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率；

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．

解答：解：（1）∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，

∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为：；

（2）列表得：

∴一共有9种等可能的结果，

两人得到的数相同的有3种情况，

∴两人“不谋而合”的概率为．

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．（2011河北，22，8分）甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．

（1）问乙单独整理多少分钟完工？

（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。

专题：应用题。

分析：（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；

（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．

解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：

解得x＝80，

经检验x＝80是原分式方程的解．

答：乙单独整理80分钟完工．

（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得

解得：y≥25

答：甲至少整理25分钟完工．

点评：分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．

23．（2011河北，23，9分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．

（1）求证：①DE＝DG； ②DE⊥DG

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：

（4）当时，请直接写出的值．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。

分析：（1）由已知证明DE．DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；

（2）根据正方形的性质分别以点G．E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；

（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；

（4）由已知表示出的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．

又∵CE＝AG，

∴△DCE≌△GDA，

∴DE＝DG，

∠EDC＝∠GDA，

又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠ADE＋∠GDA＝90°，

∴DE⊥DG．

（2）如图．

（3）四边形CEFK为平行四边形．

证明：设CK．DE相交于M点，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，

∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG，

∵BK＝AG，

∴KG＝AB＝CD，

∴四边形CKGD是平行四边形，

∴CK＝DG＝EF，CK∥DG，

∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°，

∴∠KME＋∠DEF＝180°，

∴CK∥EF，

∴四边形CEFK为平行四边形．

（4）．

点评：此题考查的知识点是正方形的性质．全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．

24．（2011河北，24，9分）已知A．B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次 性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．

现有货运收费项目及收费标准表．行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图1）．上周货运量折线统计图（如图2）等信息如下：

货运收费项目及收费标准表

（1）汽车的速度为　 　千米/时，火车的速度为　 　千米/时：

（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽．y火与 x的函数关系式（不必写出x的取值范围），及x为何值时y汽＞y火（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用）

（3）请你从平均数．折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？

考点：一次函数的应用；折线统计图；算术平均数。

分析：（1）根据点的坐标为：（2，120），（2，200），直接得出两车的速度即可；

（2）根据图表得出货运收费项目及收费标准表．行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象，得出关系时即可；

（3）根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案．

解答：解：（1）根据图表上点的坐标为：（2，120），（2，200），

∴汽车的速度为 60千米/时，火车的速度为 100千米/时，

故答案为：60，100；

（2）依据题意得出：

y汽＝240×2x＋×5x＋200，

＝500x＋200；

y火＝240×1.6x＋×5x＋2280，

＝396x＋2280．

若y汽＞y火，得出500x＋200＞396x＋2280．

∴x＞20；

（3）上周货运量＝（17＋20＋19＋22＋22＋23＋24）÷7＝21＞20，

从平均数分析，建议预定火车费用较省．

从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省．

点评：此题主要考查了一次函数的应用以及折线图走势，根据数形结合解决实际问题是解决问题的关键．

25．（2011河北，25，10分）如图1至图4中，两平行线AB．CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α．

当α＝　 　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　 　．

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO＝　 　度，此时点N到CD的距离是　 　．

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

（参考数椐：sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝．）

考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形。

分析：思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；

探究一：根据由MN＝8，MO＝4，OY＝4，得出UO＝2，即可得出得到最大旋转角∠BMO＝30度，此时点N到CD的距离是 2；

探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2，即可得出∠BMO的最大值；

（2）分别求出α最大值为∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范围．

解答：解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α＝90度时，点P到CD的距离最小，

∵MN＝8，

∴OP＝4，

∴点P到CD的距离最小值为：6－4＝2．

故答案为：90，2；

探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，

∵MN＝8，MO＝4，OY＝4，

∴UO＝2，

∴得到最大旋转角∠BMO＝30度，此时点N到CD的距离是 2；

探究二

（1）由已知得出M与P的距离为4，

∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2，

当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，

此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；

（2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°＝120°，

如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，

连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，

∴sin∠MOH＝，

∴∠MOH＝49°，

∵α＝2∠MOH，

∴α最小为98°，

∴α的取值范围为：98°≤α≤120°．

点评：此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识，根据切线的性质求解是初中阶段的重点题型，此题考查知识较多综合性较强，注意认真分析．

26．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点

为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）．

（1）求c，b （用含t的代数式表示）：

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横．纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；

（2）①当x＝1时，y＝1－t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，

②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；

（3）根据图形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0，

再把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0，

∵t＞0，

∴b＝－t；

（2）①不变．

如图6，当x＝1时，y＝1－t，故M（1，1－t），

∵tan∠AMP＝1，

∴∠AMP＝45°；

②S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM＝（t－4）（4t－16）＋[（4t－16）＋（t－1）]×3－（t－1）（t－1）＝t2－t＋6．

解t2－t＋6＝，

得：t1＝，t2＝，

∵4＜t＜5，

∴t1＝舍去，

∴t＝．

（3）＜t＜．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．