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    河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题及答案-

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    洛一高高一月考数学试卷（2020年10月 ）
    一．选择题（共12小题）
    1．若集合A＝{x∈N|（x﹣3）（x﹣2）＜6}，则A中的元素个数为 A．3 2．函数f（x）＝A．[﹣1，1] C．[﹣，）
    B．4
    +的定义域为
    B．[﹣1，）∪（，1] D．（，1]

    C．5
    D．6
    3．若函数f（x）＝|2x+a|的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a的值为 A．﹣3 4．函数fxA．（﹣∞，1]
    B．3
    C．﹣6
    D．6
    x22x3的单调递增区间是
    B．[3，+∞）
    C．（﹣∞，﹣1]
    D．[1，+∞）
    5．若对任意实数x不等式|x+1|+|x+3|＞m2+m恒成立，则实数m的取值范围是 A．（﹣2，1）
    B．[﹣2，1]
    C．（﹣1，2）
    D．[﹣1，2]
    6．已知f（x）+2f（﹣x）＝3x+1，则f（x）＝ A．
    B．﹣3x
    C．﹣3x+1
    D．
    7．已知函数fx的定义域为0,2，则函数f2x1的定义域为 A．0,2
    B．11, 22C．1,5 D．1,3
    8．已知f（x）＝是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围是
    A.(1，8） B.[4，8） C.(4，8） D.(1，4] 9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为 A．（﹣3，7）
    B．（﹣4，5）
    C．（﹣7，3）
    D．（﹣2，6）
    10．已知函数f（x）＝（a+1）x3﹣（a+2）x﹣bx2是定义在[a﹣3，a+1]上的奇函数，则f（a+b）＝ A．﹣2
    B．﹣1
    C．2
    D．5

    11．化简（2a﹣3）（﹣3a1b）÷（4a•﹣﹣4）（a，b＞0）得 C．﹣
    D．
    A．﹣b2 B．b2
    12．函数A．
    的值域为 B．
    C．（0，]
    D．（0，2]
    二．填空题（共4小题）
    13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为 ． 14．已知f（x）＝，则不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是 ．
    15．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝3，则f（1）+f（2）+…+f（50）＝ ．
    16．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是 ．
    三．解答题（共7小题，第17题满分10分，第18—22题每题满分12分） 17．设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B． （1）当a＝0时，求集合A，B； （2）当A⊆B时，求实数a的取值范围． 18．已知函数（1）若f（x）的定义域为．
    ，求实数a的值；
    （2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
    19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．
    （1）判断f（x）的单调性并加以证明；
    （2）若f（4）＝2，解不等式f（x）＞f（2x﹣1）+1． 20．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2a2+2． （1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）在区间的最小值；

    （3）关于x的方程f（x）＝2a2有解，求实数a的取值范围． 21．设函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R）． （1）若f（﹣1）＝0，且y＝﹣2为奇函数，求f（x）的解析式；
    （2）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
    22．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1． （1）求f（x）的解析式；
    （2）是否存在实数λ，使函数g（x）＝f（x）﹣（2λ﹣1）x+2，x∈[﹣1，2]的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．



    洛一高高一月考数学试卷（2020年10月 ）
    参考答案

    一．选择题 BBCBA ABBCB AA
    二．填空题 13．{m|m≤0或m≥4} 14．（﹣∞，1] 15．3 16．{x|x＞或x＜} 三．解答题（共7小题）
    17．解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}，
    解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，即B＝{x|﹣2＜x＜4}，
    （2）若A⊆B，则有：由于A≠∅，有，解得：﹣1＜a≤2，
    a的取值范围为：（﹣1，2]． 18．解：（1）f（x）的定义域为，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0的解集为，
    故，解得a＝2；
    （2）f（x）的定义域为R，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0恒成立， 当1﹣a2＝0时，a＝±1，经检验a＝1满足条件； 当1﹣a2≠0时，解得，
    综上，．
    19．解：（1）f（x）在（0，+∞）上为增函数， 证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2， 则．
    又因为当x＞1时，f（x）＞0，而，

    所以，所以f（x2）＞f（x1），
    所以f（x）在（0，+∞）上为增函数． （2）由定义域可得，解得，
    由已知可得f（4）＝f（2）+f（2）＝2，
    所以f（2）＝1，f（2x﹣1）+1＝f（2x﹣1）+f（2）＝f（4x﹣2）， 所求不等式可转化为f（x）＞f（4x﹣2）． 由单调性可得x＞4x﹣2，解得综上，不等式解集为， ．
    20．解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+a2+2，∴f（x）关于直线x＝a对称， 当a＝1时，f（x）在区间（﹣∞，1]单调递减，在区间[1，+∞）单调递增． （2）当时，f（x）在区间；
    当时，f（x）在区间[﹣）递减，在（a，]递增， ；
    当时，f（x）在区间．
    （3）方程f（x）＝2a2有解， 即方程x2﹣2ax+2＝0有解． ∴△＝4a2﹣8≥0， ∴a的取值范围是．
    递减，
    递增，
    21．解：（1）∵f（﹣1）＝0，∴a﹣b+1＝0，得b＝a+1， y＝若y＝﹣2＝ax+b+﹣2＝ax+a﹣1+， ﹣2为奇函数，则a﹣1＝0，得a＝1．
    （2）在（Ⅰ）的条件下，a＝1，b＝2，则f（x）＝x2+2x+1，

    则g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1，
    当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数， 则对称轴≤﹣2或≥2，
    得k≥6或k≤﹣2．
    即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
    22．解：（1）根据题意，设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由f（0）＝1， ∴c＝1，∴f（x）＝ax2+bx+1
    ∵f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b＝2x，必有∴f（x）＝x2﹣x+1
    （2）由（1）可得g（x）＝x2﹣x+1﹣（2λ﹣1）x+2＝x2﹣2λx+3，x∈[﹣1，2]
    ①当λ≤﹣1时，g（x）在[﹣1，2]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+2λ＝2⇒λ＝﹣1； ②当﹣1＜λ＜2时，g（x）在[﹣1，λ]上单减，在[λ，2]上单增，解得λ±1，
    又﹣1＜λ＜2，故λ＝1
    ③当λ≥2时，g（x）在[﹣1，2]上单减，g（x）min＝g（2）＝4﹣4λ+3＝2， 解得，不合题意．
    ，
    ，解可得；
    综上，存在实数λ＝±1符合题意．


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