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    2019年广西贺州市中考数学试卷-

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    广西贺州市2019年中考数学试卷


    一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）（2019•贺州）在﹣1、0、1、2这四个数中，最小的数是（ ） A． 0 B． ﹣1 C． 1 D． 1

    考点：有理数大小比较 分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 解答：解：﹣1＜0＜1＜2，

    故选：B． 点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

    2．（3分）（2019•贺州）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
    A． x ≠1 B． x=1 C． x≠﹣1 D． x=﹣1
    考点：分式有意义的条件． 分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解． 解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，

    解得：x≠1． 故选A． 点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键． 3．（3分）（2019•贺州）如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
    45° 60° A． 3 5° C． D．

    考点：余角和补角 分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案． 解答：解：∵OA⊥OB，若∠1=55°，

    ∴∠AO∠=90°， 即∠2+∠1=90°， ∴∠2=35°， 故选：A． 点评：本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，这两个角互余． 4．（3分）（2019•贺州）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）

    40° B．

    1
    A． 0 .845×104亿元 B． C． D． 8.45×103亿元 8.45×104亿元 84.5×102亿元

    考点：科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： ：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．
    解故选B． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）（2019•贺州）A、B、C、D四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是（ ） A． 1 B． C． D．

    考点：概率公式． 分析：直接利用概率公式求出A抽到1号跑道的概率． 解答：解：∵赛场共设1，2，3，4四条跑道，

    ∴A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是：． 故选；D． 点评：此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
    比． 6．（3分）（2019•贺州）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． 等 边三角形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 正五边形

    考点：中心对称图形；轴对称图形． 专题：常规题型． 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
    如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 解答：解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

    B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选C． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
    形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

    7．（3分）（2019•贺州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

    2
    A．


    B．

    C．

    D．


    考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解
    集表示在数轴上即可 解答：
    解：，解得， 故选：A． 点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）
    ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 8．（3分）（2019•贺州）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）

    A．


    B．

    C．

    D．


    考点：简单组合体的三视图． 分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 解答：从正面看，第一层是两个正方形，第二层左边是一个正方形，

    故选：C． 点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 9．（3分）（2019•贺州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（ ）

    A． 1 2 B． C． 12 D． 15 15

    考点：等腰梯形的性质． 分析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰
    梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE
    3
    是等边三角形，由此可得出结论． 解答：解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，

    ∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°， ∴AD∥BC，
    ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴∠AEB=∠BCD=60°， ∵CA平分∠BCD， ∴∠ACE=∠BCD=30°， ∵∠AEB是△ACE的外角，
    ∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC， ∴∠EAC=30°， ∴AE=CE=3，
    ∴四边形ADEC是菱形，
    ∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB=BE=AE=3，
    ∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15． 故选D．

    点评：本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题
    的关键． 10．（3分）（2019•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）

    A．

    B．
    C．
    D．




    考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．



    4
    分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和
    反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置． 解答：解：∵抛物线开口向上，

    ∴a＞0，
    ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，
    ∴b＜0，
    ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限． 故选B． 点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．


    11．（3分）（2019•贺州）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=CE=1．则弧BD的长是（ ）
    ，
    A．


    B．

    C．

    D．


    考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算． 分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故
    =，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答：解：连接OC，

    ∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2，
    ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
    ∵sinA==，
    ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，

    5
    ∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
    ∵AE⊥CD， ∴=，
    ∴===．
    故选B．

    点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中． 12．（3分）（2019•贺州）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（ ）
    D． 10 A． 2 B． 1 C． 6

    考点：分式的混合运算；完全平方公式． 专题：计算题． 分析：根据题意求出所求式子的最小值即可． 解答：
    解：得到x＞0，得到=x+≥2=6，
    则原式的最小值为6． 故选C 点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．

    二、填空题（每小题3分，共18分）
    13．（3分）（2019•贺州）分解因式：a3﹣4a= a（a+2）（a﹣2） ．

    考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 解答： 解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
    故答案为：a（a+2）（a﹣2）． 点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．


