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    高中数学选修1-1综合测试题.docx-

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    选修 1-1 模拟测试题

    一、选择题


    1. 若 p、q 是两个简单命题 ,“p 或 q”的否定是真命题 ,则必有（ A.p 真 q 真 2.


    ）

    B.p 假 q 假
    3 ”是“α =kπ+ 2
    “α － cos2 =
    5C.p 真 q 假 ∈ ”的（ ,k Z



    D.p 假 q 真 ）






    1


    A. 必要不充分条件


    B. 充分不必要条件
    D.既不充分又不必要条件
    C.充分必要条件 3. 设 f (x A． f ( x C． f ( x



    sin x cos x ，那么 ( cos x sin x






    B． f ( x D． f ( x
    0



    cos x cos x

    sin x sin x

    0

    cos x sin x

    3




    4.曲线 f(x=x +x－2 在点 P 处的切线平行于直线 y=4x－ 1,则点 P 的坐标为（
    C.(1,0和(－1,－ 4 D.(2,8和(－ 1,－4 A.(1,0 B.(2,8

    ）

    5.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足 |PA|+|PB|=6,则 |PA|的取值范围是 (
    A. ［1,4］ B. ［1,6］ C.［2,6］ D.［2,4］

    已知 是双曲线 2－λ y2 的一条渐近线 则双曲线的离心率为（ 6. 2x+y=0 x =1 , A. 2








    ）
    B. 3 C. 5

    D.2
    7.抛物线 y2=2px 的准线与对称轴相交于点 S,PQ为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦 , 则∠ PSQ 的大小是（ A.




    ）
    C.

    B.
    2
    D.与 p 的大小有关

    8.已知命题 p: “|x－2|≥ 2” ,命题“ q:x∈Z”,如果“ p 且 q”与“非 q”同时为假命题 ,则满足
    条件的 x 为（ ）


    A.{x|x ≥3 或 x≤－ 1,x Z} B.{x| －1≤x≤3,x Z} C.{ －1,0,1,2,3} D.{1,2,3} ）

    9.函数 f(x=x 3+ax－ 2 在区间 (1,+∞内是增函数 ,则实数 a 的取值范围是（ A. ［3,+∞］

    B.［－ 3,+∞］ C.(－ 3,+∞

    10.若△ ABC 中 A 为动点 ,B、C 为定点 ,B(－ ,0,C( ,0,且满足条件 sinC－sinB= sinA,则动
    a
    aD.(－∞ ,－ 3
    1

    2


    2








    2
    点 A 的轨迹方程是（
    A.

    ）



    16x
    2
    2
    －
    16 y 2
    2
    =1(y≠0
    a

    .
    3a

    16 y2 16 y2 B. 2 + 2 =1(x≠ 0
    a 3a








    2
    2








    2

    2




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    C.
    16 xa
    2 －
    16 y2 =1 的左支 (y≠0 3a

    D.     16x
    2
    － 16 y2 =1 的右支 (y≠0

    a

    3a



    11.设 a>0,f(x=ax2 +bx+c,曲线 y=f(x 在点 P(x0 ,f(x 0处切线的倾斜角的取值范围为［ 0, ］,则 P
    到曲线 y=f(x 对称轴距离的取值范围为（


    A.［0,1 ］



    B.［ 0, 1 ］
    C.［0,| ］

    b）







    D. ［

    0,|
    a


    2a
    12.已知双曲线
    1


    x2

    2 － 2 =1(a>0,b>0的左、右焦点分别为 a b





    y2



    2a



    b 1 2a


    ］


    F1 、F2,点 P 在双曲线的右支上 ,且









    |PF |=4|PF |,则此双曲线的离心率 e 的最大值为（
    A. ）



    52

    B.     4







    C.2




    D.

    7

    3 3 3
    二、填空题

    13. 对命题 p ：
    x R, x7 7x
    0 ，则 p 是______.




    14.函数 f(x=x+ 1
    2x 的单调减区间为 __________.


    15.抛物线 y= x 关于直线 x－y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 __________.


    14



    16.椭圆


    x2
    2 y+ =1 上有 3 个不同的点 A(x 1,y1、 B(4, 9 、C(x3,y3,它们与点 F(4,0的距离成等
    25 9



    4



    差数列 ,则 x1 +x3=__________.

    三、解答题





    17. 已知函数 f(x=4x +ax+bx+5 的图象在 x=1 处的切线方程为 y=－12x,且 f(1= －12. (1求函数 f(x 的解析式； (2求函数 f(x 在［－ 3,1］上的最值 . 3218. 设 P:关于 x 的不等式 a>1 的解集是 {x|x<0}.Q: 函数 y=lg(ax－ x+a的定义域为 R.如果 P 和

    x2Q 有且仅有一个正确 ,求 a 的取值范围 .


