2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式

【学习要求】

1．理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．

2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．

【学法指导】

通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.

填一填：知识要点、记下疑难点

1．两点间的距离公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离表示为d(P1，P2)＝|P1P2|＝；的几何意义是：               ．

2．中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝          ，y＝         .

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|xA－xB|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

如何求P1，P2的距离d(P1P2)呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一　两点间的距离公式

问题1　在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有怎样的对应关系？有序实数对(x，y)与点P对应时x，y分别叫做什么？

问题2　在x轴上，已知点P1(x1,0)和P2(x2,0)，那么点P1和P2的距离为多少？

问题3　在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？

问题4　如图，已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？

问题5　在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O，A)等于什么？

问题6　一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用上述方法求点P1和P2的距离？

例1　已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．

跟踪训练1　已知点A(－3,4)，B(2，)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，并求出d(P，A)．

例2　证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

跟踪训练2　求函数y＝＋的最小值．

探究点二　中点公式

问题　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？

例3　已知▱ABCD的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D的坐标(如图所示)．

跟踪训练3　证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．

练一练：当堂检测、目标达成落实处

1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于 (　　)

A．5 B．5 C．5 D．5

2．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，则 (　　)

A．原点一定是线段AB的中点 B．A、B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上但不是中点D．结论都不正确

3．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．

课堂小结：

1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．

2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．