    6


    14．（3分）（2019•贺州）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＜”或“=”）．

    考点：一次函数图象上点的坐标特征． 分析： 直接把P1（1，y1），P2（2，y2）代入正比例函数y=x，求出y1，y2）的值，再比较出其大小即可． 解答： 解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，
    ∴y1=，y2=×2=， ∵＜， ∴y1＜y2．
    故答案为：＜． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，
    熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 15．（3分）（2019•贺州）近年来，A市民用汽车拥有量持续增长，2009年至2013年该市民用汽车拥有量（单位：万辆）依次为11，13，15，19，x．若这五个数的平均数为16，则x= 22 ．

    考点：算术平均数． 分析： 根据算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数进行计算即可． 解答：解： （11+13+15+19+x）÷5=16，
    解得：x=22， 故答案为：22． 点评：此题主要考查了算术平均数，关键是掌握算术平均数的计算公式．

    16．（3分）（2019•贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+则m的最大整数值是 0 ．

    考点：根的判别式． 专题：计算题． 分析：
    根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×再在此范围内找出最大整数即可． 解答：
    解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×=0有两个不相等的实数根，＞0，然后解不等式得到m的取值范围，＞0，
    解得m＜，
    所以m的最大整数值为0． 故答案为0． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

    7
    17．（3分）（2019•贺州）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．


    考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得
    ∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，

    ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD， ∵∠DBC=15°，
    ∴∠ABC=∠A+15°， ∵AB=AC，
    ∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
    ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°， 解得∠A=50°． 故答案为：50°． 点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，
    熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键． 18．（3分）（2019•贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．


    考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理． 分析：根据正弦是角的对边比斜边，可得答案． 解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，

    由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3， 由BC•AD=AB•CE，
    即CE=    =，

    8
    sinA===，
    故答案为：．
    点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
    余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

    三、计算题（共计66分）
    19．（8分）（2019•贺州）（1）计算：（（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷﹣2）0+（﹣1）2019+，其中a=+1，b=﹣sin45°； ﹣1．

    考点：分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用
    二次根式性质化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
    （2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 解答：
    解：（1）原式=1+1+﹣=2；
    （2）原式=ab（a+1）•=ab，
    当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2． 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

    20．（6分）（2019•贺州）已知关于x、y的方程组值．

    考点：二元一次方程组的解． 专题：计算题． 分析：将x与y的值代入方程组计算即可求出m与n的值． 解答：
    解：将x=2，y=3代入方程组得：，
    ②﹣①得： n=，即n=1，
    的解为，求m、n的
    9
    将n=1代入②得：m=1， 则m=1，n=1． 点评：此题考查了二元一次方程组的解，
    方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 21．（7分）（2019•贺州）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
    （1）求证：BE=DF； （2）求证：AF∥CE．


    考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定
    得出即可；
    （2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案． 解答：证明： （1）∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠5=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠4，
    在△ABE和△CDF中，
    ，
    ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF；

    （2）由（1）得△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵∠1=∠2， ∴AE∥CF，
    ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE．

    点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，
    得出△ABE≌△CDF是解题关键．

    10
    22．（8分）（2019•贺州）学习成为现代人的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．
    （1）在统计的这段时间内，共有 16 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 12.5 %；
    （2）将条形统计图补充完整；
    （3）若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中约有多少人次读者是职工？


    考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 专题：计算题． 分析：（1）根据学生的人数除以占的百分比，求出总人数；求出商人占的百分比即可；

    （2）求出职工的人数，补全条形统计图即可； （3）由职工的百分比乘以28000即可得到结果． 解答：
    解：（1）根据题意得：4÷25%=16（万人次），商人占的百分比为×100%=12.5%；

    （2）职工的人数为16﹣（4+2+4）=6（万人次）， 补全条形统计图，如图所示：


    （3）根据题意得：×100%×28000=10500（人次），
    则估计其中约有10500人次读者是职工．
    故答案为：（1）16；12.5% 点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关
    键．


    11
    23．（7分）（2019•贺州）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．

    考点：分式方程的应用． 分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600
    米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟． 解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
    =+10，
    解得 x=80．
    经检验，x=80是原方程的根． 答：马小虎的速度是80米/分． 点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24．（8分）（2019•贺州）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上． （1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）； （2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
    （参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）


