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    2019年最新陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析-

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    陕西省 高考数学二模试卷（理科）


    一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
    1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（ ）
    D．{x|﹣1＜x＜1} A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} 2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（ ） A． B．﹣ C．
    D．﹣
    3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（ ）

    A．2 B． C．﹣ D．
    ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
    4．已知双曲线=1（a＞0）的离心率为A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ﹣）n展5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（开式的常数项为（ ） A．﹣
    B． C．﹣55 D．55 6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，
    100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（ ）

    A．80 B．90 C．120 D．150 7．设Sn是数列{an}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（an﹣1，2an）在直线y=2x+1上，且{an}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（ ） A．6 B．7 C．36 D．32 ，，，则输出的结果是（
    ）8．算法程序框图如图所示，若
    A． B．a C．b D．c 9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）ex的极小值为b，则ac等于（ ） A．﹣1 B．﹣e C．e2 D．2 10．给出下列五个结论：
    ①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；
    ②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”； ③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称； 是幂函数，且在（0，+∞）上递增；
    ④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x
    ⑤函数f（x）=其中正确的结论为（ ）
    恰好有三个零点；
    A．①②④ B．①②⑤ C．④⑤ D．②③⑤
    11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）

    A． B． C． D．
    12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（x）＞4+2ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．（1，+∞）

    二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上） 13．已知函数f（x）=，则f已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量，B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，1）
    =（1，m），若⊥，那么实数m=______．
    15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为______．
    16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则=______．




    三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=．
    ﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；
    （Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=求△ABC的面积．
    ，f（C）=1，18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表： 题号 答卷份数
    A 160 B 240 C 320 该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．
    （Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率； （Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．
    19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
    （Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为夹角的余弦值．
    ，求平面ACD与平面ADE

    20．已知椭圆C：=0截得的弦长为2 +=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
    ，g（x）=﹣﹣1．
    21．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜

    请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点． （Ⅰ）求证：AD∥OC；
    （Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．
    ﹣成立．



    [选修4-4：坐标系与参数方程]
    23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
    （θ为参数），以坐标原点．
    （Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．

    [选修4-5：不等式选讲] 24．设函数（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
    ．
    （Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．


    参考答案与试题解析


    一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
    1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（ ）
    D．{x|﹣1＜x＜1} A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．
    【分析】根据集合A、B，求出∁RB，再求A∩（∁RB）即可． 【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，
    B={x|y=}={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，
    ∴∁RB={x|x＞1}，
    ∴A∩（∁RB）={x|1＜x＜3}． 故选：A．

    2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（ ） A．
    B．﹣ C．
    D．﹣
    【考点】复数的基本概念．
    【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．
    【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数， ∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0， ∴cosθ=﹣． 则tanθ=故选：B．

    3．一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（ ）
    =﹣．


    A．2 B． C． D．
    【考点】由三视图求面积、体积．
    【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为算公式、勾股定理即可得出．
    【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为则×h=2，解得h=3．
    =．
    的正方形，高为h． 的正方形，高为h．利用体积计∴此四棱锥最长的侧棱长PC=故选：C．



    4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
    A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 【考点】双曲线的简单性质．
    【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=可得到所求方程．
    a，由双曲线的渐近线方程即
    【解答】解：双曲线可得e==即有c=可得b=，
    ﹣=1（a＞0）的离心率为，
    a，由c2=a2+b2， a，
    即有渐近线方程为y=±x， 即为y=±故选：B．

    5．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（开式的常数项为（ ） A．﹣
    B． C．﹣55 D．55 ﹣）n展x．
    【考点】计数原理的应用；二项式定理的应用．
    【分析】先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决． 【解答】解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A22=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，
    在3个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法， 则甲乙不相邻的排法有2×6=12种， 即n=12；
    （    k    ﹣）n=（，
    ﹣）12的通项公式C12k（﹣）kx﹣k=（﹣）C12k当4﹣=0时，即k=3时，（﹣）3C123=﹣，
    故选：A．

    6．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（ ）


    A．80 B．90 C．120 D．150 【考点】频率分布直方图．
    【分析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求．
    【解答】解：根据频率分布直方图，得；
    成绩不少于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.025， 所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150． 故选：D．

    7．设Sn是数列{an}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（an﹣1，2an）在直线y=2x+1上，且{an}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（ ） A．6 B．7 C．36 D．32 【考点】二次函数的性质．
    【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{an}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可． 【解答】解∵点（an﹣1，2an）在直线y=2x+1上， ∴2an=2an﹣1+1， ∴an﹣an﹣1=，
    ∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2， ∴a1=2，
    ∴{an}是以为2首项，以为公差的等差数列， ∴an=2+（n﹣1）=n+ 当n=1时，a1=n+=2成立，

    ∴an=n+
    ∴S9=9a1+故选：C

    =9×2+=36 8．算法程序框图如图所示，若，，，则输出的结果是（
    ）
    A． B．a C．b D．c 【考点】程序框图．
    【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，比较a、b、c三数的大小，可得答案．
    【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数， ∵a3=∴a＞b； 又c=（）ln3=e=e=＞=a．
    ＞3=b3＞0，
    ∴输出的结果为c． 故选：D．

