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    2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(理科)

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    2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1}2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（）A．144B．81C．45D．634．（5分）设函数f（x）＝cos（x），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．y＝f（x）的图象关于直线x对称C．f（x）的一个零点为πD．f（x）在（，π）上单调递减5．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是真命题2222B．命题“∃x0＞0，x0﹣x0＞0”的否定是：“∀x＞0，x﹣x≤0”C．命题p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件6．（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）x7．（5分）在△ABC中，||||，||＝||＝3，则（）A．3B．﹣3C．D．8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A．360种B．300种C．150种D．125种9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何第1页（共14页）
    体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，1]D．（1，2]11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若0，且∠F1AF2＝150°，则e＝（）A．7﹣2B．7C．7x﹣122D．7﹣f（0）xx，则f（x）的单调递增区间为（）D．（0，+∞）12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）eA．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是（填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．14．（5分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC＝2b，mn，则m+n的最大值为．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an+3an+2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，bn＝（﹣1）an，求数列{bn}的前2n项的和T2n．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，第2页（共14页）n222
    且CNBC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．19．（12分）已知抛物线y＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x恒成立，求m的取值范围．22019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析第3页（共14页）
    一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1}【解答】解：图中阴影部分为N∩（∁UM），∵M＝{x|x＜﹣1}，∴∁UM＝{x|x≥﹣1}，又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（∁UM）＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：A．2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i【解答】解：复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）＝0且（m﹣1）≠0，解得m＝0，故z＝﹣i，故i．故选：A．3．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（）A．144B．81C．45D．63【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S3＝9，S6﹣S3＝36﹣9＝27，∴q3，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝27×3＝81．故选：B．4．（5分）设函数f（x）＝cos（x），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB．y＝f（x）的图象关于直线x对称C．f（x）的一个零点为πD．f（x）在（，π）上单调递减【解答】解：由函数f（x）＝cos（x），知：在A中，由余弦函数的周期性得f（x）的一个周期为2π，故A正确；第4页（共14页）
    在B中，函数f（x）＝cos（x）的对称轴满足条件xkπ，即x＝k，k∈Z，∴y＝f（x）的图象关于直线x对称，故B正确；在C中，f（x）＝cos（x）＝﹣sinx，﹣sinπ＝0，∴f（x）的一个零点为π，故C正确；在D中，函数f（x）＝cos（x）在（，π）上单调先减后增，故D错误．故选：D．5．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是真命题2222B．命题“∃x0＞0，x0﹣x0＞0”的否定是：“∀x＞0，x﹣x≤0”C．命题p∨q为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】A“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am＜bm”，m＝0时不正确；B中“∃x∈R，x﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．6．（5分）若函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）xx22222【解答】解：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f（x）﹣g（x）＝e，则2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e，即2f（x）+g（x）＝e，与2f（x）﹣g（x）＝e，联立解得：f（x），g（x）．则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．函数g（x）在R上单调递减．∴g（﹣1）＜g（0）＝0f（0）＜f（﹣2）＜f（﹣3），即g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．7．（5分）在△ABC中，||||，||＝||＝3，则（）A．3B．﹣3C．D．﹣x﹣xx【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||||，||＝||＝3，如图，设|OC|＝x，则|OA|x，所以|AO|+|OC|＝|AC|即3x+x＝9，解得x，第5页（共14页）22222
    所以|BC|＝3，所以△ABC为等边三角形，所以3×3；故选：C．8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A．360种B．300种C．150种D．125种【解答】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C5＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则一共有10+15＝25种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A3＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方式；故选：C．9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个33【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．故选：C．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，1]第6页（共14页）D．（1，2]
