多项式几何校正原理:

(1) 图像坐标的空间变换

有几何畸变的遥感图像与没有几何畸变的遥感图像,其对应像元的坐标是不一样的,如图1右边为无几何畸变的图像像元分布图,像元是均匀且等距分布;左边为有几何畸变的遥感图像像元分布图,像元是非均匀且不等距的分布。为在有几何畸变的图像上获取无几何畸变的像元坐标,需要进行两图像坐标系统的空间转换。

图1　图像几何校正示意图

在数学方法上,对于不同二维笛卡儿坐标系统间的空间转换,通常采用的是二元n次多项式,表达式如下:

其中x, y为变换前图像坐标, u, v为变换后图像坐标, aij , bij为多项式系数, n = 1, 2, 3, ⋯。

二元n次多项式将不同坐标系统下的对应点坐标联系起来, ( x, y )和( u, v )分别对应不同坐标系统中的像元坐标。这是一种多项式数字模拟坐标变换的方法,一旦有了该多项式,就可以从一个坐标系统推算出另一个坐标系统中的对应点坐标。

如何获取和建立二元n次多项式,即二元n次多项式系数中a和b的求解,是几何校正成败的关键。数学上有一套完善的计算方法,核心是通过已知若干存在于不同图像上的同名点坐标,建立求解n次多项式系数的方程组,采用最小二乘法,得出二元n次多项式系数。

不同的二元n次多项式,反映了几何畸变的遥感图像与无几何畸变的遥感图像间的像元坐标的对应关系, 其中哪种多项式是最佳的空间变换模拟式,能达到图像间坐标的完全配准,是

需要考虑和分析的。

在二元n次多项式数字模拟中,从提高几何校正精度的角度考虑,需要兼顾的因素主要有引起几何畸变的原因和产生数学运算误差因素。归纳起来有三个方面的考虑因素:

一是多项式中n值的选择, n值与几何畸变的复杂程度密切相关。当n = 1,上述的坐标空间变换成为二元一次多项式,可以进行线性的坐标变换,解决比例尺、中心移动、歪斜等方面的几何畸变, 实用于第2级别以上的遥感数据。n值的不同选择,可以得到不同的空间变换式,当n≥2,上述的坐标空间变换成为二元非线性多项式,解决遥感器偏航、俯仰、滚动等因素引起的几何畸变。从理论上讲, n值越大,越能校正复杂的几何畸变,但计算量也相对要大。实际应用中n值通常取小于等于3。

二是控制点GCP (用于空间坐标变换的同名坐标点)的选择, GCP的几何精度直接影响着多项式系数的求解误差大小。成熟的作法是:通过目视,选择熟悉的、易分辩且精细较高的特征点(如小水塘边缘、线状地物的交叉点、海岸线弯曲处等) ,且GCP分布在全图中要尽量均匀,特征变化性大的地区选择多些,图像边缘部分选些控制点,使系数的求解尽可能准确。控制点精度的衡量尺度为RMS(RootMean Square)参数,意为均方根,以图像像素大小为单位,表达式为:

x, y为无几何畸变的图像控制点坐标, x′, y′为变换后图像控制点坐标。在ERMAPPER7. 0或ENVI等遥感软件中,对于一次线性变换,当采集到4个控制点以上时,软件系统就会自动推算控制点的变换值和RMS,可以很好地辅助控制点的编辑。

在实际应用中需要引起注意的是:随着控制点数目的增减,多项式系数值也在变化,每个控制点的RMS也在变化。当RMS值都小于等于1时,控制点的精度控制在一个像素大小上,几何校正效果较好。

最后是控制点GCP数目的确定,从数学运算上来说,一次多项式变换,存在6个系数要计算,需要GCP的最少数目是3。

二次多项式变换,有12个系数需要计算, GCP最少数目是6。n次多项式, GCP的最小数目为( n + 1) ( n + 2) /2。但在实际应用中,采用最小GCP数目,几何校正效果往往不好。所以在条件允许的条件下, GCP数目要远远大于最小数目,可以是其的6倍。

(2) 图像像元灰度值重采样

经过上述图像像元坐标的空间变换,得到对应于实际地面或无几何畸变的图像坐标,图像上每个像元都有了无几何畸变的坐标值。随后需要做的是给每个像元赋亮度值。因为已知的图像数据是有几何畸变的像元亮度值,并没有校正后的无几何畸变的像元亮度值。所以需要通过数学上的重采样方法如最近邻法、双向线性内插法和三次卷积内插法等计算出校正后像元位置的亮度值,形成无几何畸变的遥感数据。在重采样方法中,三次卷积内插法计算量虽最大,但图像质量要好,细节表现要清晰,是许多遥感软件的首选方法。