3) 数学归纳法：在数学中关于自然数N的命题P（n）的证明，往往采用数学归纳法。这种方法的推理过程，一般是先用不完全归纳法从特殊判断推广到一般判断，然后依据归纳公理来证明这个一般判断。因此，它是根据归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法。

四、数学概念、数学命题的教学

数学概念教学的几个阶段

（1）数学概念的引入途径

1.用实际事例或实物、模型进行介绍eg：正负数、射线、平面坐标

2.在学生原有概念的基础上引入新概念eg：平行四边形→菱形，等式→方程

3.从需要引入eg：负数概念的引入

4.从类比引入eg：类比“分数”引入“分式”

（2）数学概念的形成要注意：

1.讲清概念的定义

A.充分揭示概念定义的本质特征，使学生确切理解所讲概念

B.利用图形引入概念时，注意运用图形的变式eg：数轴的三要素

C.讲清组成定义的关键因素和必要词句

D.应使学生明确理解表示概念的符号的含义

2.掌握概念的内涵

概念的定义，并不能反映概念所包含的全部本质属性。因此，概念的形成还必须掌握概念的内涵。

3.完成分类

概念的分类（划分）表明了概念的外延，完成概念的分类是形成概念的必要条件之一。

④掌握有关概念间的逻辑联系

（3）概念的巩固——教学法

1.引入新概念后，让学生及时做一些巩固练习。教学一个新概念后，教师宜及时针对概念的本质特征选择一些课内、课外练习加以巩固

2.后次复习前次概念，进行知识的“返回”“再现”。新概念必然涉及一系列的旧概念，可通过复习原有概念，为新概念的引入铺平道路，做到承前启后，进一步巩固原有概念。

3.注意概念的比较。对易混淆和难理解的概念，应运用分析比较的方法，指出它们的相同点、不同点，有助于记忆。

4.及时小结或总结。在讲完某一节或一章或一单元后，注意引导学生进行知识内容的小结或总结，一般可采用表格的形式进行，能使学生的概念知识系统化，条理化

5.通过解题及反复应用。解题是使学生熟练掌握概念和数学方法的手段

公式、定理的教学

（1）命题的提出

1发现式实践引入，通过实践去发现，在教学过程中一般不先提出命题的内容

eg：三角形内角和定理、椎体积公式

2.反例式引入，由于知识的负迁移，常使学生产生错误的猜想，甚至把这些猜想当公式使用。因此有些公式采用反例式引入，防患于未然

3.过渡式引入，数学的特征之一是它的系统性，新公式常可由旧公式过渡迁移而引入

（2）明确命题

1.分清已知条件和结论

2.注意公式定理的应用范围

3.分清公式的外形与特点

4.使学生正确理解定理中关键性词语的意义eg：“有且仅有”

（3）掌握公式定理的证明与推导

1.思路和方法。公式定理的教学重点在于让学生掌握证明的思路和方法，对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结，以提高学生分析、解决问题的能力。

2.图形的作用。凡可利用图形论证的命题，不要被图形的直观性特点所束缚，要使学生认识到正确利用图形不在其具体的特点，而在其所标志的条件和结论。

（4）定理的应用及公式定理的系统化

1.通过介绍公式、定理之后的例题和习题的教学与习作，使学生初步认识所学定理、公式的应用

2.要注意公式的正用、逆用及创造条件后使用。避免学生形成对定理的单向片面认识，必须加强逆用公式、定理的训练，注意逆向思维和思维的灵活性品质的培养。

3.公式、定理教学应符合人的认识规律，即实践、认识、再实践、再认识的过程。在讲授一个或一组公式后，不宜也不可能立即将它在各方面的应用都摆出来，而要在后面学习新知识的过程中不断充实它应用的内容。

4.使学生认识公式、定理之间的关系，形成系统的知识，注意一些公式、定理的推广方法

5.还应通过复习，把学过的知识整理成系统的知识，形成公式、定理链，使学生在定理的结构体系中掌握公式和定理。

第六章

能力指的是对人的活动起调节作用的个体心理特征，即后天习得的心理能力

知识的学习与能力的培养的关系：知识是成功地完成活动的心理条件，是能力的一个组成要素，但是，能力作为一种个性心理特征来说，是一种稳定的心理结构，这种心理结构的形成既依赖于知识的掌握，又依赖于进一步的概括化、系统化，这是在实践的基础上，通过以掌握的知识的广泛的迁移而实现的。所以，知识的掌握和能力的形成也是有区别的，两者是同一发展序列的两个不同发展阶段。

