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    2018高考天津理科数学带答案-

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    2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷
    理科数学
    注意事项：
    1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
    2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
    3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
    4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
    第I卷
    注意事项：
    1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
    2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
    参考公式：
    如果事件A，B互斥，那么P(ABP(AP(B . 如果事件A，B相互独立，那么P(ABP(AP(B . 棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高. 棱锥的体积公式V1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 3一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1设全集为R，集合A{x0x2}，B{xx1}，则A(RB (A {x0x1} (B {x0x1} (C {x1x2} (D {x0x2}
    xy5,2xy4,(2设变量x，y满足约束条件 则目标函数z3x5y的最大值为 xy1,y0,(A 6 (B 19 (C 21 (D 45 1 / 19

    (3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 (A 1 (B 2 (C 3 (D 4
    (4设xR，则“|x(A充分而不必要条件 (B必要而不重复条件 (C充要条件
    (D既不充分也不必要条件
    (5已知alog2e，bln2，clog1211|”是“x31”的 221，则a，b，c的大小关系为 3(A abc (B bac (C cba (D cab (6将函数ysin(2x5的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数 (A在区间[353,]上单调递增 (B在区间[,]上单调递减 4442 / 19

    (C在区间[533,]上单调递增 (D在区间[,2]上单调递减 422x2y2(7已知双曲线221(a0,b0的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交ab于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为 x2y2x2y2x2y2x2y21 (B 1 (C 1 (D 1
    (A 4121243993(8如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1. 若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为 (A 21325 (B (C (D 3 16216
    2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷
    数 学(理工类
    第Ⅱ卷
    注意事项：
    1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共12小题，共110分。
    二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 (9 i是虚数单位，复数67i . 12i(10 在(x12x5的展开式中，x2的系数为 . 3 / 19

    (11 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图，则四棱锥MEFGH的体积为 .
    x122(12已知圆xy2x0的圆心为C，直线y3点，则ABC的面积为 . (13已知a,bR，且a3b60，则2a2t,2(为参数与该圆相交于A，B两t2t21的最小值为 . b8x22axa,x0,(14已知a0，函数f(x2若关于x的方程f(xax恰有2个互异的x2ax2a,x0.实数解，则a的取值范围是 .
    三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
    在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos(B（I）求角B的大小；
    （II）设a=2，c=3，求b和sin(2AB的值.

    (16(本小题满分13分
    已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
    6.     4 / 19

    （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
    (17(本小题满分13分
    如图，AD//BC且AD=2BC，ADCD,EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2. （I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE； （II）求二面角EBCF的正弦值； （III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
    (18(本小题满分13分
     设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN，{bn}是等差数列. 已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6. （I）求{an}和{bn}的通项公式；
    （II）设数列{Sn}的前n项和为Tn(nN，
    （i）求Tn；
    (Tkbk2bk2n22(nN. （ii）证明n2k1(k1(k2n(19(本小题满分14分
    5 / 19

    x2x25设椭圆221(a>b>0的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为3ab(b,0，且FBAB62. （I）求椭圆的方程；
    （II）设直线l：ykx(k0与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若AQPQ52sinAOQ(O为原点 ，求k的值. 4(20(本小题满分14分
    x已知函数f(xa，g(xlogax，其中a>1. （I）求函数h(xf(xxlna的单调区间；
    （II）若曲线yf(x在点(x1,f(x1处的切线与曲线yg(x在点(x2,g(x2 处的切线平行，证明x1g(x22lnlna； lna1e（III）证明当ae时，存在直线l，使l是曲线yf(x的切线，也是曲线yg(x的切线. 参考答案：
    一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）B

    （4）A （5）D

    （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i （12）1 2 （2）C （3）B

    （6）A （7）C





    （10）5 21 4

    （11）1 12 （13）8 （14）(4，三、解答题
    （15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
    6 / 19

    （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理ab，可得bsinAasinB，又由sinAsinBπππbsinAacos(B，得asinBacos(B，即sinBcos(B，可得tanB3．又因为666B(0，π，可得B=π．
    3    π，有b2a2c22accosB7，故3（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=b=7．
    32π由bsinAacos(B，可得sinA．因为a<c，故cosA．因此677sin2A2sinAcosA431，cos2A2cos2A1． 774311333 ．727214所以，sin(2ABsin2AcosBcos2AsinB（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．KS5U （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
    （Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
    3kCk4C3P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
    C37所以，随机变量X的分布列为

    0     1     2     3
    随机变量X的数学期望E(X0

    11218412123． 353535357（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B=P(X=2，P(C=P(X=1，故P(A=P(B∪C=P(X=2+P(X=1=6．
    76．
    7所以，事件A发生的概率为7 / 19

