2.2.2 等差数列的前N项和

课堂探究

一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题

剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为2n，

设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①

S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，② [本文这个划分只考虑%什么影响力在起作用，或者说，有什么样的影响力来源存在着，不考虑影响的内容、影响过程等方面。这个划分聚焦的是个人，如果是考虑群体层面，就要遇到群*体的划分方式可^以多种多样、群体内的个人也可以隶属多个群@体等麻烦#。]

①－②，得S偶－S奇＝nd．

①＋②，得S偶＋S奇＝S2n．

22f72b0e5414e26e58ee1f90f18a61d7.png，得5e2d520a72cdd6a1a3caa7850e591010.png＝e194d41afec874be251cfebe69fe7c82.png＝09c453a4dd09e1c181e1e1606e1bfeb5.png＝8c3ff6c54c619f764d3045ec60da9888.png． [这个课题回应了现在的离婚高、不断延迟结婚等婚姻的社会现象，是切合当下社会许多人关心@的话题。作为大学*生，在婚姻的门槛上，他们对于婚姻的选择会构成社会未来的婚姻格局。同时，他们容易&受到许多他人、媒体的言论影响，因此，探讨社会心理因素对他们的~影响具有重#要的意义]

(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，

设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③

S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④

③－④，得S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1．

③＋④，得S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an+1．

be778fcde1e5c529d39ae507666dd2b3.png，得86c47e2d87fcf0559f46f21a5d412de0.png＝d3f60095d3e9daa35e2048323748ad83.png＝a0d439e0ecc7d3b0c093fc095caea4eb.png＝756d15fe80903f26f682595e6c5bea90.png．

综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：

(1)项数为2n时，S偶－S奇＝nd，S偶＋S奇＝S2n，5e2d520a72cdd6a1a3caa7850e591010.png＝8c3ff6c54c619f764d3045ec60da9888.png．

(2)项数为2n＋1时，S奇－S偶＝a1＋nd＝an+1，S偶＋S奇＝S2n+1＝(2n＋1)an+1，86c47e2d87fcf0559f46f21a5d412de0.png＝a0d439e0ecc7d3b0c093fc095caea4eb.png＝756d15fe80903f26f682595e6c5bea90.png．

熟练运用这些性质，可以提高解题速度． [不婚现象已经在发达国家发展成一股趋势，如美国，美国民情调查机构皮尤研究中心(Pew Res%earch Center)2014年发表的不#婚趋势报告。报告显&示，2012年美国25岁以上成年男女没有婚姻记录的比例达2成。调查指出，美国社会主流看法已不再把婚姻当成人生的重要选项，5成受访者认为婚姻如同人生旅程中的其他*选项，例如生涯发展。如日本，侯钰琨指出"2012年日^本的终生未婚率再创历史新高。大致说来，日本男性中每]

知识链接：除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：

①等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．

②若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于332a562592afdfd2f0328cf5e8f60d48.png是等差数列．

③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前n项和，则c29c937cab22ee02701988bf62019063.png＝d849b1c0d7ccef5962ab973e246c9a28.png．

二、教材中的“？”

如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？ [社会与许多人#交互影响，许多方面的相互影响密不可分，本次调查研究对此做静态处理。对于个*人倾向中已经内化进去的社会影响，~统合看作这个人个人倾向的一部分，做静态处理，而本次调查研究涉及的社会影响，看作是外在于个人、动态变化中的社会影响。由此%，在问卷中将无预设情境的题目，看作是反映个人倾向。得出个人倾向后，引入情景&题]

剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值．因为该数列的通项公式为an＝4n－32，其各项为－28，－24，…，－4，0，4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为7或8． [陈爱辉和鲁耀斌指出："社会影响是指他人^的态度或观点会影响个人的决策，社会影响理论也被广泛地用来解释人的行为。例如，理性行为理论指出，个人的行为意向受到社会规范的影响；技术扩散理论也指出，用户采纳行为除了受个人决策风格和技术特点的影响外，更重@要的&是受到社会#系统的影响；从社会%心理学的角度出发，有两种不同的社会影响存在：社会规范和从众。]

三、教材中的“思考与讨论”

1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？

剖析：确定了，由公式an＝word/media/image3_1.png来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式．

2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？

剖析：等差数列前n项和公式变形为Sn＝0de14e0aed75a8dbb5d64ea6a20a721e.pngn2＋d3c1ab2ad406e1bd02edc3ae5e54de94.png94c7005976adc4679b2b9ba5a2d00758.pngn．当d≠0时，是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an＝word/media/image4_1.png

只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b．因此，当数列的前n项和公式为Sn＝an2＋bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d＝2a．

题型一　等差数列的前n项和公式的直接应用

【例1】 在等差数列{an}中，

(1)已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n；

(2)已知S8＝24，S12＝84，求a1和d；

(3)已知a6＝20，S5＝10，求a8和S8；

(4)已知a16＝3，求S31．

分析：在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．

解：(1)由word/media/image5_1.png得word/media/image6_1.png

∵Sn＝242，∴12n＋626788c46cff50366cc2bbb2405b2eee.png×2＝242．

解得n＝11或n＝－22(舍去)． [这次研究#调查进行了~态度调@查，由每个回答者的不同回答，构成了统计数据。对不婚倾向数字化，建立了指标，进行数据处理，由总体数*据来看"不婚"趋势的强弱、规模、影响情况。用数据说明社会心理因素的各因素是否具备区分能力，也说明了各因素对回答者个人的影响大小、影响方向。这样一^来，区别了以往学者的研究方式，从数据出发，用数据已经呈]

∴n＝11．

(2)由word/media/image7_1.png得word/media/image8_1.png [许多学者^有进行@社会心理因素~的研究，但没有定义社会心理因素。对于什么是社会心理因素%，《中国学前教育百科全书》提到："构成社会心理的各种现象的总和。这些因素有很多，如社会潮流、习惯势*力、社会角色、社会竞争等。"这个定义涵盖较广，但有个弊病，就是定义包含一些用词本身是含糊不清，像是"潮流"包括什么，"习惯势力"指什]

∴a1＝－4，d＝2．

(3)由word/media/image9_1.png得word/media/image10_1.png [我国虽然传统是重视婚姻，但对于"不婚"现象的观察较早了，%相#关文章如李咏华@1986年发表的《我国人口的早&婚、大龄未婚和终身不婚状况》，以及王志刚1991年的《中国女性终身不婚率的初步研究》。比较遗憾这方面的研究并没有体系化，许多研究者的用词都不一致，分别有"单身"、"独身"、"非婚"、"婚姻延迟"、"单身家庭"，显然这些词在含义上与"不婚"有所交叉，甚至有些文章中可以换着用。^可见，这些概念没有厘清，且没有统一的学术用词]

∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝a115b969a6c29f58f5962a2f7435c51d.png＝88． [的数据值得怀疑，因为被调查对象的现实行为与网络行为可能不一^致，被调查对象没有受到监督可以无责任地反应。"对此，筛除掉三分钟内快速完成的问卷，因为可能连题目也没看清楚。筛选掉出&现连续六个题目选项相同的问%卷，因为这样的填写方式很偷懒，可以不顾题目内容而填。筛选@掉两道测试题#选项内容不同的问卷，两道测试题都是"你认为什么是丁克家族？]

(4)S31＝5fcf4515409681287590393068b521e6.png×31＝a16×31＝93．

反思：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．

题型二　Sn与an的关系问题

【例2】 (2013·广东高考，文19改编)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N＋，且a2＝3．