    9．已知实数a，b，c成等比数列，函数y=（x﹣2）ex的极小值为b，则ac等于（ ） A．﹣1 B．﹣e C．e2 D．2 【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．

    【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可．
    【解答】解：∵实数a，b，c成等比数列，∴b2=ac， ∵函数y=（x﹣2）ex， ∴y′=（x﹣1）ex，
    令y′＞0，解得：x＞1，令y′＜0，解得：x＜1，
    ∴函数y=（x﹣2）ex在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴y极小值=y|x=1=﹣e， ∴b=﹣e，b2=e2， 则ac=e2， 故选：C．

    10．给出下列五个结论：
    ①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；
    ②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”； ③将函数y=sinx+cosx的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称； 是幂函数，且在（0，+∞）上递增； 恰好有三个零点；
    ④∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x⑤函数f（x）=其中正确的结论为（ ）
    A．①②④ B．①②⑤ C．④⑤ D．②③⑤ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①根据回归直线的性质进行判断． ②根据含有量词的命题的否定进行判断． ③根据三角函数的图象和性质进行判断． ④根据幂函数的性质进行判断． ⑤根据函数的零点的定义进行判断．
    【解答】解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，）；故①正确，
    ②命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02﹣3x0﹣2≤0”；故②正确，

    ③函数y=sinx+﹣cosx=2cos（x﹣），将函数的图象向右平移后，得到y=2cos（x﹣）=2cos（x﹣），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，
    ④由m﹣1=1得m=2，此时f（x）=x0是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误， ⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=﹣1， 若x＞0，则由（x）=0得2x|log2x|﹣1=0，
    即|log2x|=（）x，作出y=|log2x|和y=（）x的图象，由图象知此时有两个交点，
    综上函数f（x）=故选：B 恰好有三个零点；故⑤正确，



    11．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）

    A． B． C． D．
    【考点】几何概型．
    【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解． 【解答】解：由已知易得：S长方形=4×2=8， S阴影=∫04（）dx===，

    故质点落在图中阴影区域的概率P=故选A．

    =，
    12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（x）＞4+2ex（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．（1，+∞）
    B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，1）
    【考点】利用导数研究函数的单调性．
    【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣2ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．
    【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣2ex，（x∈R），
    则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex=ex[f（x）+f′（x）﹣2]， ∵f（x）+f′（x）＞2， ∴f（x）+f′（x）﹣2＞0， ∴g′（x）＞0，
    ∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞2ex+4， ∴g（x）＞4，
    又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4， ∴g（x）＞g（1）， ∴x＞1， 故选：A．

    二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上） 13．已知函数f（x）=∴f=f（1）=f（﹣4）=2﹣4=故答案为：

    14．已知两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量1 ．
    ， =（1，m），若⊥，那么实数m= ．
    ，则f=，
    ．

    【考点】平面向量数量积的运算．
    【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由的值．
    【解答】解：∵两点A（0，2）、B（3，﹣1），设向量若⊥，则故答案为：1．

    =3+m（﹣3）=0，求得实数m=1，
    =（3，﹣3），=（1，m），
    =0，求得实数m15．已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为 4 ．
    【考点】简单线性规划；基本不等式．
    【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得的最小值．
    【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

    联立，解得B（2，3），
    ，
    过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，
    化目标函数z=ax+by为由图可知，当直线
    ∴=（）（2a+3b）=2+时上式等号成立．
    ．
    当且仅当2a=3b，即故答案为：4．

    16．如图，正方形ABCD中，坐标原点O为AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D为抛物线y2=2ax（0＜a＜b）的焦点，且此抛物线经过C，F两点，则= 1+ ．

    【考点】抛物线的简单性质．
    【分析】求出F点坐标，代入抛物线方程即可得出a，b的关系得到关于的方程，从而解出． 【解答】解：∵D是抛物线y2=2ax的焦点，∴D（，0）． ∵正方形DEFG的边长为b，∴F（∵F在抛物线上，∴b2=2a（∴（）2﹣，b）．
    ），即b2﹣2ab﹣a2=0，
    或1﹣．
    ﹣1=0，解得=1+．
    ∵0＜a＜b，∴=1+故答案为：


    三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17．若向量=（sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx）其中ω＞0，记函数f（x）=．
    ﹣，且函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是（Ⅰ）求f（x）的表达式及f（x）的单调递增区间；