    .



    2
    19. 已知 x∈ R,求证 :cosx≥1－
    x .
    2
    20. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为位：件）与零售价 P （单位：元）有如下关系： 多少时毛利润 L 最大，并求出最大毛利润（毛利润21. 已知 a∈R,求函数 f(x=x 2eax 的单调区间 .
    .
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    P 元，则销售量 Q（单
    Q 8300 170P P2 ．问该商品零售价定为
    销售收入 进货支出）．














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    22. 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 ,且两条渐近线与以点 A(0,

    2 为
    圆心 ,1 为半径的圆相切 ,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y=x 对称 .

    (1求双曲线 C 的方程；

    (2若 Q 是双曲线 C 上的任一点 ,F1、F2 为双曲线 C 的左、右两个焦点 ,从 F1 引∠ F1QF2 的平分线的垂线 ,垂足为 N, 试求点 N 的轨迹方程 .


    参考答案： 1. B

    “p 或 q”的否定是“ p 且 q”,∴ p、 q 是真命题 ,p、q 都是假命题 .
    2.A 由“α =kπ+


    5
    ,k∈Z” “cos2α =cos =－
    5    3 ”,又“cos2α=－

    ” “α
    =k2
    3
    2
    .




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    π± 5



    ”是“α =kπ + 5 ∈ ”的必要不充分条件 ∈ ” ∴“α －
    ,k Z , cos2 = ,k Z .

    2
    3










    2

    3. 5.D

    4.C f ′(x0 =3x0 +1=4,∴x0=±1.
    ∵|PA|+|PB|=6>2,∴P 点的轨迹为一椭圆，∴ 3－1≤|PA|≤ 3+1.
    2    26.C x－λ y=1 的渐近线方程为 y=±


    1

    x,














    ∴
    1

    =2.∴λ = .∴e= 1 b2 = 1 4 = 5 .
    a 4

    1 2

    7.B 8.D 9.B
    由 |SF|=|PF|=|QF|,知△ PSQ 为直角三角形 .

    “p 且 q”与“非 q”同时为假命题则 p 假 q 真.
    f′ (x=3x2+a,令 3x2+a>0,∴a>－ 3x2〔 x∈ (1,+∞〕.∴a≥－ 3.

    10.D 由正弦定理知 c－ b= a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支 (c>b.


    111.B


    ∵ f′(x=2ax+b,∴ k=2ax +b∈［ 0,1］，
    0

    | 2ax0
    |=
    2





















    ∴d=|x0 + b




    2a


    b | k ∴ ≤ ≤1

    2a 2a 2a

    0 d.














    12.A
    e=


    2c5|PF1| ≤| FF | |PF2 | 3 = . 12
    =2a | PF1 | | PF2 | |PF1| |PF2 | 2a 3

    =

    7



    10 a

    13.

    x


    R, x 7

    x
    0 14.
    ；
    ［
    3
    ,1
    ］；
    15. (0,




    1 ；


    16. 8.


    4


    16














    13.这是一个全称命题，其否定是存在性命题 . 14.定义域为 {x|x ≤ 1},f ′(x=1+



    15. y= x 的焦点 F(

    2
    1

    1
    1 = 2 1 x <0, 1
    2 1 x 2 1 x
    1x ≤ ,

    2



    1得 x≥ .
    3 ,0,F 关于 x－ y=0 的对称点为 (0,




    1



    4



    .
    ∵－1－



    4


    16 4 1




    4

    ×4= 9




    16

    － 4 3


    16. |AF|=a ex =5





    5

    x ,|BF|=5－
    由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,∴2× =5－ x1+5－ x3.∴x1+x3=8.








         9
    5
    45


    ,|CF|=5


    4

    5

    x ,








    5 5

    5


    17.解 : (1∵f ′(x=12x2+2ax+b,而 y=f(x 在 x=1 处的切线方程为 y=－12x,
    ∴     k


    12
    f (1
    f (1 12







    12 2a b 12 4 a b 5 12




    － － ，故
    a= 3,b= 18 f(x=4x










    3－3x2－18x+5.






    (2∵f ′(x=12x －6x－18=6(x+1(2x － 3，令 f′(x=0, 解得临界点为 x1 = －
    2    2     3
    1,x = .




    2
    那么 f(x 的增减性及极值如下 :
    .