    （17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
    依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，3，1），N（1，0，2）．
    2
    （Ⅰ）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）．设n0=(x，y，z为平面CDE的n0DC0，2y0， 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又MN=（1，法向量，则2x2z0，nDE0，03，1），可得MNn00，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
    22，2，CF=（0，–1，2）． （Ⅱ）解：依题意，可得BC=（–1，0，0），BE(1，nBC0，x0， 即 不妨令z=1，可设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则x2y2z0，nBE0，得n=（0，1，1）．
    mBC0，x0， 即 不妨令z=1，可得设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则y2z0，mBF0，m=（0，2，1）．
    因此有cos<m，n>=mn31010，于是sin<m，n>=．
    |m||n|101010．
    10所以，二面角E–BC–F的正弦值为（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得BP(1，2，h．
    易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故
    8 / 19

    cosBPDCBPDCBPDC2h25，
    由题意，可得2h25=sin60°=33，解得h=∈［0，2］． 23所以线段DP的长为3. 3（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分. 2（I）解：设等比数列{an}的公比为q.由a11,a3a22,可得qq20. n1因为q0，可得q2，故an2. 设等差数列{bn}的公差为d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6， 可得3b113d16, 从而b11,d1, 故bnn. n1所以数列{an}的通项公式为an2，数列{bn}的通项公式为bnn.
    12n2n1，故 （II）（i）由（I），有Sn122(12nTn(212nn2n1n2. 12k1k1nknk（ii）证明：因为
    (Tk+bk+2bk(2k1k2k2kk2k12k22k1，
    (k1(k2(k1(k2(k1(k2k2k1(Tkbk2bk23222423((所以，(k1(k23243k1n2n22n12n2(2. n2n1n2（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
    c25（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可a9得，FBa，AB2b，由FBAB62，可得ab=6，从而a=3，b=2．
    x2y21． 所以，椭圆的方程为949 / 19

    （Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故PQsinAOQy1y2．又因为AQAQPQy2π，而∠OAB=，故AQ2y2．由sinOAB452sinAOQ，可得5y1=9y2． 4ykx，6k由方程组x2y2消去x，可得y1．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程21，9k449ykx， 组xy20，消去x，可得y22k．由5y1=9y2，可得5（k+1）=39k24，两边平方，整理得k1111，或k． 22856k250k110，解得k111 所以，k的值为或．228（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （I）解：由已知，h(xaxlna，有h(xalnalna. 令h(x0，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时，h(x，h(x的变化情况如下表：
    x     x    x(,0
    0 0 (0,
    +
    h(x

    h(x
    极小值
    所以函数h(x的单调递减区间(,0，单调递增区间为(0,. xx（II）证明：由f(xalna，可得曲线yf(x在点(x1,f(x1处的切线斜率为a1lna. 由g(x11，可得曲线yg(x在点(x2,g(x2处的切线斜率为. x2lnaxlnax因为这两条切线平行，故有a1lna1x2，即x2a1(lna1. x2lna10 / 19

    两边取以a为底的对数，得logax2x12log2lna0，所以x1g(x2xx2lnlna. lnax（III）证明：曲线yf(x在点(x1,a1处的切线l1：ya1a1lna(xx1. 曲线yg(x在点(x2,logax2处的切线l2：ylogax21e1(xx2. x2lna要证明当ae时，存在直线l，使l是曲线yf(x的切线，也是曲线yg(x的切线，只需证明当ae时，存在x1(,，x2(0,，使得l1和l2重合.学*科网
    1e1x1alna①1x2lna即只需证明当aee时，方程组有解，
    ax1xax1lnalogx1②1a2lna由①得x2112lnlnax1x1，代入②，得axalnax0. ③ 11x12a(lnalnalna1e因此，只需证明当ae时，关于x1的方程③有实数解. 112lnlna设函数u(xaxalnax，即要证明当aee时，函数yu(x存在lnalnaxx零点. u(x1(lna2xax，可知x(,0时，u(x0；x(0,时，u(x单调递减，又
    1(lna2u(010，u1a0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u(x00，2(lna即
    11(lna2x0ax00. 由此可得u(x在(,x0上单调递增，在(x0,上单调递减. u(x在xx0处取得极大值u(x0. 因为ae，故ln(lna1， 所以1eu(x0ax0x0ax0lnax012lnlna12lnlna22lnlnax0. 0lnalnax0(lna2lnalna11 / 19

    下面证明存在实数t，使得u(t0. 由（I）可得a1xlna， 当xx1时， lna12lnlna12lnlna， (lna2x2x1lnalnalnalna有u(x(1xlna(1xlnax所以存在实数t，使得u(t0
    因此，当ae时，存在x1(,，使得u(x10. 所以，当ae时，存在直线l，使l是曲线yf(x的切线，也是曲线yg(x的切线.
    1    e1e

    12 / 19

    13 / 19

    14 / 19

    15 / 19

    16 / 19

    17 / 19

    18 / 19



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