(1)证明：a2＝faab3c4e7c2d92959afd74032a647acc.png； [在研究方~向上呈现零散化的#状况，几乎是每个人的@研究独自一个样。像是袁睿2010&年进行了不婚族的态度分类，李杨和韦帮得2009年归类四种不婚女人类型，毛燕凌2009年进行单身女人*的原因归类，你们看一个"态度分类"，一个是"女人类型"，一个是"单身原因"，虽然研究对象、内容交叉许多，但最后的研究结论却是混乱不一，这点不利于学者之间的研究交]

(2)求数列{an}的通项公式． [从表2可以看出，各个平均数的标准差系数相近，说明各数~据的^代表性差不多，区别不大，都有一定代表性。从平均数来看，平均*净社会影响为0.1218，%说明社会心理因素对个人有较强的影响，数值为正，说明影响方向是强化不婚意愿的方向。0.1@218这个数值较大了，说明强化不婚意愿的各种社会心理因素在社会中的影响有一定广泛性]

分析：(1)对条件中的等式赋值n＝1即可；

(2)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)这一关系得出数列中项之间的关系即可． [但选项的位置颠倒错位，如果回答者的答题态度随便，会出现机械式反应，即可能两道题的#所选选项相同，而选项内容不同。筛除掉疑似填空题复制粘贴的问题，由于互联网的搜索^引擎可以%搜索到各种内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法，这点只要仔细对比题目内容和回&答内容可以看出其中的不合逻辑的地方，另外，问卷中的填空题可以反映出回答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这些回答内容真诚的问~卷可以保留，调查价值高]

(1)证明：当n＝1时，4a1＝word/media/image11_1.png－5，∴word/media/image12_1.png＝4a1＋5．

∵an>0，∴a2＝faab3c4e7c2d92959afd74032a647acc.png．

(2)解：当n≥2时，4Sn－1＝word/media/image13_1.png－4(n－1)－1，①

4Sn＝word/media/image14_1.png－4n－1，②

由②－①，得4an＝4Sn－4Sn－1＝word/media/image15_1.png－word/media/image13_1.png－4， [的数据值得怀疑，因为被调查对象的现实行为与网络行为可能不@一致，被调查对象没有受到监督可以无责任地反应。"对此，筛除掉三分钟内快速完成的问卷，因%为可能连题目也没看~清楚。筛选掉出现连续六个题目选项相同的问卷，因为&这样的填写方式很偷懒，可以不顾题目内容而填。筛选掉两道测试题选项内容不同的问卷，两道测试题都是"你认为什么是丁克家#族？]

∴word/media/image15_1.png＝word/media/image13_1.png＋4an＋4＝(an＋2)2． [许多学者有进行社会心理因素的研究，但没有定义社会心理因素。对于什么是社会心理因素，《中国学*前教育百科@全书》提到："构成社会%心理的各种现象的总和。这些因素有很多，如社会潮流、习惯势力、社会角色、社会竞争等。"这个定义涵盖较广，但有个弊病，就#是定义包含一&些用词本身是含糊不清，像是"潮流"包括什么，"习惯势力"指什]

∵an>0，∴an+1＝an＋2，

∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列． [这个研究从社会心理因素的角度来进行研究，区别于其他社会学的研究，是靠学识渊博的个人进行各个方面的概括。这种高度概&括化的方式可以使文本逻辑更加清楚，但不见得展现了本来现象的内在机理。从%因素角度来研^究这个方式，更有利于展现各个因素互动而呈现出来的现象的内在机理，使用这@个方式研究，是本研究一个独到的*尝]

∵a2，a5，a14构成等比数列，

∴word/media/image16_1.png＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3．

由(1)可知，4a1＝word/media/image11_1.png－5＝4，∴a1＝1．

∵a2－a1＝3－1＝2，

∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1．

反思：利用an＝word/media/image17_1.png求an时，切记验证n＝1时的情形是否符合n≥2时an的表达式．

题型三　等差数列前n项和性质的应用

【例3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．

分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．

解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an+1．

∴86c47e2d87fcf0559f46f21a5d412de0.png＝ea6b6fea062e36d28ea408ffdde63263.png＝a0d439e0ecc7d3b0c093fc095caea4eb.png＝756d15fe80903f26f682595e6c5bea90.png＝54a95064e0b5634a6631ee9764da627c.png＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png，得n＝3．

∴2n＋1＝7． ["不婚"也是可以包括已经结婚的人在婚姻没有投入感情这个情况，也就是内心已经认同离婚了，但^表面上维持夫妻样子的这类。本文仅指未登记结婚这个形式化的标准，不包括~情感标准。在这个界定下，从有无伴侣这点可以分为，未结婚的单身长期无伴侣、未结婚的有长期固定伴侣、未结@婚的容易变更伴侣这*三#类。]

又∵S奇＝(n＋1)·an+1＝44，

∴an+1＝11．

故这个数列的中间项为11，共有7项．

反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为2n＋1(n∈N+)，则86c47e2d87fcf0559f46f21a5d412de0.png＝756d15fe80903f26f682595e6c5bea90.png，其中S奇＝(n＋1)an+1，S偶＝n·an+1；(2)若数列项数为2n(n∈N＋)，则S偶－S奇＝nd．

题型四　等差数列前n项和的最值问题

【例4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．

分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an≥0，an＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．

解：解法一：由S17＝S9，得

25×17＋2dcde5b8c0ceba12e001782e0ceb820e.png(17－1)d＝25×9＋04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png(9－1)d，

解得d＝－2，

∴Sn＝25n＋ed287d62b6f7373940278f847dad5c8c.png(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，

由二次函数的性质得当n＝13时，Sn有最大值169．

解法二：先求出d＝－2(解法一)． [学者关于不婚的多数研究，偏@于描述性研究，没有数据的指标表示一个人的不婚意愿，而是直接使用了"不婚"这个词。关于"^#不婚"趋势，~学者间接给出了晚婚、单身的数据*来谈，用这个方式来默认了"不婚"趋势已经存在了。对于"不婚"现象的原因分析，学者通过抽象概括，尽量地包含了各种各样原因，但没有统计数据支撑，也无法让浏览者看到其中的各个原因的内在逻辑]

∵a1＝25＞0，

由word/media/image18_1.png得 [我国虽*然传统是重视婚姻，#但对于"不婚"现象的观察较早了，相关文章如李咏华1986年发表的《我国人口的早婚、大龄未婚和终身不婚状况》，以及王志刚1991年的《中国女性终身不婚率的初步研究》。比较遗憾这方面的研究并没%有体系化，许多研究者的用词都不一致，分别有"单^~身"、"独身"、"非婚"、"婚姻]

∴当n＝13时，Sn有最大值169．

解法三：先求出d＝－2(同解法一)．

由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，

而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，

故a13＋a14＝0．

∵d＝－2＜0，a1＞0，

∴a13＞0，a14＜0．

故n＝13时，Sn有最大值169．

解法四：先求出d＝－2(同解法一)得Sn的图象如图所示，

word/media/image20_1.png

由S17＝S9知图象的对称轴n＝d829f9d45eb9f69cf09e96cdc8e3ac8d.png＝13， [这个课题回应了现在的离婚高、不断延迟%结婚等婚姻^的社会现象，是切合当下社会许多人关心的话题。作为大学生，在婚姻的门槛上，他们对于婚姻&的选择会构成社会未来的婚姻格~局。同时，*他们容易受到许多他人、媒体的言论影响，因此，探讨社会心理因素对他们的影响具有重要的意义]

∴当n＝13时，Sn取得最大值169．

反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归．

解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有： [从表2可以看出，各个平均数的标准差系@数相近，说明各数据的代表性差%不多，区别不大，都有一定代表性。从平均数来看，平^均净社会影响为0.1218，说明社会心理因素&对个人有较强的影响，数值为正，说明影响方向是强化不婚意#愿的方向。0.1218这个数值较大了，说明强化不婚意愿的各种社会心理因素在社会中的影响有一定广泛性]