    考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的
    最短距离；
    （2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离． 解答：解： （1）C作AB的垂线，设垂足为D，
    根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°， 设CD的长为x海里，
    在Rt△ACD中，tan42°=在Rt△BCD中，tan55°=，则AD=x•tan42°， ，则BD=x•tan55°，
    ∵AB=80，
    ∴AD+BD=80，
    ∴x•tan42°+x•tan55°=80， 解得：x≈34.4，
    答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；

    12
    （2）在Rt△BCD中，cos55°=∴BC=≈60海里，
    ，
    答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．

    点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可
    转化角度，也得到垂直的直线． 25．（10分）（2019•贺州）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
    （1）求证：BO⊥CO； （2）求BE和CG的长．


    考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1） 由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；
    （2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长． 解答：（1）证明：∵AB∥CD
    ∴∠ABC+∠BCD=180°
    ∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
    ∴∠OBC=，∠OCB=，
    ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=90°， ∴BO⊥CO．

    （2）解：连接OF，则OF⊥BC， ∴RT△BOF∽RT△BCO，

    13
    ∴=，
    ∵在RT△BOF中，BO=6cm，CO=8cm， ∴BC=∴=，
    =10cm，
    ∴BF=3.6cm，
    ∵AB、BC、CD分别与⊙O相切， ∴BE=BF=3.6cm，CG=CF， ∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm． ∴CG=CF=6.4cm．

    点评：本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用．属于基础题． 26．（12分）（2019•贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式；
    （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
    （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．


    考点：二次函数综合题． 专题：综合题． 分析： （1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
    （2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
    （3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x， x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．

    14
    解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，

    ∴设二次函数的解析式为y=ax2，
    将点A（1，）代入y=ax2得：a=， ∴二次函数的解析式为y=x2；

    （2）证明：∵点P在抛物线y=x2上， ∴可设点P的坐标为（x， x2），
    过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x， ∴Rt△BPF中， PF=∵PM⊥直线y=﹣1，
    ∴PM=x2+1， ∴PF=PM，
    ∴∠PFM=∠PMF， 又∵PM∥x轴， ∴∠MFH=∠PMF， ∴∠PFM=∠MFH， ∴FM平分∠OFP；

    （3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°， ∴∠FMH=30°，
    在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4， ∵PF=PM=FM，
    ∴x2+1=4，
    解得：x=±2， ∴x2=×12=3，
    ∴满足条件的点P的坐标为（2=x2+1，
    ，3）或（﹣2，3）．

    点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直
    角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．

    1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．

    15
    （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程． （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
    （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．
    2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量
    3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
    ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题
    一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．
    然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题
    （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润×100% 商品成本价 （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
    （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打
    16
    8折出售，即按原标价的80%出售．
    6．行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
    （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
    （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
    逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
    抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
    7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数
    本金
    实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
    【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：
    (2.5+2x+2.5y=36
    3x+(3+2y=36
    17
    解得： x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
    【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
    解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：
    20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，
    类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
    【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：

    类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
    【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
    ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000
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    解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩
    【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：


    进价（元/件） 售价（元/件）
    A 1200 1380 B 1000 1200 （注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件； 解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组
    1200x+1000y=360000 (1380-1200x+(1200-1000y=60000 解得x=200，y=120 答：略
    类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
    【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
    解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则
    X + Y = 4000
    X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75 解得：X = 1500，Y = 2500。 答：略。
    类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
    【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个 x+y=190 8x=22y/2 解得x=110，y=80 即110张做盒身，80张做盒底

    19
    【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
    解： 设生产螺栓的工人为x人 ， 生产螺母的工人为y人
    x+y=60 28x=20y 解得 x=25，y=35 答：略
    【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？
    解：设用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿
    X+Y=5.........................(1 50X：300Y=1：4......................(2 解得：Y=2，X=5-2=3 答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。
    类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
    【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。 解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。
    x＋y＝42 0.8%×X＋1.1%×Y＝ 42×1% 解这个方程组，得：x=14，
    y=28 答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。
    类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
    【变式1】略
    【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？ 解：设：男有X人，女有Y人，则

