2019-2019年度南昌市高三第一次模拟测试卷数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分.
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.
参考公式:
锥体体积公式V=Sh,其中S为底面积,h为高.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.函数y=-1的图像关于x轴对称的图像大致是
3.函数y=的定义域为M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集合是
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}
4.若α∈(0,),且sin2α+cos 2α=,则tan α的值等于
A. B. C. D.
5.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=10,则S11的值为
A.12 B.18 C.22 D.44
6.某项测试成绩满分为10分,现随机抽取30名学生参加测试,得分如图所示,假设得分值的中位数为me,平均值为,众数为mo,则
A.me=mo=
B.me=mo<
C.me<m0<
D.mo<me<
7.程序框图,如图所示,
已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),若该程序输出的结果为s,则
A.当s=1时,E是椭圆 B.当s=-1时,E是双曲线
C.当s=0时,E是抛物线 D.当s=0时,E是一个点
8.已知a、b、c是三条不同的直线,命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的,如果把a、b、c中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知函数f(x)=|lg(x-1)|-()x有两个零点x1,x2,则有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
10.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
第Ⅱ卷
注意事项:
第Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则m最大值为________.
12.设n=6sinxdx,则二项式(x-)n的展开式中,x2项的系数为________.
13.已知关于x的方程x2+2px-(q2-2)=0(p,q∈R)无实根,则p+q的取值范围是________.
14.在区间[-6,6]内任取一个元素x0,抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α,则α∈[,]的概率为________.
三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本题共5分.
15.(1)(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是________.
(2)(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r=________.
四、解答题:本大题共6个题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知向量p=(-cos 2x,a),q=(a,2-sin 2x),函数f(x)=p·q-5(a∈R,a≠0)
(1)求函数f(x)(x∈R)的值域;
(2)当a=2时,若对任意的t∈R,函数y=f(x),x∈(t,t+b]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定b的值(不必证明),并求函数y=f(x)的在[0,b]上单调递增区间.
17.(本小题满分12分)
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
18.(本小题满分12分)
南昌市教育局组织中学生足球比赛,共有实力相当的8支代表队(含有一中代表队,二中代表队)参加比赛,比赛规则如下:
第一轮:抽签分成四组,每组两队进行比赛,胜队进入第二轮,第二轮:将四队分成两组,每组两队进行比赛,胜队进入第三轮,第三轮:两队进行决赛,胜队获得冠军。
现记ξ=0表示整个比赛中一中代表队与二中代表队没有相遇,ξ=i表示恰好在第i轮比赛时一中代表队,二中代表队相遇(i=1,2,3).
(1)求ξ的分布列;
(2)求Eξ.
19.(本小题满分12分)
如图,已知E,F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点,EF与AC交于点O,PA,NC都垂直于平面ABCD,且PA=AB=4,NC=2,M是线段PA上的一动点.
(1)求证:平面PAC⊥平面NEF;
(2)若PC∥ 平面MEF,试求PM∶MA的值;
(3)当M的是PA中点时,求二面角M-EF-N的余弦值.
20.(本小题满分13分)
椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m (m∈R).
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(2)求证:当△PAB的面积取得最大值时,原点O是△PAB的重心.
21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=ax-lnx.若对任意的x1∈[,2],总存在唯一的x2∈[,e](e为自然对数的底),使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.
2019学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11. 12.60 13. 14.
三、选做题(本题共5分)
15.①; ②
四、解答题(本大题共6小题,共75分)
16. 解:(1)
………………………………………………………2分
因为,所以
当时,
所以的值域为………………………………………………………4分
同理,当时,的值域为……………………………………6分
(2)当时,
的最小正周期为可知,的值为.…………………8分
由,得……10分
因为,所以,
函数在上的单调递增区间为………………………………12分
17. 解:(1)设公差为。由已知得………………………3分
解得或(舍去) 所以,故………………………………6分
(2)因为
所以………………………9分
因为对恒成立。即,,对恒成立。
又
所以实数的最小值为………………………………………………………………12分
18. 解:(1) ……………………………………….2分
……………………………………4分
…………………………………………………….6分
……………………………….9分
(2)………………………………………….12分
19. 解:法1:(1)连结,
∵平面,平面,
∴,……………………… 1分
又∵,,
∴平面,…………………. 2分
又∵,分别是、的中点,
∴,………………………….3分
∴平面,又平面,
∴平面平面;……………4分
(2)连结,
∵平面,平面平面,
∴,
∴,故………………………………………8分
(3)∵平面,平面,∴ ,
在等腰三角形中,点为的中点,∴,
∴为所求二面角的平面角, ……………………………9分
∵点是的中点,∴,
所以在矩形中,
可求得,,,………………………10分
在中,由余弦定理可求得,
∴二面角的余弦值为.……………………………………12分
法2:(1)同法1;
(2)建立如图所示的直角坐标系,则,,,,
∴,,
设点的坐标为,平面的法向量为,则,
所以,即,令,则,,
故,
∵平面,∴,即,解得,
故,即点为线段上靠近的四等分点;
故…………………………………………………………………8分
(3),则,设平面的法向量为,
则,即,………9分
令,则,,
即,……………………………10分
当是中点时,,
则,
∴,
∴二面角的余弦值为.……12分
20. 解:(1)由=及解得a2=4,b2=3,
椭圆方程为;…………………………………………………………2分
设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由得
(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即
又,,两式相减得
; ………………………6分
(2)设AB的方程为 y=,代入椭圆方程得:x2-tx+t2-3=0,
△=3(4-t2),|AB|=,
点P到直线AB的距离为d=,
S△PAB == (-2<t<2). ……………….10分
令f(t) =3(2-t)3(2+t),则f’(t)=-12(2-t)2(t+1),由f’(t)=0得t=-1或2(舍),
当-2<t<-1时,f’(t)>0,当-1<t<2时f’(t)<0,所以当t=-1时,f(t)有最大值81,
即△PAB的面积的最大值是;
根据韦达定理得 x1+x2=t=-1,而x1+x2=2+m,所以2+m=-1,得m=-3,
于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,
因此△PAB的重心坐标为(0,0).……………………………………………………13分
21. 解: (1)…………………………2分
由在处取到极值2,故,即,
解得,经检验,此时在处取得极值.故 ……5分
(2)由(1)知,故在上单调递增,在上单调递减,由,故的值域为…………………………7分
依题意,记
(ⅰ)当时, ,在上单调递减,
依题意由,得,……………………………………………………8分
(ⅱ)当时, 当时, ,当时,
依题意得:或,解得,…………………………10分
(ⅲ)当时, ,此时,在上单调递增依题意得
即此不等式组无解 ……………………………………11分.
综上,所求取值范围为………………………………………………14分
¥29.8
¥9.9
¥59.8