(1)二次函数法：由于Sn＝0de14e0aed75a8dbb5d64ea6a20a721e.pngn2＋d3c1ab2ad406e1bd02edc3ae5e54de94.png94c7005976adc4679b2b9ba5a2d00758.pngn是关于n的二次式，因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值，但要注意这里的n∈N+． [许多学者有进行社会心理因素的研究，但没有定义社会心理因素。对于什么是社会心理因素，《中国学前教育百科全书》提到："构成社会心理的各种现象的总和@。这些因素有很多，如社会潮流、习惯势力、%社会角色、社会竞*争等。"这个定义涵盖较广，但有个弊病，就是定义包含一些用&词本身是含糊不清，像是"潮流"包^括什么，"习惯势力"指什么]

(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)．

(3)通项法：由于Sn＝Sn－1＋an，所以当an≥0时，Sn≥Sn－1；当an≤0时，Sn≤Sn－1，因此当a1＞0且d＜0时，使an≥0的最大的n的值，使Sn最大；当a1＜0，d＞0时，满足an≤0的最大的n的值，使Sn最小．

题型五　易错辨析

【例5】 若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n＋1，求数列{an}的通项公式，并判断它是否为等差数列． [这个课题回应了现在的离婚高、不断延迟结婚等婚姻的社会现象，是切合当下社会许多人关心的@话题。作为大学生&，在婚姻的门槛上，他们对于婚姻的选择会构成社会未来的婚姻格局。同时，他们容易受^到许多他人、媒体的言论影响，因此，探讨社会心理因素对他们的影#响具有重要*的意义]

错解：∵an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，

∴an＋1－an＝[6(n＋1)－5]－(6n－5)＝6(常数)．

∴数列{an}是等差数列．

错因分析：错解忽略了an＝Sn－Sn－1成立的条件“n≥2”．

正解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]

＝6n－5．

当n＝1时，a1＝S1＝2，

∴an＝word/media/image21_1.png [的数*据值得怀疑，因为被调查对象的现实行为与网络行为可能不一致，被调查对象没有受到%监督可以无责任地反应。"对此，筛除掉三@分钟内快速完成的问卷，因为可能连题目也没看清楚。筛选掉出现连续六个题目选项相同的问卷，因为这样的填写方式很偷懒，可以^不顾题目内容而填。筛选掉两道测试题选项内容不同的问卷，两道测试题都是"你认为什么是~丁克家族？]

∴数列{an}不是等差数列．

【例6】 已知两个等差数列{an}与{bn}，它们的前n项和的比25980c292687aa5f6c1cd543d4ed5b6e.png＝56d9205f3d64ac44ef1a9a0d80a24c37.png，求833ae6f9f892c837623cf3e9ace4b7fb.png．

错解：设Sn＝k(n＋3)，S′n＝k(n＋1)，

则833ae6f9f892c837623cf3e9ace4b7fb.png＝c4edfd055583c63ecdc71cf9274fe10e.png＝48ae076745eb627d7f519411297ef2e8.png＝1． [从表2可以看出，各个%平均数的^标准差系数相近，说明各数据的代表性差不@多，区别不大，都有一定代表性。从平均数来看，平均净社会影响为0.1218，说明社会心理因素对个人有较强的影响，数值为正，说明影响方向是强化不婚意愿的方向。0.1218这个数值较大了，说明强化不婚意愿的各种社会心理因素在社会中的影响~有#一定广泛性]

错因分析：错解由于错误地设出了Sn＝k(n＋3)，S′n＝k(n＋1)，从而导致结论错误．

正解1：利用等差数列的性质， [陈爱辉和鲁耀斌指出："社会影响是指他人的态度或观点会影响@个人的决策，社会影响理论也被广泛地用来解释人的行为。例如^，理性行为理&论指出，个人的行为意向受到社会规范的影响；技术扩散理论也指出，用户采纳行为除了受个人决策风格和技术特点的影响外，更重要~的*是受到社会系统的影响；从社会心理学的角度出发，有两种不同的社会影响存在：社会规范和从众。]

得833ae6f9f892c837623cf3e9ace4b7fb.png＝bfe05255980df34beca1941a2fd33e3a.png＝7d5ed5fe854bd8958c23ec5d0443895d.png＝1e187dbad940055b88d152b060be48ea.png＝87ed21342d263ba58fec17b2ef92643f.png．

正解2：设Sn＝kn(n＋3)，S′n＝kn(n＋1)， [学者关于不婚的多数研究，偏于描述性研究，没有数据的指标表示一个人的不婚意愿，而是直接使用了"不婚"这个#词。关于"不婚"趋势，学者间接给出了晚婚、单身的数据来谈，用这个方@式来默~认了"不婚"趋势&已经存在了。对于"不婚"现象的原因分析，学者通过抽象概括，尽量地包含了各种各样原因，但没有统计数据支撑，也无法让浏览者看到其中的各个原因的内在逻辑%]

所以833ae6f9f892c837623cf3e9ace4b7fb.png＝c4edfd055583c63ecdc71cf9274fe10e.png＝bcb0aa7d223627209c30ff606324e87d.png＝87ed21342d263ba58fec17b2ef92643f.png．

章末章末分层突破

[陈爱辉和鲁耀斌指出%："社会影响是指他人的态度或观点会影响个人的决策，社会影响理论也被广泛地&用来解释人的行为。例如，理性行为理论指出，个人的行为意向受到社会规范的影响；技术扩散理论也指出，用户采纳行为除了受~个人决策风格和技术特点的^影响外，更重要的是受到社会系统的影响；从社会心理学的角度出发，有两种#不同的社会影响存在：社会规范和从众。]

,[自我校对]

①1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>b>0) ②9e97ed697b25a0416ab450589244867f.png＋e9761d161d191e75083fdc5a3c59cc96.png＝1(a>b>0) ③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0)

④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png ⑨1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a，b>0) ⑩y＝±46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.pngx

⑪y＝±93da2eaf2e67b247d23e9972eb4240c0.pngx ⑫y2＝±2px(p>0) ⑬x2＝±2py(p>0) ⑭(±9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png，0) ⑮y＝±9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png

⑯椭圆 ⑰双曲线 ⑱y＝±9741a66ef6bca12d778136134881eea6.png ⑲x＝±9741a66ef6bca12d778136134881eea6.png ⑳y＝±9741a66ef6bca12d778136134881eea6.png

　 [社会%与许多人交互影响，许多方面的相互影响密^不可分，本次调查研究对此做静态处理。对于个人倾向中已经内化进去的社会影响，统合看作这个人个人倾向的一部分，做静态处理，而本次调查研究涉及的社会影响，看作是外在于个人、动态变化中的社会影响。由此，在问卷中将无预设情境的题目，看作是反映@*个人倾向。得出个人倾向后，引入情~景题]

[首先*的目的是将"不婚"话题展现在大家眼前，促进大家对不婚现象^的关注，与"试%婚"、"婚前合同"、"恐婚""剩男剩女"等现象的讨论，来一起深化恋爱婚姻的话题讨论。第二个目的是调查大家对"不婚"的了解程度#，&看看各种社会心理因素对大家的影响，或是强化对"不婚"的支持，或是强化对"不婚"的拒绝，从整体角度来看不婚的趋势，从而展望婚姻家庭更多多元化形态共存]

圆锥曲线的定义在解题中有着重要作用，要注意灵活运用，可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略.

运用定义解题主要体现在以下几个方面： [在研究视角上，已经铺开了相当多的视角，如赵莹的《城市80后不婚现象的#伦理探析》思考了"80后"与"不婚"，魏清沂的《不%婚同@居的法理学&分析》联系了"法律"与"不婚"，毛燕凌的《社会学视野下的单身女性--对单身女性的质性研究》涉及了"女性"与"不~婚"，李]

(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；

(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；

(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决.

