2019年贵州省黔东南州凯里一中高考数学模拟试卷（理科）（三）（4月份）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A={（x，y）|y=x}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则A∩B中元素的个数是（　　）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

2. 已知复数z在复平面内对应的点为（1，1），（i为虚数单位），则=（　　）

A. B. C. 2 D. 1

3. 如图给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图（连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点），其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分．根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是（　　）

A. 成绩是75分的人数有20人
B. 成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C. 成绩落在70-90分的人数有35人
D. 成绩落在75-85分的人数有35人

4. （x-1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数是（　　）

A. 27 B. -27 C. 26 D. -26

5. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是（　　）

A. B. C. D.

6. 将函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），若g（x）的图象关于x=对称，则φ的值为（　　）

A. B. C. D.

7. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的可能值为（　　）

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

8. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）

A. B. 4π C. 2π D.

9. 在数列{an}中，已知an+1-an=an+2-an+1，a1010=1，则该数列前2019项的和S2019=（　　）

A. 2019 B. 2020 C. 4038 D. 4040

10. 已知F是椭圆的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（　　）

A. B. C. D.

11. 函数在区间[-3，4]上零点的个数为（　　）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

12. 已知△ABC是边长为a的正三角形，且，，设函数，当函数f（λ）的最大值为-2时，a=（　　）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若x、y满足约束条件，则2x+y的最大值与最小值之和为______．

14. 已知数列{an}为等比数列，且a8a9a10=-a132=-1000，则a10a12=______．

15. 某中学高三共有900人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布N（100，σ2），统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于120分的学生约有______人．

16. 已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 已知=（2sinx，cos2x），=（cosx，），函数f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）=2，C=，且△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC的周长．

18. 某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：

（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；
（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：
（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．

19. 如图所示，三棱锥P-ABC放置在以AC为直径的半圆面O上，O为圆心，B为圆弧上的一点，D为线段PC上的一点，且AB=BC=PA=3，，PA⊥BC．
（Ⅰ）求证：平面BOD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角D-AB-C的平面角为60°时，求的值．

20. 已知抛物线E：x2=4y．
（Ⅰ）A、B是抛物线E上不同于顶点O的两点，若以AB为直径的圆经过抛物线的顶点，试证明直线AB必过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，抛物线在A、B处的切线相交于点D，求△ABD面积的取值范围．

21. 已知函数．
（Ⅰ）当a≥1时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为-5，求a的值；
（Ⅱ）设，且g（x）有两个极值点x1，x2．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．

22. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与曲线C1：y=（x＞0）的交点为Q，求线段PQ的长．

23. 已知函数f（x）=|x-1|+|x+k|（k＞0）．
（Ⅰ）当k=2时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为3，且a，b，c∈R*，a+b+c=k，证明：a2+b2+c2≥．

答案和解析

1.【答案】B
【解析】

解：解得，，或；
∴，有两个元素．
故选：B．
解方程组即可得出A∩B，从而得出A∩B的元素个数．
考查描述法、列举法的定义，以及集合元素的概念．

2.【答案】D
【解析】

解：由题意，z=1+i，
则，
∴=1．
故选：D．
由已知可得z，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3.【答案】C
【解析】

解：根据题意，本折线图是由频率分布直方图得到的频率密度折线图，
图示的表示的是各段分数的人数，而不是某个分数的人数，
故A，B错，没有75到85分数段，故D错．
70～90分的频率为（）×10=，故分数在70～90分的人数为55×=35人．
故选：C．
根据题意，结合图形，用排除法处理即可．
本题考查了频率分布折线图，主要考查读图和识图的能力，属于基础题．

4.【答案】B
【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．把（3x2+1）3按照二项式定理展开，可得（x-1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数．
【解答】
解：∵（x-1）（3x2+1）3=（x-1）（27x6+27x4+9x2+1），故展开式中x4的系数是为1×（-27）=-27.
故选B．