    【解答】解：∵A＝3B，∴由正弦定理得：cos2B+2cosB＝2cos2B+1，∵B+A＜180°，即4B＜180°，∴0＜B＜45°，即0＜2B＜90°，∴0＜cos2B＜1，即1＜2cos2B+1＜3，则的取值范围为（1，3）．故选：B．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若0，且∠F1AF2＝150°，则e＝（）A．7﹣2B．7C．7D．722【解答】解：∵0，∴AB⊥BF2，∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°，设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB|x，∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2ax，又|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴2x﹣（x+2ax）＝2a，解得x＝2（1）a．∴|BF1|＝2a，|BF2|＝2（1）a，在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a+[（22）a]＝4c，即（7﹣2）a＝c，∴e7﹣2．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）eA．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）x﹣1x﹣1222222﹣f（0）xx，则f（x）的单调递增区间为（）D．（0，+∞）2C．（1，+∞）2【解答】解：f（x）＝f′（1）e﹣f（0）xx，﹣f（0）+x，两边求导得，f′（x）＝f′（1）e0x﹣1令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，所以f（0）＝f′（1）ex0﹣1﹣f（0）•0+0＝1，得f′（1）＝e．所以f′（x）＝e﹣1+x，因为y＝e递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝e﹣1+x递增，又f′（0）＝0，所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．第7页（共14页）xx
    故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是②③④（填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．【解答】解：由折线图得：在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误；在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确；在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故④正确．故答案为：②③④．14．（5分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝2．【解答】解：把x代入y＝2px可得y＝±p，不妨设M在第一象限，则M（，p），又A（，0），∴直线AM的方程为y＝x，即x﹣y0，∴原点O到直线AM的距离d，∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，∴1，解得p＝2．故答案为：．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．【解答】解：如下图所示，取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD，∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC，则△ABC的面积为，第8页（共14页）22
    由锥体体积公式可得，∴CD＝6，所以，，则球O的半径为，因此，球O的体积为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC＝2b，mn，则m+n的最大值为．【解答】解：△ABC中，a，且c+2cosC＝2b，∴c+2acosC＝2b，∴sinC+2sinAcosC＝2sinB，∴sinC+2sinAcosC＝2（sinAcosC+cosAsinC），∴sinC＝2cosAsinC，C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosA，A∈（0，π），∴A，由余弦定理可得a＝b+c﹣2bccosA，即为3＝b+c﹣bc，由2R2，即R＝1，可得外接圆的半径为1，mn，可得•m+n•，化为c＝mcnbc，同理可得为bmbc+nb，解得m，n，即有m+n（）•2，当且仅当b＝c时，取得最大值，故答案为：．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＜2，an＞0，6Sn＝an+3an+2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，bn＝（﹣1）an，求数列{bn}的前2n项的和T2n．第9页（共14页）n222222222222
    【解答】解：（1）6Sn3an+2，n∈N*．n≥2时，6an＝6Sn﹣6Sn﹣13an+2﹣（2），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝3，n＝1时，6a13a1+2，且a1＜2，解得a1＝1．∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为3．∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）bn＝（﹣1）（﹣1）（3n﹣2）．∴b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）+（6n﹣2）＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．∴数列{bn}的前2n项的和T2n＝36（1+2+……+n）﹣21n21n＝18n﹣3n．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CNBC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），B（2，，0），F（﹣1，0，0）．，，，．设平面A′MN的法向量为（x，y，z），由，可取（，1，0）．同理可得平面A′BF的法向量（，﹣3，﹣1）．∴3﹣3+0＝0，∴，∴平面A′MN⊥平面A′BF；（2）解：由（Ⅰ）可得平面A′BF的法向量（，﹣3，﹣1）．取平面EA′F的法向量（0，1，0）．cos由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为19．（12分）已知抛物线y＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．第10页（共14页）2222nn2
    （1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x+y＝1①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；（1+k）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p（0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），∴，整理得：2p﹣5p+4p﹣1＝p（p﹣5p+4）+p﹣1＝（p﹣1）（2p﹣1）＝0，第11页（共14页）322322222
    解得p＝1（舍）或p，故p的值为．（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；可得EX•（）（0+200+250+300+450+500+550+750）（100+300+350+400+550+600+650+850）•（200+400+450+500+650+700+750+950）•（300+500+550+600+750+800+850+1050）•（400+600+650+700+850+900+950+1150）•（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）•625（元）21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b，∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，∴，解得a＝1，b＝﹣1．∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2，由f′（x）＝lnx+2＝0，得．∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，则当x时，函数f（x）取得极小值为f（）；（2）当x＞1时，由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m．令g（x），则g′（x），设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝10，h（x）在（1，+∞）上为增函数，第12页（共14页）8
    ∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），且h（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0），∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0，∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．【解答】解：（1）由，得，两式平方相加得：（x﹣1）+（y﹣1）＝1；由ρcos（）t，得，∴，即x+y＝t；（2）由π≤α≤2π，得曲线C1：（x﹣1）+（y﹣1）＝1（y≤0）．作出曲线C1与曲线C2的图象如图：由图可知，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，实数t的取值范围为（，﹣1]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（2分）当，解得；当恒成立当解得﹣2此不等式的解集为（5分）（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m．第13页（共14页）2222
    当时，不等式化为由当且仅当即时等号成立．∴，∴（7分）当时，不等式化为．∴令，∵，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为∴（9分）综上（10分）第14页（共14页）

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