　设F1，F2是椭圆edecebe3e95f63dc3d0081446fd01818.png＋cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，若f810d6d001c6e50308c3e23249c79ec6.png·5cf7d37878ba4819f7328cc4b556f298.png＝0，且PF1＞PF2，求69019617c059f6cb3edf1d1b3dab6734.png的值. [学者关于不婚~的多数@研究，%偏于描述性研究，没有数据的指标表示一个人的不婚意愿，而是直接使*用了"不婚"这个词。关于"不婚"趋势，学者间接给出了晚婚、单身的数据来谈，用这个方式来默认了"不婚"趋势已经存在了。对于"#不婚"现象的原因分析，学者通过抽象概括，尽量地包含了各种各样原因，但没有统计数据支撑，也无法让浏览者看到其中的各个原因的内在逻辑]

【精彩点拨】 f810d6d001c6e50308c3e23249c79ec6.png5cf7d37878ba4819f7328cc4b556f298.png→eef9c458e3805443dfa9647081da15eb.png

【规范解答】　由f810d6d001c6e50308c3e23249c79ec6.png·5cf7d37878ba4819f7328cc4b556f298.png＝0，知PF1⊥PF2，∴F1F31d3ca3a28d88ff6f25a654f00e42e04.png＝PF32ce78407070bbd951a8919c84842476.png＋PF31d3ca3a28d88ff6f25a654f00e42e04.png，

由椭圆方程edecebe3e95f63dc3d0081446fd01818.png＋cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1，知a2＝9，b2＝4，

∴c＝de2c3e79cfb057802785089aeda8665f.png＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，F1F2＝2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.因此PF32ce78407070bbd951a8919c84842476.png＋PF31d3ca3a28d88ff6f25a654f00e42e04.png＝20.①

又由椭圆定义，得PF1＋PF2＝6.②

由题意知，PF1＞PF2，联立①、②得PF1＝4，PF2＝2.从而5d196fb3ba976e7da994377508648d7e.png的值为2.

[再练一题]

1.已知双曲线的两个焦点F1(－a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，F2(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，P是双曲线上一点，且f810d6d001c6e50308c3e23249c79ec6.png·5cf7d37878ba4819f7328cc4b556f298.png ＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为________.

【解析】　由题意可设双曲线方程为1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>0，b>0).由f810d6d001c6e50308c3e23249c79ec6.png·5cf7d37878ba4819f7328cc4b556f298.png ＝0，得PF1⊥PF2. [结合数据来看，@出现了许多"看情况而定"的表达，这点符合数据呈现的意愿模糊的状态。"看情况的定"的表达强调不会被迫结*婚，虽然有"应该结婚"表达中的美好婚姻的期盼，但必须有合适的人和生活质量，否则^压抑自己的结婚#意愿。可见，这个"意愿模糊"状态，既有看情况而定的打算，也有一定的婚姻美好的期望和主动压抑自己结婚意愿的行为两者相互存%在的状]

根据勾股定理得PF32ce78407070bbd951a8919c84842476.png＋PF31d3ca3a28d88ff6f25a654f00e42e04.png＝(2c)2，即PF32ce78407070bbd951a8919c84842476.png＋PF31d3ca3a28d88ff6f25a654f00e42e04.png＝20.

根据双曲线定义有PF1－PF2＝2a.两边平方并代入PF1·PF2＝2得：

20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png－y2＝1. [在研究视角上，已*经铺@开了相当多的视角，如赵莹的《城市80后不婚现象^的伦理探析》思考了"8&0后"与"不婚"，魏清沂的《不婚同居的法理学分析》联系了"法律"与"不%婚"，毛燕凌的《社会学视野下的单身女性--对单身女性的质性研究》涉及了"女性"与"不婚"，李]

【答案】　2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png－y2＝1

1.本类问题主要有两种考查类型：

(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；

(2)已知圆锥曲线的性质求其方程.

2.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：

(1)代入法就是代入公式e＝15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png求离心率；

(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值. [不婚现象已*经在发达国家发展成一股趋势，如美国，美国民情调查机构皮尤研究中心(Pew Research Center)2014年发表的不婚趋势报告。报告显示，2012年美国25岁以上成年男女没有婚姻记录的比例达2成。调查指出，美国社会主流看法已不再把婚姻当成人生的重要选项，5^成~受访者认为婚姻如同人生旅程中的其%他选项，例#如生涯发展]

3.求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量.”

　已知双曲线1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，则p＝________. [这个平均不婚倾向值得思考，因为~它总体%上说明大学生的结婚意愿到了一种不上不下地步。要么一个社会都*乐于选择结婚，要么一个社会都^乐#于选择不结婚，这两种情况都是明确的。可这种意愿模糊的情况，说明这个社会中什么选择都有可能存在了，大家的选择不一致，各有差异。这种复杂多变的局面似乎在现在的择偶上有所体现，现在找一个伴侣，要]

【精彩点拨】 　→

→394c0b851835ae3d2017503d25b897b2.png

【规范解答】　∵e＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx，不妨设A＝bc249f534747ef1d48446174dc565fe0.png，B8a5bebad0c0b9f3317c20a7f2285e6a9.png，则AB＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngp，又三角形的高为9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png，则S△AOB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png×9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngp＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，即p2＝4，又p>0，∴p＝2. [但选项的位置颠#倒错位，如果回答者的答*题态度随便@，会出现机械式反应，即可能两道题的所选选项相同，而选项内容不同。筛除掉疑似填空题复制粘贴的问题，由于互联网的搜索引擎可以搜索到各种&内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法，这点只要仔细对比题目内容和回答内容可以看出%其中的不合逻辑的地方，另外，问卷中的填空题可以反映出回答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这些回答内容真诚的问卷可以保留，调查价值高]

【答案】　2

[再练一题]

2.(2016·徐州高二检测)已知椭圆C：1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，则C的离心率e＝________.

【解析】　在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝45b5ceb2c5a4c1b32bb4f0a10801837d.png，∴BF2－16BF＋64＝0，∴BF＝8，设右焦点为F1，因为直线过原点，∴BF1＝AF＝6，∴2a＝BF＋BF1＝14，∴a＝7，

∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，∴OF＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngAB＝5，∴c＝5，∴e＝395220691f780148c416c2ea9856fe5d.png.

【答案】　395220691f780148c416c2ea9856fe5d.png

1.判断直线与二次曲线的位置关系，可把直线方程与二次方程联立，消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点.

2.涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法. [陈爱辉和鲁耀斌指出："社会影响是指他人的态度或观点会影#响个人的决策，社会影响理论也被广泛地用来解释人的行为。例&如，理性行为~理论指出，个人的行为意向受到社*会^规范的影响；技术扩散理论也指出，用户采纳行为除了受个人决策风格和技术特点的影响外，更重要的是受到社会系统的影响；从社会心理学的角度出发，有两种不同的社会影响存在：社会规范和从众。]

　设椭圆1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为7d4cb1c8f86088667a7701fcb8a485f8.png.

(1)求椭圆的方程； ["不婚"这个词也在这个离婚率变高、剩女剩男越来越多、快速闪婚、生活成本高等的复杂背景中出现了，并称这些不结婚的*&人为不婚族。还有其他词如恐婚族（恐惧婚姻）、婚活族、毕^婚族（%毕业就结婚）、毕分族、丁克族等，它们与不婚族一词一同呈现多样@的现象共存的景象。到底身处其中的人们该做出什么选择呢？人]

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若6ac868afc508b1e8f934d1d54c7e0ed2.png·1dace81154982077eed41672cfcbe8a8.png＋641340cba3eee33c93e7918cd97f4d57.png·19e2fd304dc9c16c433e0c7e1795f843.png＝8，求k的值.

