在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究

鲁妙然

提要：本文通过建立模型，简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，希望对生活有所帮助。

关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数

正文：

1.引言

生活中我们经常遇到这样的情况：外面在下雨，我们没带伞但又必须冒雨经过一段路程，这就让我产生了一个疑问：在雨中究竟是跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段路程，跑步花的时间短，但单位时间内淋的雨量可能更多。本文试对该问题做一个相对具体的分析。

2.建立流密度场模型

首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，气压影响较大，情况很复杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气压变化的情况，并且降雨量同一时刻在所选区域内处处相同。一般冒雨出行距离不会太远，大约在几百米左右，这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，所以可认为在该区域内不同地点同一时刻风向一致（当然若正好处在天气系统边界上就可能会不一致，但所选区域尺度极小，所以恰好处在天气系统边界上概率不大）。

我们定义“雨滴流密度”：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方向的面积微元的某一指定尺寸的雨滴数目与面积的比值，用字母表示，有，其中是在该处附近雨滴的速度，n是该处附近雨滴的数密度。（这个定义参照电流密度）。需注意的是同一位置同一时刻的n是雨滴直径的函数，及不同大小的雨滴数密度是不同的，下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴（认为尺寸与之差异微小的的雨滴看作尺寸与之相同）的情况，因为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。所有尺寸雨滴的总淋雨点数N乘以每个水滴的含水量求和（）即得总淋雨量。后面的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，而不同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，因为一般的雨滴直径最大不超过5mm，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸的雨滴行为，就可以代表全部了。下文中讨论的均是同一尺寸雨滴的情况，所以之后的讨论中，n仅是空间与时间的函数。当雨足够大时可认为在空间和时间上是连续的。

3.流密度场的面积分与化简

当人静止时，雨滴流密度对人体包络面内表面（法向量只向内）的面积分，即是某时刻附近单位时间内落到人身上的雨点数，需注意的是雨点不可能从人体表面内部落向外部，所以上述积分中小于零的部分要舍去（归零），即不是对整个包络面积分，而是对雨滴从外落向内的那部分面做积分，令这部分面为A，为其在三个坐标平面上的投影。则总积分写作：

其中n,均是x,y,z,t的函数，当你在雨中行进时（不失一般性，令行进方向即x方向，所以速度为u，向x轴正向为正），变为，相应的积分面也变化成使恒正的积分面了。则积分变为：

在人体这个尺度上，某一时刻人体表面处u,n,均是定值，（不随x,y,z变），故可提到积分号外，也可看出这种情况下的，，均是连续的，且就是人体在三个坐标平面上的投影面。所以上述积分进一步化为：

S1+S2+S3]

其中S1,S2,S3表人体在三个坐标平面上的投影面积，大小（令|S1|,|S2|,|S3|=S1,S2,S3）确定但符号由其前面的速度分量而定，保证二者乘积为正（如若<0，则S1=-|S1|=-S1）而u,n,均是指这一时刻，人所在位置附近某点u,n,的值（由前述，认为其附近所有点u,n,值相同）。所以积分又可写作：

S1 +||S2 +||S3]

4.流量对时间积分

令=I，设所研究路程长L，则经这段路程耗时，其中是人行进的平均速度。

则经过这段路淋的总雨滴量：

N==S1+S2+S3]dt （*）

或

N==S1 +||S2 +||S3]dt （**）

一切的问题归结为研究N与的关系。

5.模型中各变量分析

到现在为止，还没用到建立模型时限定的条件。当没有这些限定条件时，u,n,会随着不同时刻和人所在的位置发生改变。这是最一般的情况，但这样一来将使积分变的无法计算（因为不知道具体环境，n,与x，y，z，t的函数关系是未知的，也就将导致不同的结果）。

所以必须对模型做一些限制才能继续讨论。现在模型限制下，我们做进一步讨论。

首先，在限制之下，在同一高度处，n仅是时间t的函数，与地点无关，且由于下落到人体高度后雨滴的竖直速度基本恒定，所以在人体高度范围内，n也不随z做变化，所以n仅是t的函数。

再来考虑，一般可认为雨滴横向速度等于风的横向速度，因为风速仅是时间函数（所研究尺度内），所以也仅是时间函数。而对于一般的不是很剧烈的的天气系统竖直方向的风速是很小的（远小于水平方向），所以可认为雨滴竖直方向受重力和空气阻力平衡，所以保持匀速，所以是个常数（对于给定尺寸的雨滴），由生活经验来看，即使不是常数，也仅与时间有关。而对于u，可以由人控制，为讨论方便，也为本文结果更加有可操作性，我们令u在运动过程中保持不变。

在如上限制下只要能获得n，，利用计算机软件计算（**）积分即可得某一u对应的N的大小，再将所有尺寸雨滴的N乘以每个水滴的含水量求和（）即得总淋雨量。

为直观说明，我们可以作图如下：

积分变形做： S1| +|n S2| +|n S3|]dt . n，均是t的函数。

则有图：

图中红、绿、蓝三色阴影面积之和即N.

