华中师大一附中2020年自主招生(6月专县生网招)

数学试题

考试时间：90分钟 卷面满分：100分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效，其中，将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：

①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；

④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（　　）

A．2 B．24 C．2 D．12

3．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：

根据该统计图，下列说法错误的是（　　）

A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多

B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小

C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量

D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量

4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣

5．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（　　）

A．3 B． C． D．

第5题图 第6题图

6．如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．20 C．12 D．10

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为　　　　．

8．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝　　　　．

9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　　　　．（结果用m，n表示）

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为　　　　．

11．如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是　　　　．

12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为　　　　．

三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）

13．(本小题满分12分)（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；

（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求的值．

14．(本小题满分12分)习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：

（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？

（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）

15．(本小题满分14分)已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．

（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；

（2）当FH∥BE时，求AE的长；

（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．

16．(本小题满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求a，c的值；

（2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

华中师大一附中2020年自主招生(6月专县生网招)数学试题

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；

②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，

∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；

③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；

④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．

2．解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，

∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，

又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，

∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴（a﹣b）2+2ab＝c2，

∴（﹣c）2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．

3．解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；

对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；

对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；

对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，

8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，

因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．

4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；

∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；

∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．

5．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，

∴AB＝＝＝4，

∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，

∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，

∵点E为BO的中点，∴OE＝BO＝×8＝4，

∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，

S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，解得OF＝，

在Rt△EOF中，EF＝＝＝，

∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×＝，

∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；故选：B．

6．解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，

如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，

∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，tan∠MAB＝tan∠NMC，即，

即，化简得：y＝﹣x2+x﹣10，

当x＝﹣＝时，y＝﹣ ()2+·﹣10＝，

解得：m＝6或m＝(舍)，则AM＝6，BC＝4，故ABCD的面积＝24，故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．解：根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，

则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．

8．解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA＝，∴，

设AD＝4x，则AB＝5x，∴，

∵AB＝AC，∴AC＝5x，∴CD＝5x﹣4x＝x，

∴BC＝，

∴，故答案为：．

9．解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，

∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度

＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．

10．解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，

∵∠MON＝90°，∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，

又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，

∴Rt△PNE中，PE＝，

又∵OP≤PE+OE＝4+4，∴OP的最大值为4+4，

即点P到原点O距离的最大值是4+4，故答案为：4+4．

11．解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，∴点B坐标为（，2），

同理可求出点A的坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为，

∴BA＝，AC＝，BC＝，∴BA2﹣AC2＝k＞0，∴BA≠AC，

若△ABC是等腰三角形，

①当AB＝BC时，则＝，解得：k＝±（舍去负值）；

②当AC＝BC时，同理可得：k＝；故答案为：或．

12．解：如图，连接BM．

∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．

∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，

∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．∴∠FAB＝∠MAE，

∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．

∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．

∵DM＝1，∴CM＝3．

∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，∴EF＝5，故答案为：5．

三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）

13．解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；

（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，

∵k≤，∴x1+x2＝2k﹣1≤0，而x1x2＝k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，

∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，∴x1•x2+x1+x2＝2，即k2+（2k﹣1）＝2，

整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1，而k≤，∴k＝﹣3；

（2）∵+＝6，∴a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，

∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝4ab，∴（）2＝＝2，∴＝±，

∵a＜b＜0，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴＜0，∴＝﹣，∴（）3＝﹣2．

答：（）3的值为﹣2．

14．解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．

依题意得：，解得6≤x≤9.17，

∵x为整数，∴x＝6，7，8，9有四种方案；

设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，

∵﹣0.6＜0，∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），

∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；

（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），

当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，

∵0，故有最小值，

当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），

当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，

当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），

∵240＜250，故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，

∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，

∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），

故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．

15．解：（1）如图1，连接EF，FA，∵FH为圆的切线且又和EC垂直，∴CE∥AF

∴∠CEF＝∠AFE；又∵∠AFE＝∠FEB，∴∠CEF＝∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；

∵∠EFB＝90°，∴EF⊥BC，∴BE＝CE，∴△BEC为等腰三角形，

∴BF为BC的一半；∵EA∥CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE＝CF＝2.5；

（2）解：∵FH∥BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，

∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，

∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，

∴＝，∵AB＝2，AD＝5，∴CD＝AB＝2，∴＝，∴AE＝1或AE＝4．

（3）连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE＝90°，

设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，

若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°，

连接BG、EG，设BG、EF交于点K，

∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，

∴BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，

在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：

GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），

又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH，∴△BEG∽△CEF，

∴＝，即＝，解得：x＝，或x＝（舍去），

∴AE的长度是．

16．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），

，∴a＝﹣，c＝

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝﹣x2+x+，

∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），∴D（2，），∴DH＝，

令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，

∴＝即＝，

解得：EH＝2，则DE＝2；

（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，

即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝x﹣，

由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），

∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，

联立解得

∴F（0，﹣），

∵DH⊥x轴，

∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，∴P（2，）

∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FP于点Q，

设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；

∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），

S△MFP＝＝

∵对称轴为：直线m＝，

∵开口向下，＜m＜，

∴m＝时，△MPF面积有最大值为．