5.【答案】C
【解析】

解：由抛物线y2=4x得p=2，其焦点为（，0），
∴双曲线的一个焦点w为（，0），
∴a2+1=（）2，∴a2=2，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：C．
根据抛物线方程求得双曲线的一个焦点，由此得到a2=2，从而可得双曲线的渐近线方程．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．

6.【答案】A
【解析】

解：将函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），
即g（x）=cos[2（x-）+φ]=cos（2x-+φ），
若g（x）的图象关于x=对称，
则2×-+φ=kπ，
即φ=kπ-，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴当k=1时，φ=π-=，
故选：A．
根据三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．
本题主要考查三角函数的对称以及平移关系的应用，求出函数的解析式，结合函数的对称性是解决本题的关键．

7.【答案】A
【解析】

解：模拟执行程序框图，可得
S=1，k=1
不满足条件k＞a，S=1+=，k=2
不满足条件k＞a，S=1++=，k=3
不满足条件k＞a，S=1+++=2=，k=4
不满足条件k＞a，S=1+++=2-=，k=5
根据题意，此时应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为．
故选：A．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，根据题意，此时应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为，从而得解．
本题主要考查了循环结构，根据S的值正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．

8.【答案】D
【解析】

解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．
故选：D．
由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．

9.【答案】A
【解析】

解：数列{an}中，已知an+1-an=an+2-an+1，
所以：2an+1=an+an+2，
所以：数列{an}为等差数列，
由于a1010=1，
所以：=
故选：A．
首先利用关系式求出数列为等差数列，进一步利用前n项和的应用求出结果．
本题考查的知识要点：等差数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

10.【答案】B
【解析】

解：设F（c，0），A（0，b），直线AF与椭圆的交点为M（m，n），
可得=，
即为（c，-b）=（m，n-b），
即有c=m，-b=（n-b），
可得m=c，n=-b，
M（c，-b）代入椭圆方程可得•+=1，
即有e==．
故选：B．
设F（c，0），A（0，b），直线AF与椭圆的交点为M（m，n），可得=，由向量的坐标表示，求得M的坐标，代入椭圆方程，由离心率公式可得所求值．
本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查向量的坐标表示，化简运算能力，属于基础题．

11.【答案】C
【解析】

解：设g（x）=1+x-+-+…-+，
则g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2018=，
在区间[-3，4]上，＞0，故函数g（x）在[-3，4]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（4）=1+4+（-+）+（-+）+…+（-+）＞0，
故在[-3，4]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，4]上有±，±，五个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-+-+…-+）cos2x
在区间[-3，4]上的零点的个数为1+5=6．
故选：C．
先将原函数分解成两个函数g（x）=1+x-+-+…-+和y=cos2x的积，分别计算这两个函数的零点．前面的用导数证明是单调增，且f（-3）f（4）＜0，所以必有一个零点；后面一个函数y=cos2x的零点是五个，从而得出答案．
本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，导数的应用，考查了等价转化的思想，属于中档题．

12.【答案】D
【解析】

解：由△ABC是边长为a的正三角形，，，
所以函数=（）==-（1-λ）2-+=（-λ2+λ-1）=a2[-（）2-]，
则有-=-2，
又a＞0，
解得a=，
故选：D．
由平面向量的线性运算及向量的数量积运算得：函数=（）==-（1-λ）2-+=（-λ2+λ-1）=a2[-（）2-]，由二次函数的最值可得：-=-2，又a＞0，解得a=，得解．
本题考查了平面向量的线性运算及向量的数量积运算，属中档题．

13.【答案】0
【解析】

解：作出x、y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由，解得A（-1，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=-2-1=-3．
即目标函数z=2x+y的最小值为-3．
当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得B（2，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=4-1=3．
即目标函数z=x+y的最大值为3．则2x+y的最大值与最小值之和为0．
故答案为：0．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．