学生在数学活动中的能力（即学习、研究、发现数学知识的能力和运用数学知识来解决数学问题的能力），简称为数学能力。数学能力，是一般能力（观察力、记忆力、思维力、注意力等）在数学活动领域中的具体表现，表现的基本形式是运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

运算能力：在运算活动中起调节作用的个性心理特征

一、使学生牢固掌握运算所需要的概念、性质、公式、法则和一些常用数据

1.向学生讲明此问题的重要性，并讲究记忆的方法

2.在讲授新课时，应经过由具体到抽象，由感性到理性的过程，自然地形成概念，导出公式、法则，弄清它们的来龙去脉，明确条件是什么、结论是什么、在什么范围内适用

3.对那些相关的概念、易混淆的公式、法则，可通过列表、图示等方法进行对比，指出它们的联系与区别，澄清容易产生模糊混淆之处

4.及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，应立即通过正反两方面的例题进行纠正

5.教学中注意以旧引新、以新促旧、新旧联系、相得益彰，使学过的知识不断地在学生头脑中再现，促进记忆效果，增加理解深度

二、使灵活运用概念、性质、公式、法则进行运算

1.要透彻地阐明概念的本质属性，揭示出概念的内涵和外延

2.每个概念、性质、公式、法则都有其确定的意义，但有些不断发展和变化，因此，要有变化的观点深化对概念、性质、公式、法则的认识

3. 运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。简单的、低级的、具体的运算没有过关，要发展到复杂的、高级的、抽象的运算是很困难的。因此，在教学中，应该一层一层打牢基础，不可忽视那些简单的、低级的运算

4.首先要掌握一般的运算规律，同时对于常用技能技巧问题应给予足够的重视。教学中要善于发现和总结这些带有规律性的东西，对学生进行严格训练，以提高运算的合理性

5.教师应收集、编制一些灵活性较强，启发性较大的练习题，培养学生运算的灵活性，以达到正确、迅速的目的

三、要注意对学生进行推理训练。训练时，应与逻辑思维能力的培养综合考虑

四、加强运算联系

1.精选作业。作业的选择应考虑练习的目的和学生的实际，对教材中的关键部分应加强练习，可适当安排练习课，增加课内练习

2.适当增多练习。除了课外书面练习，还要运用课内的口答、板演、独立作业等形式来练习。教师要做到讲练结合，在复习旧知、巩固新知时，通过不断提问，使学生始终保持积极思维的状态，增加练习机会

3.严格要求。在练习时，要求高质量、高效率，在低年级和起始年级，更要特别注意这点

5、不断总结经验，随时吸收有关能力研究的成果，以便更有效的培养学生的运算能力

逻辑思维能力指按照逻辑思维规律，运用逻辑思维方法来进行思考、推理、论证的能力

一、牢固掌握中学数学的基础知识

知识是能力的重要因素，也是逻辑思维能力的重要因素。逻辑思维能力必须在数学知识的学习和掌握过程中才能形成和发展，牢固掌握基础知识的过程，就是直接训练学生逻辑思维能力的过程。

二、引导学生通过独立思考主动获取知识

教师应根据学习的规律，让学生独立思考，积极参与分析、综合、抽象、概括和推理证明的思维活动，主动地获取知识，使学生逐渐习惯这些思维方式，从而使知识的掌握与能力的提高，二者有机结合起来，互相促进。

三、运用知识逻辑，进行分析、综合、抽象、概括和推理证明的训练

在教学过程中，可以结合具体教学内容通俗地讲授一些必要的逻辑知识，使学生能运用这些知识来指导分析综合、抽象概括和推理证明，这样可以少走弯路，更快地提高逻辑思维能力。