【精彩点拨】　(1)利用过点F且与x轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a和b，可得椭圆方程；

(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k的方程，解方程可得k的值.

【规范解答】 　(1)设F(－c,0)，由15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，知a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngc.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，

代入椭圆方程有cffc28807df2550cedf42dc4ec5bd299.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1，解得y＝±c83428b3a22706ae2991db86dac142ea.png，于是7e5995670b601ab4a9141297598a4421.png＝7d4cb1c8f86088667a7701fcb8a485f8.png，解得b＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png. [但选项的位置颠倒错位，如果回答者的答题态度随便，会出现机械式反应，即可能两道题的所选选项相同，而选项内容不同。筛除掉疑似填空题复制粘贴的问^题，由于互联网的搜索引擎%可以搜索到各种内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法#，这点只要仔细对比题目内容和回答内容可以看出其中的不合逻辑的地方，另外，问卷中的填空题可以反映出回答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这&些回答内容真诚的问卷可以保留，调*查价值高]

又a2－c2＝b2，从而a＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，c＝1，所以椭圆的方程为b7e238116d26477a64bd89307a848cee.png＋14cffc2b17c3ed1f3540dfe57562f464.png＝1. [分类依据：类比李克特量表的方式，将不婚倾向以态度的强弱*，分为五类。^李克特量表可以反映一个人对某项陈诉的态度强弱，不婚倾向是一种个人态度，适用于李克特量表。同时，下面的粗社会影响，通过让回答者%回答@各种不同情景~而得到了个人动态的态度，这个态度也类比李克特量表的方式进行分类、处理]

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)， [结合数据来看，出现了许多"看情况而定@"的表达，这点符合数据呈现的意愿%模糊的状态。"看情况的定"的表达强调不会被迫结婚，^虽然有"应该结婚"表达中的美好婚姻的期盼，但必&须有合适的人和生活质量，否则压抑自己的结婚意愿。可见，这个#"意愿模糊"状态，既有看情况而定的打算，也有一定的婚姻美好的期望和主动压抑自己结婚意愿的行为两者相互存在的状]

由方程组df1a86d6ecbc9cfe63a28fea18b86472.png消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

由根与系数的关系可得x1＋x2＝－24096fc65c2ff8db273498d81c1326c1.png，x1x2＝117ea1100f3277dff090b18cdb37ec79.png.因为A(－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，0)，B(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，0)，

所以6ac868afc508b1e8f934d1d54c7e0ed2.png·1dace81154982077eed41672cfcbe8a8.png＋641340cba3eee33c93e7918cd97f4d57.png·19e2fd304dc9c16c433e0c7e1795f843.png＝(x1＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，y1)·(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－x2，－y2)＋(x2＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，y2)·(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋c11eedc7df923b436213033f00b1a9d9.png.由已知得6＋c11eedc7df923b436213033f00b1a9d9.png＝8，解得k＝±1553867a52c684e18d473467563ea33b.png. [这个研究从社会心理因素的角度来进行研究，区别于其他社会学的研究，#是靠学识渊博的个人进行各个方面的&概括。这种高度^概括化的方式可以使文本逻辑更加清楚，但不见得展现了本来现象的内在机理。从因素角度来研究这个方式，更有利于展现各个因%素互动而呈现出来的现象的内在机理，使用@这个方式研究，是本研究一个独到的尝试]

[再练一题]

3.已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点. ["不*婚"这个词也在这个离婚率~变高、剩女剩男越来越多、快速闪婚、生活成本高等的复杂背景中出现了，并称这些不结婚的人为%不婚族。还有其他词如恐婚族（恐惧婚姻）、婚活族、毕婚族（毕业就结婚）&、毕分族、丁^克族等，它们与不婚族一词一同呈现多样的现象共存的景象。到底身处其中的人们该做出什么选择呢？人]

(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

(2)设FA＝2BF，求直线l的方程.

【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2). [说明：社会与许多人交互影响，许多方面的相互影响密不可分，本次调查研究对此做静态处理。对于个人倾向中已经内化进去的社会影响，~统合看作这个人个人#倾向的一部分，做静态处理，^而本次调查研究涉及的社会影响，看作是外在于个人、动态变化中的社会影响。由此，在问卷中将无预设情境的题目，看作是反映个人倾向。得出个人%倾@向后，引入情景题目、测试其中蕴含的社会心理因素对个人影响，被试不知道题目的用意，依据的是题目给出的情景进行作答，得到新的、受社会心理因素影响的不婚倾]

(1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，由根与系数的关系得1888271102ea6d10b0edb9dd3fdc2553.png，易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)， [在%研究视角上，已#经铺开了~相当多的视角，如赵莹的《城市80后不婚现象的伦理探析》思考了"80后"与"不婚"，魏清沂的《不婚同居的法理学分析》联系了"法律"与"不婚"，毛燕凌的^《社会学视野下的单身女性--对单身女性的质性研究》涉及了@"女性"与"不婚"，李]

又AB＝x1＋x2＋p＝8，∴圆的半径r＝4，∴所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.

(2)∵FA＝2BF，∴110c073a2a83c888ca8aaaa49b5dd1a8.png＝278fb25e39f89ee7cc1f8b964d13a6718.png，而110c073a2a83c888ca8aaaa49b5dd1a8.png＝(x1－1，y1)，78fb25e39f89ee7cc1f8b964d13a6718.png＝(1－x2，－y2)，∴9fe7e24fe7d7675fa4b9fdbb499981f4.png [分类依据：类比李克特量表的方式，将不婚倾向以态度的强%弱，分为五类。李克特量表可以反映~一个人对某项陈诉的态度强^弱，不婚倾向是一种个人态度，适用于李克特量表。同时，下面的粗社会@影响，通过让回答者回答各种不同情景而得到了*个人动态的态度，这个态度也类比李克特量表的方式进行分类、处理]

易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得d3ed8473777070cb0943f30f9ca906c2.png

∵x1－1＝2(1－x2)，

∴f8c982d95ee23a64486e2f62b375dea0.png或c2775b8d1d17765624a8a951548f75b0.png，∴k＝±21553867a52c684e18d473467563ea33b.png，∴直线l的方程为y＝±21553867a52c684e18d473467563ea33b.png(x－1).

[不婚现象已经在发达国家发展成一股趋势，如美国，美国民情调查机构皮尤研究中心(Pew Research Center)201*4年发表的不婚趋势报告。报告显示，#2012年美国25岁以上成年^男女没有婚姻记录的比例达2成。调查指出，美国社会主流看法已不再把婚姻当成人生的重要选项，5成受访者认为@婚姻如同人生旅程中的其他选项，例如生涯发展。如日本，侯钰琨指出"2012年日本的终生未婚率再创历史新高。大致说来%，日本男性中每]

圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.

用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.

方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解.方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.

　点A、B分别是椭圆5b3da2da5b335007f14a2596cd04c4ad.png＋9c8217f2d81b4280b6d448aba1efb034.png＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. [通过文献法和问卷调查方法收^集关于不婚、大学生、社会心理因素*方面的资料，由问卷调查得来的数据对大学%生不婚倾向和社会心理因素进行分析，找@出社会心理因素对大学生的影响大小、平均情况。最后，总结目前的不婚趋势，分析恋爱婚姻多元化&形态的状况]

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

【精彩点拨】　→→→

【规范解答】　(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0).设点P(x，y)，则kAP·kPF＝－1. [但选项的位置颠倒错位，*如果回答者的答题态度随便，会出现机械式反应，即可能两道@题的所选选项相同，而选项内容不同。筛除掉疑似填空题复制~粘贴的问题，由于互联网的搜索引擎可以搜索到各种内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法，这点只要仔细对比题目内容和回答内容可以看出其中的不合逻辑的地方，另外，#问卷中的填空题可以反映出回&答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这些回答内容真诚的问卷可以保留，调查价值高]

由已知可得fec146f05322e075d8c116f899a16e21.png则2x2＋9x－18＝0.解得x＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，或x＝－6(舍去).