6.各变量均恒定的最简化模型

特别的，在实验室模拟情形下可使n,在运动过程中均保持恒定（用来模拟冒雨行进距离和时间都很短的情况），(**)变为：

S1 +||S2 +||S3] (***)

对于这种情况我们可以不依赖计算机给出确定结论。

情况一： 0, (- u)<0. （注意定义的时候都是以u的方向为x轴正向的）

此时=u -,所以（u -）S1=uS1 - S1=uS1 + ||S1

(**)变为N = [uS1 + ||S1 +||S2 +||S3]=LS1+ [||S1 +||S2 +||S3]

其中变量仅有u，且易看出u越大，N越小，即淋到的雨越少。所以当你站立不动时雨是从你前方打来的（即<0），那你应该尽可能快地跑过去，淋的雨最少。

情况二： >0, (- u)>0.

此时= (- u),所以(- u)S1=S1 – uS1= ||S1 – uS1

(**)变为N = [-uS1 + ||S1 +||S2 +||S3]=-LS1+ [||S1 +||S2 +||S3]

其中变量仅有u，且易看出u越大，N越小，即淋到的雨越少。所以当你站立不动时雨是从你后方打来的（即>0），那你应该快跑过去，淋的雨较少。但此时要注意有的限制，并不一定越快越好，u超过后淋雨量是继续减小还是开始增大要取决于||S1 与(||S2 +||S3)的大小，见下面第三种情况。

情况三： >0, (- u)<0.

此时=u -,所以（u -）S1=uS1 - S1=uS1 - ||S1

(**)变为N = [uS1 - ||S1 +||S2 +||S3]=LS1+ [（||S2 +||S3） - ||S1]

可见当||S1 < (||S2 +||S3)时，u越大，N越小。结合情况二与一，可知无论雨怎么下（实验室情况），都是速度越大，淋雨越少。

当||S1 > (||S2 +||S3)时，u越大，N越大。即此时，若>0，则u=时淋雨量最少（N~u函数在u=取最小值）。

当||S1 > (||S2 +||S3)时，N不随u变化，即若>0，则无论跑多快，淋雨量一样多。

7.最简模型的推广

从最简模型其实我们可以推出另一种更为实际的模型：即虽然随时间改变，但方向在所研究时间内不变（即若初时刻<0，则这段时间内<0恒立），这样就保证了最开始（*）积分中S1 dt这一项为定值-L S1（即确保S1符号在积分过程中不发生变化）。这样再分情况计算（*）：

<0时，S1=-S1恒立，则（*）=nLS1+S1+S2+S3]dt 既然都仅是时间的函数，则设快行时，慢行时，则慢行时与快行时淋

雨量之差：

=（ nLS1+S1+S2+S3]dt）-（nLS1+S1+S2+S3]dt）=S1+S2+S3]dt=S1 +||S2 +||S3]dt

判断的正负即可知道那个淋雨更多。可见若0也恒立，则必大于0，则必有跑的越慢，淋雨越多（类比最简模型）。而若>0或与0的大小不固定，则这种情况就没有统一固定的答案了。

当>0时，用和上面同样的分析，可化成判断S1 +||S2 +||S3]dt 的正负，u既然大于零恒定，则>0时， >0也是恒定的。看上去这样似乎能得出跑得越快淋雨越少的的结论，然而这里u是不能超过的，这样一来，为了速度尽量大，应该让u=，但此时由于随时间在变，就有可能让<0，这样一来条件就不成立了，所以>0时，也不能得出淋雨量和行进速度的一致关系。

又因为已经限定u是常量,所以不可能保持=0恒定。

所以综上所述，只有>0，且<0的情况下这个问题才有一致的结论：速度越快淋雨越少。由于这个简化推广模型在小尺度段时间内具有一定的实际性，所以这个结论对生活还是有一定指导价值的。

8.一般模型的计算

当然实际生活中这样理想的情况不能保证，对于最一般的情况我们也有处理方法，我们可用 来计算（**）的积分，如：

设=， =， =，n=,则计算结果如下：

9.不足分析

从这个模型的分析过程中我们不难发现其中存在的不足与局限，首先u，均可能还是地点的函数，且u也可能在方向和大小上不保持恒定。前者在小尺度上的忽略是合理的，后者可由人为操纵，所以总的来说结论还是有一定可行性的。另一个不稳定因素是对于“雨滴流数密度”的定义，可看出只有当雨点足够密时，雨滴流数密度才是连续的。在雨滴不够密集时，可以用对某段时间或空间内雨滴数求和取平均值的方法近似成连续函数，但如果雨滴太稀，则这样的平均误差也将过大。所以本文的分析要求雨点有一定的密集性。

10.结论

从以上的分析我们不难看出，关于在雨中被淋雨量与行进速度的关系，虽然能通过数学模型给出叫精确的描述，但并不一定有一致的结论，即你不能笼统地说是跑步淋雨少还是走路淋雨少。能给出一致结论的只有u，均为定值时和>0， <0恒成立时的情况才有一致结论，u，均恒定的情况的结论以叙述过，不再赘述，但这样的模型太理想化。后者的实际意义最强，即当你站立不动时，雨点若从你偏前方打来的（最好相对你的速度还不小，那你应当果断飞奔到你的目的地（如果目的地不远的话），越快，淋雨越少。虽然这样的结论并不十分令人满意，但也有一定参考价值。

参考文献：《中小尺度天气学》 张杰