四、加强逻辑思维训练

如同培养运算能力一样，为了培养逻辑思维能力，也应加强逻辑思维的训练。因此，也应精选作业、适当多练、严格要求。

五、不断总结经验，随时吸收有关能力研究的成果，以便更有效的培养学生的逻辑思维能力

空间想象能力：人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新等活动起调节作用的心理特征

一、使学生学好有关空间的基础知识。空间的基础知识，是空间想象力的重要因素，是学生进行想象的基础

二、教师演示和学生动手相结合，提高感知效果

三、通过比较，加深立体感，发挥正迁移的作用

（1）对于立体几何中出现的与平面几何相关的概念，可以通过比较引入概念，然后又利用概念进行比较

（2）通过比较来画图，利用图形进行比较

（3）通过图形转化进行比较，利用比较实现图形转化加强逻辑思维训练

四、加强空间想象力的训练

如同培养运算能力一样，为了培养学生的空间想象力，也应精选作业、适当多练、严格要求，只是标准将进行适当的变化。

五、不断总结经验，随时吸收有关能力研究的成果，以便更有效的培养学生的空间想象力

第七章

备课的工作内容包括学习教学大纲、钻研教材内容、阅读参考资料、了解分析学生的情况、确定具体恰当的教学方法、制定阶段的教学计划和设计每一课时的教学方案等。

1、 备课的基本要求

（1）钻研教材和处理教材，具体解决如下问题：

1.弄清教材的基本要求 2.沟通知识联系，把握教材知识体系

3.确定重点、难点、关键 4.为学生提供思维训练的材料

5.备好习题，正确组织练习，解决下列几方面的问题

a.明确习题的目的要求 b.明确习题的重点 c.确定习题的解答方式 d.衡量习题的份量

（2）学习情况的了解和分析

1.了解、分析学生的认知结构

2.了解学生的思维状况和思维特点

3.确定课堂教学目的

4.选择和组织教学内容以及教学方法

教学计划的制定和教案的编写：

1.学期教学工作计划

2.单元教学计划

3.教案

课堂教学是信息交流的过程，教师将经过加工的信息，通过信息交流的渠道，向学生输出。学生则由信息的交流渠道输入信息，经过加工、贮存、变换，再由信息交流渠道输出处理过的信息。教师在接收到反馈信息后，通过及时调控，再输出信息，如此往复，形成了课堂教学中信息交流的过程。