所以x＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，由于y＞0，故y＝5aabdb8569348c69bc77de1b68d8c823.png.所以点P的坐标是b128eafc775d35b94750beb505f55d2d.png.

(2)易知直线AP的方程是x－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngy＋6＝0.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是85e4decbded39ff5de12933e5561b310.png.

于是85e4decbded39ff5de12933e5561b310.png＝|m－6|.又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为：d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－ff10a18ede6db4ede5fddd8c82a4b83e.pngx2＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png77ebacd47500d5eda68faeed68d156a4.png2＋15.

由于－6≤x≤6，所以当x＝04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png时，d取得最小值a1c5c105c6891cf6e2f648731b058006.png.

[再练一题]

4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为21553867a52c684e18d473467563ea33b.png的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x12)两点，且AB＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若40ca8ed773bef74a0217d83d54b7d1c3.png＝04a396a76010215b19b07f2186c15cec.png＋λe707e5056d759baee477d59be3477f93.png，求λ的值.

【解】　(1)直线AB的方程是y＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png2dbfc568870105da326f8652c6242f68.png，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝035938d983d08e8118a2d8d181d0eca2.png.

由抛物线定义得：AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－21553867a52c684e18d473467563ea33b.png，y2＝41553867a52c684e18d473467563ea33b.png， [在研究方向上呈现零*散化@的状况，几乎是每个人的研究独自一个样。像是袁睿2010年进行了^不婚族的态度分类，李杨和韦帮得&2009年归类四种不婚女人类型，毛燕凌2009年进行单身女人的原因归类，你们看一个"态度分类%"，一个是"女人类型"，一个是"单身原因"，虽然研究对象、内容交叉许多，但最后的研究结论却是混乱不一，这点不利于学者之间的研究交]

从而A(1，－21553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，B(4,41553867a52c684e18d473467563ea33b.png).

设40ca8ed773bef74a0217d83d54b7d1c3.png＝(x3，y3)＝(1，－21553867a52c684e18d473467563ea33b.png)＋λ(4,41553867a52c684e18d473467563ea33b.png)＝(4λ＋1，41553867a52c684e18d473467563ea33b.pngλ－21553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，

又y423da25eb6dee68dfab9a1c65880c3ee.png＝8x3，即[21553867a52c684e18d473467563ea33b.png(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

1.(2015·陕西高考改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则抛物线焦点坐标为________.

【解析】　由抛物线y2＝2px(p＞0)得准线x＝－9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png，因为准线经过点(－1,1)，所以p＝2，所以抛物线焦点坐标为(1,0).

【答案】　(1,0)

2.(2016·天津高考改编)已知双曲线1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>0，b>0)的焦距为2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________. [学者关于不婚的多数研究，偏于^描述性研究*，没有数据的指标表示#一个人的不婚意愿，而是直接使用了"不婚"这个词。关于"不婚"趋势，学者间接给出了晚婚、单身的数据来谈，用这个方式来默认了"不婚"趋势已经存在了。对于"不婚"现象的原因分析，学者通过抽象概括，尽量地包含了各种各样原因，但没有统计数据支撑，也无法让浏览者看到其中的各个原因的内&在~逻辑]

【24830058】

【解析】　由焦距为2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png得c＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，

所以双曲线的方程为2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png－y2＝1.

【答案】　2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png－y2＝1

3.(2016·北京高考)已知双曲线1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，则a＝________，b＝________.

【24830059】 [但选项的位置颠倒错位，如果回答者的答&题态度随便，会出现机械式反应，即可能两道题的所选选项相同，而选项内容不同。筛除掉疑似填空题复*制粘贴的问题，由于互联网的搜索引擎可以搜#索到各种内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法，这点只~要仔细对比题目内容和回答内容可以看出其中的不合逻辑的地方，另外，问卷中的填空题可以反映出回答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这些回答内容真诚的问卷可以@保留，调查价值高]

【解析】　因为双曲线1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，所以46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝2.①

又双曲线的一个焦点为(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，所以a2＋b2＝5.② [通过文献法和问卷调查方法~收集关于不婚#、大学生、社会心理因素方面的资料，由问卷调查得来的数据对大学生不婚倾向@和社会心理因素进行分析，找出社会心理因素对大学生的影响^大小、平均%情况。最后，总结目前的不婚趋势，分析恋爱婚姻多元化形态的状况]

由①②得a＝1，b＝2.

【答案】　1　2

4.(2015·福建高考改编)已知椭圆E：1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a＞b＞0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，则椭圆E的离心率的取值范围是________.

【解析】　设左焦点为F1，连接AF1，BF1.则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|，所以|AF|＋|AF1|＝4＝2a，所以a＝2，设M(0，b)，则70ea73d08ac36a7a5b2d5f087f290124.png≥328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，故b≥1，从而a2－c2≥1,0＜c2≤3,0＜c≤9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，所以椭圆E的离心率的取值范围是5cdf9e2e80e09367e1e3aed2d4d745d1.png.

【答案】　5cdf9e2e80e09367e1e3aed2d4d745d1.png

5.(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋4010b06e26443786b9af9c83c01462dc.png＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. [在中国，晚婚已经成为趋势，刘倩倩指出："调查*数据显示近几年来城市女性的平均~结婚年龄急剧上^升，达到了28~35岁。还有很多人选择不结婚。"另一个趋势是离婚率%的持续走高，楚齐指出："据中国民政部门统&计，1980年中国离婚对数为34.1万对，19]

(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

【解】　(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png. [首先的目的是将"不婚"话题展现在大家眼前，促进大家对不婚现象的关注，与"试婚"、"婚前合同#"、"恐婚""剩男剩*女"等现象的讨论，来一起深化恋爱婚姻的话题讨论。第二个目的是调查大家对"不婚"的了解程度，看看各种社会心理&因素对大家的影响，或是强化对"不婚"的支持，或是强化对"不婚"的拒绝，从整体角度来~看不婚的趋势，@从而展望婚姻家庭更多多元化形态共存]

又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋4010b06e26443786b9af9c83c01462dc.png＝1得7y2－12y＝0. [不婚现*象已经在发达国家发展成一%股趋势，如美国，美国民情调查机构皮尤研究中心(Pew Research Center)2014年发表的不婚趋势报告。报告#显示，2012年美国^25岁以上成年男女没有婚姻记录的比例达2成。调查指@出，美国社会主流看法已不再把婚姻当成人生的重要选项，5成受访者认为婚姻如同人生旅程中的其他选项，例如生涯发展]

解得y＝0或y＝760b68288ee32280d34df14aec781583.png，所以y1＝760b68288ee32280d34df14aec781583.png. [这个平均不婚倾向值得思考，因为它总体上说明大学生的结婚意愿到了一种不上不下地步。要么一个#社会都乐于选择&结婚，要么一个社会都乐于选择不结婚，这两种情况都是明确的。可这种意愿模糊的情况，说明这个社会中什么选择都有可能存在了，大家的选择不一致，各有~差异。@这种复杂多变%的局面似乎在现在的择偶上有所体现，现在找一个伴侣，要]

因此△AMN的面积S△AMN＝2×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×760b68288ee32280d34df14aec781583.png×760b68288ee32280d34df14aec781583.png＝f951110e4c23b87e1367d3108086aea0.png.

(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，

代入2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋4010b06e26443786b9af9c83c01462dc.png＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.

由x1·(－2)＝ec89971dd6fa4911c426fb4548fd2612.png得x1＝4e79b9700d3088cc0cdddd18f22694d4.png，

故|AM|＝|x1＋2|4afe0941eae82692977d971dc6f73bb6.png＝5d5ad04c07cf8ed2d410a60549d15771.png.