14.【答案】100
【解析】

解：根据题意，等比数列{an}满足a8a9a10=-a132=-1000，
则有（a9）3=-1000，则a9=-10，
a132=1000，则a13=±10，
又由a13=a9q4＜0，则a13=-10，
则a10a12=a9a13=100；
故答案为：100．
根据题意，由等比数列的性质可得a9=-10且a13=±10，又由又由a13=a9q4＜0，则a13=-10，结合等比数列的性质可得a10a12=a9a13，即可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的通项公式，属于基础题．

15.【答案】150
【解析】

解：设学生考试成绩为X，则P（80＜X＜100）=，
∴P（100＜X＜120）=P（80＜X＜100）=，
又P（X＞100）=，
∴P（X≥120）=P（X＞100）-P（100＜X＜120）=，
∴成绩不低于120分的学生约有900×=150人．
故答案为：150．
根据正态分布的对称性求出100到120分的概率，再计算成绩不低于120分的概率，从而得出人数．
本题考查了正态分布的特点，属于基础题．

16.【答案】
【解析】

解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
过B作BD⊥AC，交AC于点D，
∵直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，
∴AC==，
BD===，AD===，
∴A（0，0，0），B1（，，1），B（，0），C1（0，，1），
∴=（，1），=（-，，1），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故答案为：．
以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

17.【答案】解：（Ⅰ）由已知条件得f（x）=•=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（）=2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，
∵0＜A＜π，∴＜A+＜，可得A=，
由C=，知B=，因为△ABC外接圆的面积为4π，
所以△ABC外接圆的半径r=2，
由正弦定理知△ABC的周长为l=a+b+c=2rsinA+2rsinB+2rsinC
=4（++）=4+2．
【解析】

（Ⅰ）由已知条件整理得f（x）=2sin（2x+），再利用三角函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由题意可得sin（A+）=1，由A的范围可得A，B，再由正弦定理可得a，b，c，进而得到所求周长．
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，考查三角函数单调性的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

18.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，
元件B为正品的概率约为=0.75；
（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次；
∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；
∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，
P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；
∴随机变量X的分布列为：

计算数学期望为EX=110×0.6+50×0.15+35×0.2-25×0.05=78.25；
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，
所以取n=4或n=5；
设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，
则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．
【解析】

（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，
利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；
（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．
本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．

19.【答案】（I）证明：∵PA=AB=3，PB=3，∴PA⊥AB，
又PA⊥BC，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，
∴PA⊥BO，
∵AB=BC，O是AC的中点，
∴BO⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BO⊥平面PAC，又BO⊂平面BOD，
∴平面BOD⊥平面PAC．
（II）解：以O为原点，以OB，OC和平面ABC过点O的垂线为坐标轴建立空间坐标系O-xyz，
∵AB=BC=PA=3，PB=3，∴OA=OB=OC=，
∴A（0，-，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，-，3），
∴=（，，0），=（0，3，-3），=（0，0，3），
设=λ（0≤λ＜1），则=λ=（0，3λ，-3λ），∴==（0，3λ，3-3λ），
设平面ABD的一个法向量为=（x，y，z），则，即，
令x=1可得=（1，-1，），
又平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），
∴cos＜＞===，
∵二面角D-AB-C的平面角为60°，
∴=，解得λ=或λ=（舍），
∴=．
【解析】

（I）证明OB⊥AC，OB⊥PA得出OB⊥平面PAC，故平面BOD⊥平面PAC；
（II）设=λ，建立空间坐标系，求出平面ABD和平面ABC的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于计算λ的值．
本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．