数学课的类型和结构

1.讲新课——基本结构：复习、讲授、巩固、布置作业

2.巩固课：分练习课、复习课和讲评课

3.考查课

怎么上好课？评议课堂教学质量的原则：

1.教学目的明确，要求明确，并使之付诸实践

2.教学内容难易适度、安排紧凑

3.教学原则落实，方法适宜

4.突出重点，解决难点

5.充分发挥教师主导作用的同时，调动学生的积极性

6.传授知识的同时，注意发展学生智力

7.深入挖掘教材内在思想，既教书又育人

8.语言精练准确，板书规范、安排合理

（2）提高课堂教学质量的措施——正确处理以下关系

1.教师的主导作用和调动学生的积极性

2.掌握知识与培养能力

3.讲与练的关系：要精讲多练、讲练结合

4.新与旧的关系：要联新引旧、讲新带旧

5.深与浅的关系：由浅入深、从感性到理性、从具体到抽象、从个别到一般、深入浅出

6.多与少的关系：重点突出、抓住关键、解决难点、举一反三、由例及类

7.“活”与“死”的关系

8.理论与实际的关系

（3）在教学过程中，要层次分明、前后贯穿、结构严谨

（4）语言表达要求做到：.教育性：既教书又育人

1.启发性：能调动学生积极思维

2.科学性：准确、清楚、精练

3.针对性：适应学生年龄、教材内容和接受情绪

4.直观性：语言要生动、形象、有趣，浅显易懂、深入浅出

5.自控性：掌握语言品质、信息程序

6.反馈性：能及时得到学生的反映

（5）板书要有计划，布局要合理，要富有启发性；格式要规范化，字迹要清晰；主次要分明，便于观察、思考、记忆

（6）讲话要注意学生反应，及时调整教学内容和方法

3、数学课的教学方法

类型：讲授型、讨论研究型、自学型、发现型

要素：讲述、问题、讨论、联系、自学、发现、控制、结构化

（1）讲授型——是通过教师语言，向学生讲授知识，并促进学生认知能力发展的方法

应用讲授法时，应重视以下几个方面：

1.讲授的内容要有高度的科学性、思想性和系统性，要把握内容的逻辑结构，抓住重点和关键

2.讲授时，应以学生原有的认知结构为出发点，启发学生积极思维，教师要把自己提出问题、分析问题、解决问题的过程转化为学生的认识过程

3.讲授过程中，要善于创设问题情境，要善于设疑和解疑

4.讲授语言要准确、精练、清晰、生动，深入浅出，快慢适当

（2）讨论研究型——教师根据教学目的，提出问题，使学生在独立思考的基础上，相互讨论、研究，变个体学习为师生之间、学生之间的共同切磋探讨，从而使学生获得知识，发展认知能力的一种教学方法

讨论研究法的模式一般是：

1.由教师创设问题情境，提出问题

2.学生对所提问题进行独立思考，整理分析思路与解答方案

3.学生分小组或大组讨论研究，交流思维成果，对从不同角度提出的解答方案，就正误、繁简及构思的优劣进行争辩和探讨

4.教师对解答进行分析、概括、提炼和总结，对学生的积极思维，从量上加以孤立，从质上加以评价

优点：能改变学生消极被动的学习状态，促进师生之间、学生之间进行多向信息交流，形成生动活泼，主动学习的氛围，利于激励学生思维，产生智力的群体效应

不足：讨论的内容面小，不利于能力的全面训练和提高，此外，讨论研究法花费时间较多

（3）自学型——在教师指导下，学生独立学习获得知识，并促进认知能力发展的教学方法

在教师指导下的自学法，把教学的重点放在“学”上，其一般模式是：

1.教师提出问题，布置内容，列出提纲，引导自学

2.学生阅读内容，进行操练，从中发现问题

3.教师巡视，了解和掌握学生自学的进度和疑难所在，从学生各自的基础出发，进行个别指导

4.教师就深刻理解内容，突出关键，解决难点，小结规律方面进行精讲

5.学生运用知识，在较高层次水平上操练

重点：培养学生的自学能力，学会阅读教材和参考资料，学会独立思考，学会提出问题并主动探索解答，学会整理，小结归纳等

不足：基础差的学生较难适应，缺乏智力的相互激励，学习气氛较为沉闷

（4） 发现型——教师创设问题情境，引导学生通过独立思考，进行探索活动，自己“再发现”真理的方法

发现法的一般模式：

1.教师创设问题情境，提出要求解决或研究的问题，引发学生的认知冲突，激发探究的要求，明确发现的目标或中心

2.对所提的问题，提出解答的假设，指导学生思考的方向，选择各种解答问题的方案

3.协助学生证明假设，如有不同观点，可展开争辩讨论，使学生能运用自己已有的知识阐述自己的观点，提出论据和论证

4.教师对争论和证明作出总结，得出共同结论，及时反馈巩固，使学生建立新的认知结构

评价：学生参与知识的全过程，将有效地激发学生的学习兴趣，产生巨大的学习内驱力，通过发现学习，学生可以学会发现的探索方法，提高学生发现问题、分析问题的能力

课堂教学的辅助手段——语言和板书；模型和教具、幻灯片

三、数学教学中的考察与考试

命题的一般原则：

（1）明确考试的目的及不同类型考试的具体要求

（2）要根据教学大纲的基本要求来命题

（3）试题的难易程度要适当

（4）试题的份量要适当

（5）试题安排顺序最好由浅入深、由易到难、由简到繁

四、数学课外活动

目的：进一步培养学习优良、学习能力强的学生；小范围辅导学习成绩较差的学生

数学专题讲座

1.确定选题

2.编选内容，撰写讲义

3.讲课

数学竞赛辅导的直接目的是：要使学生通过素质和能力的提高而在竞赛中获胜，而要实现这一目标，教师在辅导中必须既重视技能（尤其是解题技能的扎实训练），又重视能力（特别是思维能力的提高）。基本形式：讲课、练习、评析和比赛

五、教学观摩

1、主要形式：（1）示范性的 （2）研究性的 （3）汇报性的（4）评优性的

2、功能： （1）导向功能 （2）诊断作用 （3）调整功能

3、能力： （1）评课能力 （2）观察能力 （3）运用能力

4、组织： （1）准备工作 （2）听课与评议