历年高考经典真题汇编

专题2：立体几何*文科

姓 名： 年 级： 教 师：李 瑾 瑜

1、基础题型：

1、平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离

分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：

①1； ②2； 3； ④4；

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）

【答案】解：如图，B、D到平面的距离为1、2，则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；

B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为，则，即，所以D到平面的距离为1；

C、D到平面的距离为1、2，同理可得B到平面的距离为1；所以选①③。

2、已知点在同一个球面上, 若

,则两点间的球面距离是 .

【答案】

3、对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；

若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。

3、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________. 【答案】（0，-1, 0）

4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______.

【解析】表面积是word/media/image23_1.pngword/media/image24_1.png

该几何体是底面是直角梯形，高为word/media/image25_1.png的直四棱柱

几何体的的体积是word/media/image26_1.png

5、若四面体word/media/image27_1.png的三组对棱分别相等，即word/media/image29_1.png，word/media/image30_1.png，word/media/image31_1.png，则________(写出所有正确结论编号)。

①四面体word/media/image27_1.png每组对棱相互垂直

②四面体word/media/image27_1.png每个面的面积相等

③从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于word/media/image32_1.png而小于word/media/image33_1.png

④连接四面体word/media/image27_1.png每组对棱中点的线段互垂直平分[来源:Z*xx*]

⑤从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

【解析】正确的是word/media/image23_1.png②④⑤

②四面体word/media/image27_1.png每个面是全等三角形，面积相等

③从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于word/media/image34_1.png

④连接四面体word/media/image27_1.png每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分

⑤从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

6、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截

该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

word/media/image35_1.png

①当0＜CQ＜时，S为四边形

②当CQ＝时，S为等腰梯形

③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

④当＜CQ＜1时，S为六边形

word/media/image39_1.png⑤当CQ＝1时，S的面积为

【答案】①②③⑤

word/media/image41_1.png【解析】当CQ＝时，D1Q2＝D1C12＋C1Q2，AP2＝AB2＋BP2，所以D1Q＝AP.又因为AD1∥PQ，AD1＝2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜时，截面为APQM，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．

图①

如图②，当CQ＝时，由△QCN∽△QC1R得

word/media/image42_1.png，即，C1R＝，故③正确．

如图③所示，当CQ＝1时，截面为APC1E.

可知AC1＝，EP＝且APC1E为菱形，

＝，故⑤正确．

当＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF.

所以④错误． 图③

7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

（A）word/media/image49_1.png （B）word/media/image50_1.png （C）word/media/image51_1.png （D）word/media/image52_1.png

【答案】C 【考点： 1.几何体的三视图 ； 2.锥体的体积公式.】

8、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ A ）．

（A） （B） （C）6 （D）7

9、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）

（A）372 （C）292

（B）360 （D）280

10、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

（A）48 （B）32+word/media/image59_1.png （C）48+word/media/image60_1.png （D）80

二、提高题型：

1、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明⊥；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。

【答案】

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。

过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。

在中，OH=， =。

在中，；

而

（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

设平面PAB的法向量为，则，，得，；

设平面PDB的法向量为，则，，得，；

【后面答案略，请自己完成】

2、如图,在六面体中,四边形ABCD是边 长为2的

正方形,四边形是边长为1的正方形,

平面,平面ABCD,

(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面，B1D1与BD共面

(Ⅱ)求证:平面

(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).

第(2)题图

【答案】 解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

word/media/image207_1.png3、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

【答案】 方法一（综合法）

（1）

为异面直线与所成的角（或其补角）

作连接

word/media/image221_1.png

，

所以与所成角的大小为

（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作于点Q，

又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

，

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

word/media/image237_1.png,

(1)设与所成的角为,

,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

,.

所以点B到平面OCD的距离为

4、如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且

EA=ED，FB=FC,和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，

证明：（1）直线垂直且平分线段AD：

（2）若∠EAD=∠EAB=,EF=2,求多面体ABCDEF的体积。

【答案】

5、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB；

（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积？

6、如图，word/media/image260_1.png为多面体，平面word/media/image261_1.png与平面word/media/image262_1.png垂直，

点word/media/image263_1.png在线段word/media/image264_1.png 上，word/media/image265_1.png,word/media/image266_1.png,word/media/image267_1.png,word/media/image268_1.png,word/media/image269_1.png,word/media/image270_1.png都是正三角形.

（Ⅰ）证明直线word/media/image271_1.png；

（Ⅱ）求棱锥word/media/image272_1.png的体积.

7、如图，长方体word/media/image276_1.png中，底面word/media/image277_1.png是正方形，word/media/image278_1.png是word/media/image279_1.png的中点，word/media/image280_1.png是棱word/media/image281_1.png上任意一点。

（Ⅰ）证明：word/media/image283_1.pngword/media/image284_1.png ；

（Ⅱ）如果word/media/image285_1.png=2，word/media/image286_1.png=word/media/image287_1.png，word/media/image288_1.png,，求word/media/image289_1.png 的长。

【解析】（I）连接word/media/image290_1.png，word/media/image291_1.png共面

长方体word/media/image276_1.png中，底面word/media/image277_1.png是正方形

word/media/image292_1.png面word/media/image293_1.pngword/media/image294_1.png

（Ⅱ）在矩形word/media/image295_1.png中，word/media/image296_1.png

得：word/media/image297_1.png

8、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.

已知PB＝PD＝2，PA＝.

word/media/image299_1.png(1)证明：PC⊥BD；

(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．

【答案】

(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD．再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，因此BD⊥PC．

word/media/image300_1.png(2)解：因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC．

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD．

因为∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1.

又PA＝，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC，

故S△APC＝PO·AC＝3.

由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··BO·S△APC＝.

word/media/image302_1.png9、 如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为．点分别是棱上共面的四点，平面⊥平面，∥平面．

（）证明：；

（）若，求四边形的面积．

【答案】（）证：∵，且平面，

∴． 同理可证．

因此．

（）解：连接交于点，交于点，连接．

word/media/image326_1.png ∵，是的中点，∴，

同理可得．

又，且都在地面内，

∴底面．

又∵平面⊥平面，

且平面，∴∥平面．

∵平面平面，

∴，且⊥底面，

从而．

∴是梯形的高．

由得，

∴，即为的中点．

再由得，即是的中点，且，

由已知可得，∴．

故四边形的面积．

10、如图，三棱锥P-ABC中，PAword/media/image353_1.png平面ABC，word/media/image354_1.png.

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACword/media/image353_1.pngBM，并求word/media/image355_1.png的值。

【答案】（1）word/media/image357_1.png （2）word/media/image358_1.png

【解析】考点：1.锥体的体积公式；2.线面垂直的判定定理及性质定理.

【试题分析】（Ⅰ）在word/media/image359_1.png中word/media/image360_1.png＝word/media/image361_1.png.又∵PA⊥面ABC ∴PA是三棱锥P-ABC的高，根据锥体的体积公式即可求出结果;（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果.

【试题解析】（Ⅰ）在word/media/image359_1.png中，word/media/image362_1.png＝1,word/media/image363_1.png∠word/media/image364_1.png

word/media/image360_1.png＝word/media/image365_1.png＝word/media/image366_1.png.[]

又∵PA⊥面ABC

∴PA是三棱锥P-ABC的高

∴word/media/image367_1.png

（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则

word/media/image368_1.pngword/media/image369_1.png

此时M即为所找点，在word/media/image370_1.pngword/media/image371_1.pngword/media/image372_1.png.