2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．﹣1的倒数是1 B．﹣1的相反数是﹣1

C．1的算术平方根是1 D．1的立方根是±1

2．（3分）由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°

4．（3分）如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB＝6，AD＝9，则五边形ABMND的周长为（　　）

A．28 B．26 C．25 D．22

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．2a2﹣a2＝1 B．（a+b）2＝a2+b2

C．（3b3）2＝6b6 D．（﹣a）5÷（﹣a）3＝a2

6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

7．（3分）下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　）

A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率

B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率

C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率

D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率

8．（3分）已知方程2x2﹣x﹣3＝0的两根为x1，x2，那么+＝（　　）

A．﹣ B． C．3 D．﹣3

9．（3分）上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

10．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°

11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．35°

12．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）方程组的解满足方程x+y﹣a＝0，那么a的值是　 　．

14．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为　 　．

15．（3分）唐老师为了了解学生的期末数学成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表：

则这10名学生的数学成绩的中位数是　 　分．

16．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　 　．

17．（3分）正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是　 　．

18．（3分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：S四边形DECA的值为　 　．

三、解答题（共66分）

19．（6分）计算：．

20．（6分）化简求值：（+）÷，其中x＝3．

21．（8分）网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．

请根据图中的信息，回答下列问题：

（1）这次抽样调查中共调查了　 　人；

（2）请补全条形统计图；

（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是　 　；

（4）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．

22．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

23．（9分）某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品260个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．

（1）购买乙种礼品花了　 　元；

（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高20%，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题）

24．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

25．（10分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；

（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当MN的值最大时，求△BMN的周长．

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝4S2，求点P的坐标．

2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（下）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．﹣1的倒数是1 B．﹣1的相反数是﹣1

C．1的算术平方根是1 D．1的立方根是±1

【分析】A、根据倒数的定义即可判定；

B、根据相反数的定义即可判定；

C、根据算术平方根的定义即可判定；

D、根据立方根的定义即可判定．

【解答】解：A、﹣1的倒数是﹣1，故选项A错；

B、﹣1的相反数是1，故选项B错；

C、1的算术平方根是1，故选项C正确；

D、1的立方根为1，故选项D错；

故选：C．

【点评】本题考查了倒数，相反数，算术平方根，立方根的概念．弄清概念是解决本题的关键．

2．（3分）由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．

【解答】解：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，

故选：A．

【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．

3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°

【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．

【解答】解：

过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，

∵∠C＝44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，

∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

4．（3分）如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB＝6，AD＝9，则五边形ABMND的周长为（　　）

A．28 B．26 C．25 D．22

【分析】如图，运用矩形的性质首先证明CN＝3，∠C＝90°；运用翻折变换的性质证明BM＝MN（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．

【解答】解：如图，由题意得：BM＝MN（设为λ），CN＝DN＝3；

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝9，∠C＝90°，MC＝9﹣λ；

由勾股定理得：λ2＝（9﹣λ）2+32，

解得：λ＝5，

∴五边形ABMND的周长＝6+5+5+3+9＝28，

故选：A．

【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．2a2﹣a2＝1 B．（a+b）2＝a2+b2

C．（3b3）2＝6b6 D．（﹣a）5÷（﹣a）3＝a2

【分析】根据整式的运算，合并同类项，完全平方式，积的乘方，幂的乘方运算．

【解答】解：A，2a2﹣a2＝a2≠1，所以，A错误，

B、（a+b）2＝a2+b2+2ab≠a2+b2，所以B错误；

C、（3b3）2＝9a6≠6b6，所以C错误；

D、（﹣a）5÷（﹣a）3＝a2，所以D正确．

故选：D．

【点评】此题是同底数幂的除法题，主要考查了合并同类项，完全平方式，积的乘方，解本题关键是整式的运算的熟练掌握．

6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：，

由①得，x＞1，

由②得，x≥2，

故此不等式组得解集为：x≥2．

在数轴上表示为：

．

故选：A．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．

7．（3分）下列关于概率的描述属于“等可能性事件”的是（　　）

A．交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，它们发生的概率

B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率

C．小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率

D．小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的概率

【分析】A：交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，所以它们发生的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．