由题意，设直线AN的方程为y＝－562c5a378cf35331dbc73b070b447eb1.png(x＋2)，

故同理可得|AN|＝f8f5ff796fe88e7d056935b470d929cb.png.

由2|AM|＝|AN|得1436db802ecd1f7fdf155a2d6de9de36.png＝f63521a6b7076fc2687fd4586d9a5145.png，

即4k3－6k2＋3k－8＝0.

设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点.f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)单调递增.又f(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)＝159097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k在(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，2)内，所以9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＜k＜2.

章末综合测评(二)　圆锥曲线与方程

(时间120分钟，满分160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)

1.双曲线e7b67fd546b78f237e820f4d6802c701.png－5899f32f62a1c8fd730add783d93c448.png＝1的两条渐近线的方程为________. [本文这个划分只考虑什么影响力在起作用，或者说，有什么样的影响力来源存在着，不考虑影响的内容、影响过程等方面。~这个划分聚焦的是个人，如果是考^虑群体层面*，就要遇到群体的划分方式可以多种多样、群#体内的个人也可以隶属多&个群体等麻烦。]

【解析】　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngx.

【答案】　y＝±265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngx [分类依据：类比李克特量表的方式@，将不婚倾向以态度的强弱，分为五类。李克特量表可以反映一个人对某项陈诉的态度强~弱，不婚倾向是一种个人态度，适用于李克特量表。^同时，下面的粗社会影响，通过让回答者回答各种不同情%景而得到了个人动#态的态度，这个态度也类比李克特量表的方式进行分类、处理]

2.(2015·上海高考)已知(2,0)是双曲线x2－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.

【解析】　由题意知c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3，所以b＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

【答案】　9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

3.若方程800b2e3a4a446cadba2ffdacf6a8244c.png＋5b8d2864fb66e3017dd5d421678a9a90.png＝1表示椭圆，则k的取值范围为________.

【解析】　由题意可知20215d9cbcef6c00159d0ba61770a5a9.png解得3＜k＜5且k≠4.

【答案】　(3,4)∪(4,5)

4.以y＝3为准线的抛物线的标准方程为________.

【解析】　设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，则－9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png＝3，p＝－6，则抛物线方程为x2＝－12y.

【答案】　x2＝－12y

5.(2015·上海高考)抛物线y2＝2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.

【解析】　依题意，点Q为坐标原点，所以9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.png＝1，即p＝2.

【答案】　2

6.椭圆edecebe3e95f63dc3d0081446fd01818.png＋14cffc2b17c3ed1f3540dfe57562f464.png＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为______.

【解析】　由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a＝2×3＝6，因为PF1＝4，所以PF2＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝f27ed4ddeb0725b617abb86c2ba2de2e.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴∠F1PF2＝120°.

【答案】　2　120°

7.已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是________.

【解析】　∵2c＝AB＝2，∴c＝1，∴CA＋CB＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线).因此，顶点C的轨迹方程cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＋b7e238116d26477a64bd89307a848cee.png＝1(y≠±2).

【答案】　cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＋b7e238116d26477a64bd89307a848cee.png＝1(y≠±2)

8.(2015·天津高考改编)已知双曲线1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________.

【24830061】

【解析】　由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切得3bd9eb42ec68a38a24d3b4e44ef47167.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，

由c＝f8abfd8c48189d6c0ac2ee022ef3bdc2.png＝2，解得a＝1，b＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

【答案】　x2－4010b06e26443786b9af9c83c01462dc.png＝1 [结合数据来@看，出现了许多"看情况而定"的表达，这点符合数据呈现的意愿模糊的状态。"看情况的定"的表达强调不会被迫结婚，虽然有"应该结婚"表达中的美好婚姻的期盼，但必须有合适的人和生活质量，否则压抑自%己的结婚意愿。可见，这个"意愿模糊"状态，既有看情况而定的打算，也有一定的婚姻美^好的期望和主#动压抑自己结婚意愿的行为两者相~互存在的状]

9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.

【解析】　∵F1(－a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，4).

又∵双曲线的一个焦点为F1(－a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0)，∴另一个焦点为F2(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，0).

∴2a＝|PF1－PF2|＝5441a8f33ad956a832a7df5120e8e168.png－e37692f788f70eebd321586b8ada6847.png＝2.∴a＝1.

又∵c＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，∴b2＝c2－a2＝4.∴双曲线方程为x2－cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1.

【答案】　x2－cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1

10.已知抛物线C：x2＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngy，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________.

【解析】　显然t≠0，直线AB的方程为y＝e69525e946501f1d5b5d0b1230532db9.pngx－1，代入抛物线方程得2tx2－4x＋t＝0.

由题意Δ＝16－8t2<0，解得t<－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png或t>1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

【答案】　(－∞，－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)∪(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，＋∞)

11.若点O和点F分别为椭圆2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋4010b06e26443786b9af9c83c01462dc.png＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则e763078c28ff5ba0c1f6b799393ac3d1.png·26d942c89673a15b9ad6fab79fa4570b.png的最大值为________.

【解析】　椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)，

e763078c28ff5ba0c1f6b799393ac3d1.png·26d942c89673a15b9ad6fab79fa4570b.png＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngx2＋x＋3＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png(x＋2)2＋2

∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，e763078c28ff5ba0c1f6b799393ac3d1.png·26d942c89673a15b9ad6fab79fa4570b.png有最大值6.

【答案】　6 ["不婚"也是可以包括已经结婚的人在婚姻没有投入感情这个情况，也就是内心已经认同离婚了，但表面上维持夫妻样子的这类。本文仅指未@登记结婚这个形式化的标准，不包括情感标准。在这个界定下，从有无伴侣这点可以分为，未结婚的单身长%期无伴侣、未结婚的~有长^期固定伴侣、未结#婚的容易变更伴侣这三类。]

12.一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.

【解析】　x2＋y2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则1e0d06460a4e9633f2d127e174e581cd.png⇒PA－PO＝1＜AO＝3，

符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. [在中国，晚婚已经成为趋势，刘倩倩指出："调查数据显示近几年来城*市女性的平均结婚年龄~急剧上升，达到#了28~35岁。还有很多人选择不结婚。"@另一个趋势是离婚率的持续走高，楚齐指^出："据中国民政部门统计，1980年中国离婚对数为34.1万对，19]

【答案】　双曲线的一支

13.(2015·山东高考)过双曲线C：1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－9e97ed697b25a0416ab450589244867f.png＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.

【解析】　先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png(x－c).因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得81a9318c7ac88c87fe3855adfcbb8e10.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1，化简得y＝－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngb或y＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngb)，代入直线方程得－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngb＝46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png(2a－c)，化简可得离心率e＝15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png＝2＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png. [许多学者有进行社会心理因素的研究，但没有定义社会心理因素。对于什么是&社会心理因素，《中国学前教育百科全书》提到："构成社会心理的各种现象的%总和。这些因素有很多，如社会潮流、#习惯势力、社会角色、社会竞争等。"^这个定义涵盖较广，但有个弊病，就是定义包含一些用词本身是含糊不清，像是"潮流"包括什么，"习惯势~力"指什么]

[社会与许多人交互影响，许多方面的相互影@响密不可分，本次调查研究对此做静态处理。对于个人倾向中已经内化进去的社会影响，统合看作这个人个人倾向的一部分，做静态处理，而本次调查研究涉及的社会影响，看作是外在于个人、动态变化中的#社会影响。由此，在问卷中将无预设情境的题目，看作*是^反映个人倾向。得出个人倾向后，引入情景题~]

【答案】　2＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

14.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA＝2FB，则k＝________. [首先*的目的是将"不婚"话题展现在大家眼前，促进大家对不婚现象~的关注，与"试^婚"、"婚前合同"、"恐婚""&剩男剩女"等现象的讨论，来一起深化恋爱婚姻的话题讨论。第二个目的是调查大家对"不婚"的了解程度，%看看各种社会心理因素对大家的影响，或是强化对"不婚"的支持，或是强化对"不婚"的拒绝，从整体角度来看不婚的趋势，从而展望婚姻家庭更多多元化形态共存]

【解析】　过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，

由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2FB＝FA，∴AA1＝2BB1，即B为AC的中点.从而yA＝2yB，联立方程组f6c8d9df5d2e60ba8555d8ab3fb66782.png⇒消去x得y2－9384a5b1a869c710123c8bcfc72f2b4d.pngy＋16＝0，

∴b7e8b97751703d595a6b52a9951cc723.png⇒8d8b2ba97738599aa61545a3d2ae135b.png，消去yB得k＝4dbfc97e385e7132fc528e17dfdb3b8d.png.

