圆的内接四边形

知识结构

2.重点、难点分析

重点：圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法.

难点：定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的

外角和它的内对角的相互对应位置.

3.教法建议

本节内容需要一个课时.

(1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例)，组织学生自主观察、分析和探究;

(2)在教学中以发现证明应用为主线，以特殊一般的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法.

一、教学目标：

(一)知识目标

(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;

(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理;

(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.

(二)能力目标

(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力;

(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维;(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力.

(三)情感目标

(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情;(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.

二、教学重点和难点:

重点：圆内接四边形的性质定理.

难点：定理的灵活运用.

三、教学过程设计

(一)基本概念

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆.

(二)创设研究情境

问题：一般的圆内接四边形具有什么性质?

研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)教师组织、引导学生研究.

1、边的性质：

(1)矩形：对边相等，对边平行.

(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等.

(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行.

归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质.2、角的关系

猜想：圆内接四边形的对角互补.

(三)证明猜想

教师引导学生证明.(参看思路)

思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，A与B均为平角BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?A=，C=

C=

思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45的角.在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?这时有2(+++)=360

所以+++=180

而+=A，+=C，

C=180，可得，圆内接四边形的对角互补.

(四)性质及应用

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角.

(对A层学生应知，逆定理成立，4点共圆)

例已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.

求证：CE∥DF.

(分析与证明学生自主完成)

说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法.对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决.

②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新.

巩固练习：教材P98中1、2.

知识：圆内接多边形圆内接四边形圆内接四边形的性质.思想方法：①特殊一般研究问题的方法;②构造圆内接四边形;③一题多解，一题多变.

(六)作业：教材P101中15、16、17题;教材P102中B组5题.

探究活动

问题：已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上(不与B、C重合)一点，直线BD与⊙O相交于点E.试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状?说明理由.

分析要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中D及CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变.提示：分两种情况

(1)当点D在⊙O外时.证明△CDE∽△CAD即可

(2)当点D在⊙O内时.利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD即可

说明：(1)本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换;(2)本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法;(3)一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论.本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，△CDE仍然是等腰三角形.