    20
    X-1=Y 2（Y-1）=X 解得：x=4，y=3 答：略
    类型八：列二元一次方程组解决——数字问题
    【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ 解：设这个两位数十位数是x，个位数是y，则这个数是（10x+y 10x+y-3(x+y=23 (1 10x+y=5(x+y+1 (2 由（1），（2）得 7x-2y=23 5x-4y=1 解得：x=5 y=6 答：这个两位数是56 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
    解：设个位X，十位Y，有
    X - Y = 5 (10X + Y + (10 + X = 143 即 X - Y = 5 X + Y = 13 解得：X = 9，Y = 4 这个数就是49 【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
    解：设原数百位是x，个位是y那么
    x+y=9 x-y=1 两式相加得到2x=10 => x=5 => y=5-1=4 所以原数是504 类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题
    【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水
    21
    各需多少？
    解：设10%的X克，85%的Y克
    X+Y=12 X*10%+Y*85%=12*45% 即：X+Y=12 X+8.5Y=54 解得：Y=5.6 答：略
    【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
    解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为800×1.75%=14千克
    含14千克纯农药的35%的农药质量为14÷35%=40千克
    由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克
    答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。
    类型十：列二元一次方程组解决——几何问题
    【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
    解：设长方形的长宽分别为x和y 厘米，则
    2(x+y = 48
    x-3=y+3 解得：x=15 ， y=9 正方形的面积比矩形面积大
    （x-3）（y+3）- x y= （15-3）（9+3）- 15 * 9= 144 - 135= 9（ cm²）
    答：略
    【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？


    类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题
    【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄. 解：设小李X岁，爷爷Y岁，则

    22
    5X=Y 3（X+12）=Y+12 两式联立解得：X=12 Y=60 所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。
    类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：

    【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。 (1若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
    (2若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
    解：(1分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台．
    (Ⅰ购进甲、乙两种电视机解得
    (Ⅱ购进甲、丙两种电视机解得
    (Ⅲ购进乙、丙两种电视机解得(不合实际，舍去故商场进货方案为购进甲种25 台和乙种25 台；或购进甲种35 台和丙种15 台． (2 按方案( Ⅰ ，获利150 ×25 ＋200 ×25 ＝8750( 元 ； 按方案( Ⅱ ，获利150 ×35 ＋250 ×15 ＝9000( 元 ． ∴选择购进甲种35 台和丙种15 台．


    三、列方程解应用题
    1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

    2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

    23


    3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．

    4．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．

    5．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？

    6．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．

    7．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
    （1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
    （2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？•应交电费是多少元？

    8．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3•种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
    （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
    （2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，•销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

    答案
    1．解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作． 根据题意，得1111×+（+）x=1 6264
    24
    解这个方程，得x= 11 511=2小时12分
    5 答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作． 2．解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
    则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x． 由题意，得2×（9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18 ∴x=-3 答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
    （点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）
    3．解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
    ·（2002）x=300×300×80 2 x≈229.3 答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
    4．解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，•过完第一铁桥所需的时间为x分．
    6002x50x52x50分． 依题意，可列出方程 += 60060060600 过完第二铁桥所需的时间为解方程x+50=2x-50 得x=100 ∴2x-50=2×100-50=150 答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米． 5．解：设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为2x克，
    那么红色和白色配料分别为3x克和5x克． 根据题意，得2x+3x+5x=50 解这个方程，得x=5 于是2x=10，3x=15，5x=25 答：这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是10克，15克和25克． 6．解：设这一天有x名工人加工甲种零件，
    则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个． 根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440 解得x=6 答：这一天有6名工人加工甲种零件．
    7．解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得a=60 （2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得x=90 所以0.36×90=32.40（元） 答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

    8．解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
    设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
    （1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
    1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25 ②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

    25
    可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35 50-x=15 ③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程2100y+2500（50-y）=90000 21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
    由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
    （2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元） 若选择（1）中的方案②，可获利
    150×35+250×15=9000（元） 9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案．


    26

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