【答案】　4dbfc97e385e7132fc528e17dfdb3b8d.png ["不婚&"这个词也在这个离%婚率变高、剩女剩男越来越多、快速闪婚、生活成本高等的复杂背景中出现了，并称这些不结婚的~人为不婚族。还有其他词如恐婚族（恐惧婚姻）、婚活族、毕婚族（毕业就@结婚）、毕分^族、丁克族等，它们与不婚族一词一同呈现多样的现象共存的景象。到底身处其中的人们该做出什么选择呢？人]

二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) [学者关于不婚~的多数@研究，%偏于描述性研究，没有数据的指标表示一个人的不婚意愿，而是直接使*用了"不婚"这个词。关于"不婚"#趋势，学者间接给出了晚婚、单身的数据来谈，用这个方式来默认了"不婚"趋势已经存在了。对于"不婚"现象的原因分析，学者通过抽象概括，尽量地包含了各种各样原因，但没有统计数据支撑，也无法让浏览者看到其中的各个原因的内在逻辑]

15.(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png－5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是Mb1e9cece1b2c61c7cfb00e52ba8007cc.png.

(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标； [社会学习理论的代表人物班杜拉强调观察学习的重要性，董小鹏指出："通过观察，观@察者对所获得&的榜样行为信息的认知加工，从而形成示范行为的认知表征。这些认知表征以心像或语义的形式编码后存储于记忆系统之中，在~适当#的刺激下%，成为观察者表现这一行为的内部指南]

(2)求双曲线C2的方程及离心率e.

【解】　设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，因为图象过点Mb1e9cece1b2c61c7cfb00e52ba8007cc.png，

则有1592f222e659d4bfcf40a41ba38136d3.png2＝2p×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，所以p＝2，则抛物线C1的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为(1,0).

(2)由双曲线C2过点Mb1e9cece1b2c61c7cfb00e52ba8007cc.png以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知

2a＝300b653f11b6a13d60f86856c8fb965d.png－b074bacbb99791a175ab592c48274933.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，所以a＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，b2＝d57ff3886ec9281ce84d249dc389a802.png ，

所以双曲线C2的方程为9x2－2a7d339d997db8878e40e681801fb525.pngy2＝1，离心率e＝3. [不婚现象已经在发达国家发展成一股趋势，如美国，美国民情调查机构皮尤研究中心(Pew Research Center)2014年@发表的不#婚趋%势报告。报告显示，20&12年美国25岁以上成年男女没有婚姻记录的比例达2成。调查指出，美国社^会主流看法已不再把婚姻当成人生的重要选项，5成受访者认为婚姻如同人生旅程中的其他选项，例如生涯发展]

16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为265c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.

【解】　①焦点在x轴上，椭圆为1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a>b>0)，且c＝65c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png.

设双曲线为33e90d6fd82961d6a106ae4e6e8c2b79.png－d4bb4824ebf4442277556a49f3ddd176.png ＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因为a10672813be075ad3530baab9bef00b5.png＝b5ea6c2b68a40317ef79792698063f59.png，所以b30a164e62596389829c59274d4987b9.png＝b5ea6c2b68a40317ef79792698063f59.png，解得a＝7，m＝3.

因为椭圆和双曲线的焦半距为65c81bf9533f2a58ce6d5ac7e95e2b8a.png，所以b2＝36，n2＝4.

所以椭圆方程为5a6ddd6e613630057f21a1834d91f74c.png＋2d3820043badc89595db88a39205c3d2.png＝1，双曲线方程为edecebe3e95f63dc3d0081446fd01818.png－cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1. [通过文献法和问卷调查方&法收集关于不婚、大学生、社会心理因素方面的资料，由问卷调查得来的数据对大学生不婚倾向和社会心理%因素进行分析，找出社会心理因素对大学生的影~响大小、平均情况@。最后，总结目前的#不婚趋势，分析恋爱婚姻多元化形态的状况]

②焦点在y轴上，椭圆方程为5b3da2da5b335007f14a2596cd04c4ad.png＋1d2bae8a0a16967b98be0f5293e9411d.png＝1，双曲线方程为5899f32f62a1c8fd730add783d93c448.png－2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＝1.

17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l过椭圆2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.

图1

【解】　设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，0)，直线l的方程为y＝x－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－89097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx＋8＝0.所以x1＋x2＝6da0115a3fcb113e2cdedc5bdb28ce49.png，x1x2＝0597f288b8424f32f940c1b418f629d2.png.

所以AB＝4afe0941eae82692977d971dc6f73bb6.png|x1－x2| ＝4afe0941eae82692977d971dc6f73bb6.png·ab2899ed9bfba987f368d8de9aa34bb6.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png×bfa7a0771275a01944651e7cc9928d9f.png＝0597f288b8424f32f940c1b418f629d2.png.

18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆1486ca48f1d059d2a834aef99f73d110.png＋5188c746c39261de3612034819734cff.png＝1(a＞b＞0)的离心率为193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

图2

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2＝1. [但选项的位置颠倒错位，如果回答者的答题态度随便，会出现机械式反应，即可能两道题的所选选项相~同，而选项内容不同@。筛除掉疑似填空题复^制粘贴的问题，由于互联网的搜索引擎可以搜索到各种内容，回答者倾向于方便可能会走复制粘贴的做法，这点只要仔细对比题目内容&和#回答内容可以看出其中的不合逻辑的地方，另外，问卷中的填空题可以反映出回答者的态度是否真诚、是否乐意多表达，这些回答内容真诚的问卷可以保留，调查价值高]

【解】　 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，2a＋2c＝4(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1)，所以a＝21553867a52c684e18d473467563ea33b.png，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为a80644548d857fcf535254dc66a21f9a.png＋cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为33e90d6fd82961d6a106ae4e6e8c2b79.png－56567da4839d2f3d0826fd3fe60bdcf4.png＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为2ac4abea1f4558b8a15a91975a9f9acc.png－cb5a460005bf423316b4ee954a9d5daf.png＝1.

(2)证明：设P(x0，y0)，则k1＝938f389f33feca03a4731e3a07013af2.png，k2＝a60efcfeb93a749d77f74fbf8d6f93b3.png. [在研究方向上呈现零散化的状况，几乎是每个人的研究独自一个样。像是袁睿2010年进行了不婚族的态度分类，李杨和韦帮得2009年归类四种不婚女人类型，毛燕凌2009年&进%行单身女人的原因归类，你们看一个^"态度分类"，一个是"女人类型~"，一@个是"单身原因"，虽然研究对象、内容交叉许多，但最后的研究结论却是混乱不一，这点不利于学者之间的研究交]

因为点P在双曲线x2－y2＝4上，

所以x94fcb624eb74de583e5408f86251ccee.png－y94fcb624eb74de583e5408f86251ccee.png＝4.