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怎样利用相似三角形证明线段成比例
时间：2023-03-18 14:26:25 下载该word文档
篷群刭用
．１ｌ止曩月 明
…
．
唾 一盥 曼 燕鱼措．墨
边，但是这两个三角形不相似，所以考虑作ＣＦ／／ＢＤ，ＣＦ 交ＰＤ于点Ｆ，则△ＰｃＦ一△船Ｄ，得到 ＝ 后，再证
ＣＥ＝ＣＦ
利用相似三角形对应边成比例的性质证明四条线 段成比例，是常用的方法．本文通过例子，谈谈怎样利 用相似三角形证明线段成比例．
一
、
当所证比例式（或等积式）中的线段分别是两
个三角形的两边时，首先考虑证明这两个三角形相似．
例１如图１，在ＡＡＢＣ中，ＡＣ上ＢＣ，ＣＤ上ＡＢ于点
Ｄ，求证：（１）ＣＤ ＝ＡＤ・ＢＤ；（２）ＡＣ ＝ＡＤ・ＡＢ；Ｂ ＝
ＢＤ・ 日．
证明 过Ｃ作ＣＦ／／ＢＤ交ＰＤ于Ｆ，则ＡＢＰＤ
ＡＣＰＦ．所以， ＢＰ＝
．
因为ＡＤ＝ＡＥ，所以／＿ＡＤＥ＝
＿ＡＥＤ．由于ｚＡＤＥ＝ ＣＦＥ，Ｚ＿／ＡＥＤ： ＣＥＦ，所以
／＿ＣＦＥ＝ＺＣＥＦ，从而ｃ ＝ＣＦ，于是 ＢＰ＝
分析
ＣＤ
＝
（１）由ＣＤ ＝ＡＤ・ＢＤ，得
．
Ｃ
因为ＣＤ、ＢＤ￣ＡＤ、ｃＤ分
Ａ
三、当所证比例式（或等积式中的四条线段不是两 个三角形的两边时，应通过作辅助线（一般是作平行
图１
别是ＡＣＤＢ和ＡＡＤＣ的边，所以考
虑证明Ａ∞Ｂ—ＡＡＤＣ．
线）构造相似三角形．
例３如图３，在ＡＡＢＣ中，点Ｄ、Ｅ分别在边ＡＢ、ＡＣ
证明（１）因为ＡＣ上ＢＣ，ＣＤ￣ＡＢ于Ｄ，所以
．
上，使ＢＤ＝ＣＥ，延长ＤＥ、ＢＣ相交于点Ｆ，求证：ＡＣ・
＝
１：９０。一Ｚ
Ｂ＝ ．由于 ＣＤＢ＝Ｚ．ＡＤＣ＝９０，
ＡＢ．￡）
￣ｆｆ１．）２ＡＣＤＢ＇－＇，ＡＡＤＣ，得 ＝ 脚ＣＤ２＝ＡＤ．ＢＤ．
分析因为求证式中的四条
（２）、（３）的证明留给同学们完成．
二、当所证比例式中的四条线段分别是两个三角形 的两边，但这两个三角形不相似时，应考虑添辅助线造
线段不同在两个三角形中，所以考 虑作ＤＧ／／ＡＣ交ＢＣ于Ｇ，这样可
使四条线段都分别在两对相似三口
．＋
。．
．
＋
Ｇ Ｃ
图３ ◆致掌大世界 。一叭－６．▲ｖ．．。．。．．＋。．。＋。＋。＋。＋．．．＋
成相似三角形，先使其中的三条线段在两个相似三角形 中，然后再把另一条线段等量代换，从而证明求证的比
例式成立．
角形中．
证明
作ＤＧ／／ＡＣ交ＢＣ于
＝
．
则ＡＢＤＧ￣＂ＡＢＡＣ，
Ｄ Ｆ
ＧＡＦＥＣ＇－＂ＡＦＤＧ，所以，Ｄ面Ｇ： ＡＣＤ
，
因为肋＝ＣＥ，
例２在ＡＡＢＣ（ＡＢ＞ＡＣ）的边ＡＢ上取一点Ｄ，在 边ＡＣ上取一点Ｅ，使ＡＤ＝ＡＥ，直线ＤＥ和ＢＣ的延长线
所以， ＡＣ＝而ＤＦ即Ａｃ・
，
＝ＡＢ・ＤＦ．
交于点Ｐ，求证： ＢＰ＝历ＢＤ
分析
．
四、当所证比例式（或等积式）中的四条线段在同一条 直线上时，可通过等量代换，使其中的一条转移，以造成两
如图２，虽然曰．Ｐ、ＢＤ和
图２
个三角形，然后证明这两个三角形相似．（下转第２７页）
ＣＰ、ＣＥ分别是ＡＰＢＤ和ＡＰＣＥ的
－・－●－０◆－◆ ◆－．－◆’◆
又‘． Ａ曰＝１６． ．‘．ＡＣ＝８
例７三角形ＡＢＣ三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于点
＝６ ＝１５
ＣＨ：ＡＢ．
且
在ＲｔＡＯ。ＣＡ中，０，Ｃ＝ 在ＲｔＡＯ２ＣＡ中，ｏ２Ｃ＝
故Ｏｌ０２：ＯｌＣ＋０２Ｃ＝２１
求ＬＡＣＢ的度数． 解