    （Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c=求△ABC的面积．
    【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．
    ，f（C）=1，【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）=sin（2ωx﹣由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式，由2kπ﹣2kπ+，k∈Z，
    ≤2x﹣），≤即可解得f（x）的单调递增区间． （Ⅱ）由f（C）=1，得解得C=，结合范围0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，，结合已知由余弦定理得ab的值，由面积公式即可计算得解．
    【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵=（∴由题意可知其周期为π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣由2kπ﹣得kπ﹣≤2x﹣≤x≤kπ+≤2kπ+，
    ，kπ+，
    ＜． …
    ，
    ，
    ]，k∈Z，…
    ，k∈Z，
    ），…
    sinωx，sinωx），=（cosωx，sinωx），
    ，…
    ∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣（Ⅱ）由f（C）=1，得∵0＜C＜π，∴﹣∴2C﹣=＜2C﹣，解得C=又∵a+b=3，，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2， 由面积公式得三角形面积为
    ．…

    18．某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B，C三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表： 题号 答卷份数
    A 160 B 240 C 320 该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析．
    （Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率； （Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．
    【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
    【分析】（Ⅰ）由题意求出分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份． 利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率． （Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，则随机变量X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得： 题号 答卷数 抽出的答卷数
    A 160 2 B 240 3 C 320 4 应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份． …
    设事件D表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”， 则：P（D）=1﹣p（）=1﹣=1﹣=，
    ∴从选出的9份答卷中选出3份，这3份中至少有1份选择A题作答的概率（Ⅱ）由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份， 则随机变量X可能的取值为0，1，2，3… P（X=0）==，P（X=1）==，
    ．…
    P（X=2）==，P（X=3）==，…

    ∴随机变量X的分布列为： X P ∴E（X）=

    19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
    （Ⅱ）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为夹角的余弦值．
    ，求平面ACD与平面ADE0
    1
    2
    3
    =．…

    【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
    【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．
    （Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．
    【解答】（本小题满分12分）
    证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG， ∵F、G分别是AD、AC的中点， ∴FG∥CD，且．
    又∵CD∥BE，且CD=2BE， ∴四边形BEFG是平行四边形，
    ∴EF∥BG，EF⊄面ABC且BG⊆面ABC， ∴EF∥面ABC．…

    （Ⅱ））∵CD⊥平面ABC ∴∠CMD为DM与平面ABC所成角，
    ∵M为AB的中点，且AC=BC=2，AC⊥BC，得∵DM与平面ABC所成角的正切值为∵CD=2，BE=1，…
    以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1）， ，

    ∴=（0，﹣2，2），=（2，﹣1，0），
    设平面ADE的法向量为=（x，y，z），
    由，取x=1，得=（1，2，2），
    而平面ACD的法向量为=（2，0，0），
    由cos＜＞==，
    得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为．…




    20．已知椭圆C：=0截得的弦长为2 +=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
    【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
    •为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），=0的距离d，利用2=2，（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， 利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得4m+1=2（m2﹣2），解得m即可得出．
    【解答】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，
    =0的距离d==1，
    •    =，令2m2﹣联立解得：a2=2，c=1=b． ∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．
    •为定值．
    （II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
    则x1+x2=•，x1•x2=．
    =（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2 =（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2

    =，
    令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=． 因此在x轴上存在定点M（，0），使得

    21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．
    •为定值．
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．
    【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
    【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）问题可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可； （Ⅲ）问题等价于调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f'（x）＞0，得0＜x＜e ∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）… （Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立， 可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立
    ，得
    ，即证    ，令，根据函数的单令，
    当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减 当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增 ∴h（x）min=h（1）=4，
    ∴m≤4，即实数m的取值范围是（﹣∞，4]…

    （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知令，则等价于，（当x=e时取等号）
    ，
    ，即证
    易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增
    ∴（当x=1时取等号）
    ∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立 则对一切x∈（0，+∞），都有

    请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点． （Ⅰ）求证：AD∥OC；
    （Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O的面积．
    成立．…

    【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．
    【分析】（Ⅰ）利用圆的切线的性质，及直径所对的角为直角，即可证明AD∥OC； （Ⅱ）由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB，利用AD•OC=8，求出半径，即可求圆O的面积． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，OD ∵CB，CD是圆O的两条切线， ∴BD⊥OC 又∵AB为圆O的直径，则AD⊥DB， ∴AD∥OC， ∴∠BAD=∠BOC…
    （Ⅱ）解：设圆O的半径为r，则AB=2OA=2OB=2r
    由（Ⅰ）得Rt△BAD∽Rt△COB 则，
    ∴AB•OB=AD•OC=8，2r2=8，r=2， ∴圆O的面积为S=πr2=4π…



    [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
    （Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．
    【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
    【分析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可． （Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…
    由得ρcosθ+ρsinθ=2，
    （θ为参数），
    （θ为参数），以坐标原点．
    ∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
    ∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0…
    （Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d=由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=，
    = …

    ∴四边形AMBC面积S=2×AC•MA=AC∴四边形AMBC面积的最小值为

    [选修4-5：不等式选讲] 24．设函数（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
    ．
    …
    =2≥2
    （Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
    【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2（Ⅱ）求出f（x）min=3，若∀x∈R，恒成立，则只需．
    【解答】（Ⅰ）证明：∵m＞0，当即时取“=”号…
    ， ；
    （Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3 则f（x）min=3，若∀x∈R，则只需综上所述实数t的取值范围是
    ．…
    恒成立，
    ，




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