    精品文档













    x






    (－∞,－1





    －1





    1,
    3(－










    3 2


    ( ,+∞
    2
    32
    f′ (x的符号






    +



    0

    －


    0 +


    极小值－
    61 4


    f(x 的增减性

    递增



    极大值 16
    －


    递减

    递增


    ∵临界点 x1



    －


    属于［－


    ］ 且



    ，又

    －

    － －

    = 1 3,1 , f( 1=16 f( 3= 76,f(1= 12,

    ∴函数 f(x 在［－ 3,1］上的最大值为 16,最小值为－ 76.

    2解 使 正确的 的取值范围是 而 正确 －x+a 对一切实数 x 恒大于 0. 18. : P a Q ax 0

    当 a=0 时,ax－x+a=－x 不能对一切实数恒大于

    20,故 Q 正确






    a

    0
    2
    a> .
    1

    若 P 正确而 Q 不正确 ,则 0≤ ；若 Q 正确而 P 不正确 ,则 a≥ 1. 故所求的 a 的取值范围是 (0,
    2    x    1

    α 02
    1 2

    2
    ］∪［1,+∞.

    19.证明 : 令 f(x=cosx － 1+


    2
    ,则 f′ (x=x－ sinx，
    当 x>0 时,由单位圆中的正弦线知必有 x>sinx,∴ f′(x>0, 即 f(x 在(0,+∞上是增函数 .

    又∵ f(0=0, 且 f(x 连续 ,∴f(x 在区间［ 0,+∞］内的最小值 f(0=0,

    即 f(x ≥ 0,得 cosx－1+
    x2 ≥0,即 cosx≥1－
    x2 .∵f( －x=cos(－ x－1+ ( x2 =f(x,
    2 2 2


    ∴ f(x 为偶函数 ,即当 x∈(－∞ ,0时,f(x ≥ 0 仍成立，∴对任意的 x ∈R,都有 cosx≥ 1－ .
    2 20. 解：由题意知 L(P PgQ 20Q Q (P 20
    (8300 170P P2( P 20
    P3 150 P2 11700 P 166000 ， L ( P
    3P 2 300P 11700 ．



    x2令L(P 此时 L(30
    0 ，得 P 30或P
    23000 ．因为在 P
    130 （舍）．

    30附近的左侧 L ( P

    0 ，右侧 L (P 0 ， L(30 是极大值．
    根据实际意义知， L(30 是最大值，即零售价定为每件

    30 元时，有最大毛利润为 23000 元．
    21. 解: 函数 f(x 的导数 f′(x=2xe ax+ax2eax=(2x+ax 2eax.

    ①当 a=0 时,若 x<0,则 f ′(x<0,若 x>0,则 f′ (x>0.


    所以当 a=0 时,函数 f(x 在区间 (－∞ ,0内为减函数 ,在区间 (0,+∞内为增函数 .
    .



    － 或 x>0，由 2x+ax2 解得－ 2 解得

    >0, x< ， <0,

    a a
    2所以当 a>0时,函数 f(x 在区间 (－∞ ,－ 2 内为增函数 在区间 － 内为减函数 在区间 ∞
    , ( ,0 , (0,+

    ②当 a>0 时,由 2x+ax2
    2精品文档


    a



    a



    内为增函数 .

    ③当 a<0 时,由 2x+ax2





    >0,

    解得

    0
    － 2 由
    ,

    2




    解得


    2x+ax <0,

    或 －

    x<0 x> .




    2









    a


    所以当 a<0 时 ,函数 f(x 在区间 (－∞ ,0内为减函数 ,在区间 (0,－ 内为增函数 ,在区间 (－ ,+
    a a

    ∞内为减函数 .

    2
    a

    2

    22．解 : (1设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,即 kx－y=0， ∵该直线与圆 x+(y－ 2 =1 相切 ,∴












    222 =1,即 k=± 1.

    1 k 2



















    ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为




    y=±x，故设双曲线 C 的方程为







    x－
    2
    2
    y2

    2 =1.
    a a
    2222又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0,∴2a=2,a=1.∴双曲线 C 的方程为 x－ y =1. (2若 Q 在双曲线的右支上 ,则延长 QF 到 T,使 |QT|=|QF |.











    2 1

    若 Q 在双曲线的左支上 ,则在 QF2 上取一点 T,使 |QT|=|QF1|. 根据双曲线的定义 |TF2




    所以点 在以 |=2, T




    2
    为圆心 为半径的圆上 即点 的轨迹方程
    F( 2,0 ,2 , T

    是(x － 2 +y=4(y≠0.

    22






    ①





    由于点 N 是线段 F1 T 的中点 ,设 N(x,y 、T(x T,yT,
    x

    xT 2
    2 ,
    即


    则
    y



    yxT yT

    2x2, 2y.













    2


    2



    T

    ,代入①并整理得点


    N 的轨迹方程为 x +y =1(y ≠0.









    2


    .


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