20.【答案】解：（Ⅰ）证明：直线AB必有斜率，设直线AB的方程为y=kx+b，并代入抛物线得：x2-4kx-4b=0，
∴△=16k2+16b＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=-4b，
y1y2=×==b2，
以AB为直径的圆经过抛物线的顶点⇔x1x2+y1y2=0，
-4b+b2=0，解得b=4或b=0（舍）
所以直线AB的方程为y=kx+4过定点（0，4），
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线AB的方程为kx-y+4=0，
设P（m，n），则切点弦AB的方程为：mx=4×，即mx-2y-2n=0，即y=x-n，
故=k，n=-4，∴D（2k，-4），
D到直线AB的距离d==，
|AB|==，
∴S△ABD=d|AB|=××=（k2+4）×4≥32（当且仅当k=0时取等．
故△ABD的面积的取值范围是[32，+∞）．
【解析】

（Ⅰ）设直线AB的方程为y=kx+b，并代入抛物线得：x2-4kx-4b=0，以AB为直径的圆经过抛物线的顶点⇔x1x2+y1y2=0，根据韦达定理可得．
（Ⅱ）设出D的坐标，利用抛物线的切点弦方程求出AB的方程与（Ⅰ）中的AB的方程比较可得P的坐标为（2k，-4），再由弦长公式和点到直线的距离求得|AB|和d，再用面积公式求得．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．

21.【答案】解：（I）∵，
∴y=f（x）在[1，e]上是单调递增的，
∴，∴a=8．
（II）（i）∵=．
∴g′（x）=lnx-（a+1）x．
∴方程lnx-（a+1）x=0有两个不同实根x1，x2，得．
令，∴．
∴y=h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴．又∵h（1）=0，∴当0＜x＜1，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0．
∴．
（ii）由（i）可知，，
两式相加，得ln（x1x2）=（a+1）（x1+x2）--（1）
两式相减，得--（2）
，得，不妨设x2＞x1，
要证：，只需证
即证，
令，
则只需证
令
∵．
∴y=F（t）（1，+∞），∵F（1）=0，∴F（t）＞F（1）=0，本
∴，∴．
【解析】

（I）求导确定函数的单调性，从而求出a的值；
（i）数形结合，画出的图象，便可求出a的取值范围；
（ii）通过化归与转化思想将不等式的证明转化为函数的最值问题来解答．
本题考查了利用导数求函数的单调性，通过换元法，利用函数的单调性来求证不等式，本题较难．

22.【答案】解（Ⅰ）圆C1 的普通方程为x2+（y-1）2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C 的极坐标方程为ρ=2sinθ；
（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则由解得，
．C1：y=（x＞0）化为极坐标方程ρsinθ=，
设Q（ρ2，θ2），由解得．所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=．
【解析】

（Ⅰ）圆C1 的普通方程为x2+（y-1）2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆C 的极坐标方程为ρ=2sinθ；
（Ⅱ）设P（ρ1，θ1），则由解得．C1化为极坐标方程，设Q（ρ2，θ2），由解得．所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=．
本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，考查极坐标系下弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．

23.【答案】解：（Ⅰ）方法一：根据几何意义“|x-1|+|x+2|”表示数轴上x到-2和1的距离之和，
所以不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}．
方法二：零点分区间讨论如下：
①当x≤-2时，-x-2-x+1≥5，即x≤-3，∴x≤-3．
②当-2＜x＜1时，x+2-x+1≥5即3≥5，不符合题意；
③当x≥1时，x+2+x-1≥5即x≥2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}．
证明：（Ⅱ）因为f（x）=|x-1|+|x+k|≥|（x-1）-（x+k）|=|k+1|．
又函数f（x）的最小值为3，k＞0，
所以|k+1|=3，解得k=2，即a+b+c=2，
由柯西不等式得（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=4，
所以：a2+b2+c2≥．
【解析】

（Ⅰ）方法一：首先判断“|x+2|+|x-1|”的几何意义，运用数形结合思想，在数轴上找到所求不等式的解集．
方法二：根据零点分区间进行分类讨论进行求解．
（Ⅱ）根据绝对值的几何意义，可得k=2，由柯西不等式证明即可
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和柯西不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．