B：因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．

C：因为“直角三角形”三边的长度不相同，所以小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，不属于“等可能性事件”，据此判断即可．

D：小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，则A、B、C被选中的相同，属于“等可能性事件”，据此判断即可．

【解答】解：∵交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色，但是红黄绿灯发生的时间一般不相同，

∴它们发生的概率不相同，

∴它不属于“等可能性事件”，

∴选项A不正确；

∵图钉上下不一样，

∴钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，

∴它不属于“等可能性事件”，

∴选项B不正确；

∵“直角三角形”三边的长度不相同，

∴小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步，他出现在各边上的概率不相同，

∴它不属于“等可能性事件”，

∴选项C不正确；

∵小明用随机抽签的方式选择以上三种答案，A、B、C被选中的相同，

∴它属于“等可能性事件”，

∴选项D正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了概率的意义，以及“等可能性事件”的性质和应用，要熟练掌握．

8．（3分）已知方程2x2﹣x﹣3＝0的两根为x1，x2，那么+＝（　　）

A．﹣ B． C．3 D．﹣3

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣，

所以+＝＝＝﹣．

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时：x1+x2＝﹣，x1x2＝．

9．（3分）上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据题意出教室，离门口近，返回教室离门口远，在教室内距离不变，速快跑距离变化快，可得答案．

【解答】解：根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了函数图象，根据距离的变化描述函数是解题关键．

10．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°

【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD＝180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．

【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，

∴∠BAD＝50°，

∴∠BOD＝100°，

故选：D．

【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．35°

【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出∠BAE＝∠EBA、∠BCE＝∠EBC，即可求出答案．

【解答】解：连接BE，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB，

∵∠ABC＝70°，AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝20°，

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝EB，

∴∠ABE＝∠BAE＝20°，

∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣20°＝50°，

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠BAE＝∠EBA和∠BCE＝∠EBC是解此题的关键．

12．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2

【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；

故选：C．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）方程组的解满足方程x+y﹣a＝0，那么a的值是　3　．

【分析】利用代入消元法求出方程组的解得到x与y的值，代入x+y﹣a＝0求出a的值即可．

【解答】解：，

把①代入②得：6﹣4y+y＝6，

解得：y＝0，

把y＝0代入①得：x＝3，

把x＝3，y＝0代入x+y﹣a＝0中得：3﹣a＝0，

解得：a＝3，

故答案为：3

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

14．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为　6.7×1010　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：67 000 000 000＝6.7×1010，

故答案为：6.7×1010．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

15．（3分）唐老师为了了解学生的期末数学成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表：

则这10名学生的数学成绩的中位数是　85　分．

【分析】根据中位数的概念求解．

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：60，60，70，80，80，90，90，90，90，100，

则中位数为：＝85．

故答案为：85．

【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

16．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　a≥﹣3且a≠±1　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0，

解得a≥﹣3且a≠±1．

故答案为：a≥﹣3且a≠±1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

17．（3分）正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是　x＜﹣2或0＜x＜2　．

【分析】根据题意可得B的横坐标为2，再由图象可得当y1＜y2时，x的取值范围．

【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点

∴A，B两点坐标关于原点对称

∴B点的横坐标为﹣2

∵y1＜y2

∴在第一和第三象限，正比例函数y＝k1x的图象在反比例函数y＝的图象的下方

∴x＜﹣2或0＜x＜2

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．

18．（3分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：S四边形DECA的值为　1：15　．

【分析】根据题意得到BE：EC＝1：3，证明△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质计算即可．

【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，

∴BE：EC＝1：3，

∵DE∥AC，

∴△BED∽△BCA，

∴S△BDE：S△BCA＝（）2＝1：16，

∴S△BDE：S四边形DECA＝1：15，

故答案为：1：15．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

三、解答题（共66分）

19．（6分）计算：．

【分析】先分别根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣×

＝2﹣1

＝1．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

20．（6分）化简求值：（+）÷，其中x＝3．

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（+）÷

＝

＝

＝

＝，

当x＝3时，原式＝．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

21．（8分）网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．

请根据图中的信息，回答下列问题：

（1）这次抽样调查中共调查了　1500　人；

（2）请补全条形统计图；

（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是　108°　；

（4）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．

【分析】（1）根据30﹣35岁的人数除以所占的百分比，可得调查的人数；

（2）根据有理数的减法，可得12﹣17岁的人数，根据12﹣17岁的人数，可得答案；

（3）根据18﹣23岁的人数除以抽查的人数乘以360°，可得答案；

（4）根据总人数乘以12﹣23岁的人数所占的百分比，可得答案．

【解答】解：（1）这次抽样调查中共调查了330÷22%＝1500（人）；

（2）12﹣17岁的人数为1500﹣450﹣420﹣330＝300（人）

补充完整，如图；

（3）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是×360°＝108°；

（4）其中12﹣23岁的人数 2000×50%＝1000（万人）．

【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．

【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE＝BF＝CH＝10m，

在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，

∴DF＝AF＝70m．

在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，

∴CE＝＝＝10（m），

∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．

答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

23．（9分）某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品260个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元．

（1）购买乙种礼品花了　400　元；

（2）如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高20%，求乙种礼品的单价．（列分式方程解应用题）

【分析】（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+100）个，根据“甲种礼品的钱数+乙种礼品的钱数＝700”列方程求解可得；

（2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为（1+20%）a元，根据共购进甲、乙两种粽子260个，列方程求解．

【解答】解：（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+100）元，

根据题意，得：x+x+100＝700，

解得：x＝300，

所以买乙种礼品花了400元，

故答案为：400；

（2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为（1+20%）a元，

根据题意，得：+＝260，

解得：a＝2.5，

经检验：a＝2.5是原分式方程的解，

答：乙种礼品的单价为2.5元/个．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

24．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

【分析】（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊥AC即可；

（2）设EC＝EB＝x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，

在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，

∴AC＝4，

在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2+AC2，

∴x2＝（8﹣x）2+42，

解得x＝5，

∴CE＝5．

【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

25．（10分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；

（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．

（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．

（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．

【解答】解：（1）如图；

根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．

（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．

则b＝2．

（3）存在．

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．

当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，

又∵AO＝AB，

∴△OAB为等边三角形．

∴∠AOB＝60°，

作AE⊥OB，垂足为E，

∴AE＝OEtan∠AOB＝OE．

∴＝•（b＞0）．

∴b′＝2．

∴A（，3），B（2，0）．

∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．

设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，

解得．

故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．

【点评】本题考查了二次函数综合题，这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．

26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当MN的值最大时，求△BMN的周长．

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝4S2，求点P的坐标．

【分析】（1）直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；

（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐标即可求出周长；

（3）先求出△ABN的面积，进而得出平行四边形CBPQ的面积，从而求出BD，联立方程组求解即可．

【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入，

得，，

∴

所以直线BC的解析式为y＝﹣x+4；

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y＝x2+bx+c，

得，，

∴

所以抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；

（2）如图1，

设M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），则N（x，﹣x+4），

∵MN＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴当x＝2时，MN有最大值4；

∵MN取得最大值时，x＝2，

∴﹣x+4＝﹣2+4＝2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4＝4﹣5×2+4＝﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN＝2，BM＝2

∴△BMN的周长＝4+2+2＝4+4

（3）令y＝0，解方程x2﹣5x+4＝0，得x＝1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB＝4﹣1＝3，

∴△ABN的面积S2＝×3×2＝3，

∴平行四边形CBPQ的面积S1＝4S2＝12．

如图2，

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．

∵BC＝4，

∴BC•BD＝12，

∴BD＝．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ＝BC，连接CQ，则四边形CBPQ为平行四边形．

∵BC⊥BD，∠OBC＝45°，

∴∠EBD＝45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，由勾股定理可得BE＝BD＝3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

设直线PQ的解析式为y＝﹣x+t，

将E（1，0），代入，得﹣1+t＝0，解得t＝1

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+1．

解方程组，，

得，或，

∵点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，

∴点P的坐标为P（3，﹣2）

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的周长，三角形的面积，方程组的求解，解本题的关键是建立MN的函数关系式．

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日期：2019/9/26 22:01:03；用户：於雷；邮箱：159********；学号：5108470