2019年湖北省江汉油田中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．）

1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　）

A．3.1415 B． C． D．

【解答】解：＝2是有理数，是无理数，

故选：D．

2．（3分）如图所示的正六棱柱的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：正六棱柱的主视图如图所示：

故选：B．

3．（3分）据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70100亿用科学记数法表示为（　　）

A．7.01×104 B．7.01×1011 C．7.01×1012 D．7.01×1013

【解答】解：70100亿＝7.01×1012．

故选：C．

4．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定

C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5

D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；

B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；

C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；

D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误．

故选：C．

5．（3分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【解答】解：∵CD∥AB，

∴∠AOD+∠D＝180°，

∴∠AOD＝70°，

∴∠DOB＝110°，

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝55°，

∵OF⊥OE，

∴∠FOE＝90°，

∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，

故选：D．

6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，

解不等式5﹣2x≥1得x≤2，

则不等式组的解集为1＜x≤2，

故选：C．

7．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）

A．12 B．10 C．4 D．﹣4

【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，

∴α+β＝2，αβ＝﹣4，

∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；

故选：A．

8．（3分）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．9种

【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：

a+2b＝9，

∵a、b均为整数，

∴，，，．

故选：B．

9．（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限

C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大

【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；

由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；

由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，

由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，

故选：D．

10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【解答】解：连结DO．

∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，

∴∠CBO＝90°，

∵AD∥OC，

∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．

又∵OA＝OD，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴∠COD＝∠COB．

在△COD和△COB中，，

∴△COD≌△COB（SAS），

∴∠CDO＝∠CBO＝90°．

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线；故①正确，

∵△COD≌△COB，

∴CD＝CB，

∵OD＝OB，

∴CO垂直平分DB，

即CO⊥DB，故②正确；

∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，

∴∠EDO＝∠ADB＝90°，

∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，

∴∠ADE＝∠BDO，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠EDA＝∠DBE，

∵∠E＝∠E，

∴△EDA∽△EBD，故③正确；

∵∠EDO＝∠EBC＝90°，

∠E＝∠E，

∴△EOD∽△ECB，

∴，

∵OD＝OB，

∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；

故选：A．

与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．）

11．（3分）分解因式：x4﹣4x2＝　x2（x+2）（x﹣2）　．

【解答】解：x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）；

故答案为x2（x+2）（x﹣2）；

12．（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是　6　cm．

【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．

故本题答案为：6．

13．（3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是　100　．

【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），

S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，

当x＝10时，S最大值为100．

故答案为100．

14．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是　　．

【解答】解：列表如下

由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，

所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为＝，

故答案为：．

15．（3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为　14.4　m．

【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：

则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，

∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，

∴∠ADC＝90°+30°＝120°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ACD＝30°，

∴∠CAD＝30°＝∠ACD，

∴AD＝CD＝9.6m，

在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝4.8m，

∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；

故答案为：14.4．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是　（97，32）　．

【解答】解：∵OA1＝1，

∴OC1＝1，

∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，

∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，

∴C1（，），

∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，

∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，

∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，

∴C2（，2，），

C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，

∴C3（11，4），

∴C4（23，8），

C5（47，16），

∴C6（97，32）；

故答案为（97，32）．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分．）

17．（12分）（1）计算：（﹣2）2﹣|﹣3|+×+（﹣6）0；

（2）解分式方程：＝．

【解答】解：（1）原式＝4﹣3+4+1＝6；

（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5，

解得：x＝，

检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝≠0，

∴原分式方程的解为x＝．

18．（6分）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；

（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

【解答】解：（1）如图①，直线m即为所求

（2）如图②，直线n即为所求

19．（7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为　100　，a＝　30　；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．

【解答】解：（1）15÷＝100，

所以样本容量为100；

B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，

所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；

故答案为100，30；

（2）补全频数分布直方图为：

（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，

样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．

20．（8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？

【解答】解：（1）根据题意，得

①当0≤x≤5时，y＝20x；

②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；

（2）把x＝30代入y＝16x+20，

∴y＝16×30+20＝500；

∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元；

21．（8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：

（1）AE⊥BF；

（2）四边形BEGF是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∵EG∥BF，

∴∠CBF＝∠CEG，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CEG+∠BEA＝90°，

∴AE⊥EG，

∴AE⊥BF；

（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：

则AP＝CE，∠EBP＝90°，

∴∠P＝45°，

∵CG为正方形ABCD外角的平分线，

∴∠ECG＝45°，

∴∠P＝∠ECG，

由（1）得∠BAE＝∠CEG，

在△APE和△ECG中，，

∴△APE≌△ECG（ASA），

∴AE＝EG，

∵AE＝BF，

∴EG＝BF，

∵EG∥BF，

∴四边形BEGF是平行四边形．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．

（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：　y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）　；

（2）当PQ＝3时，求t的值；

（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．

【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），

∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，

∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，

∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，

整理，得：5t2﹣16t+11＝0，

解得：t1＝1，t2＝．

（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．

连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC＝6，BC＝8，

∴OB＝＝10．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴＝＝＝，

∴OD＝6．

∵CB∥OA，

∴∠DOF＝∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，

∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，

∴点D的坐标为（，），

∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．

23．（10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．

（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　AB+AC＝AD　；

（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．

【解答】解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，

∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，

∴△ABE和△BCD都是等边三角形，

∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE＝AC，

∴AD＝AE+DE＝AB+AC；

故答案为：AB+AC＝AD．

（2）AB+AC＝AD．理由如下：

如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠MBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，

∴MD⊥AD．

∴AM＝，即AB+BM＝，

∴AB+AC＝；

（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠NBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，

∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴，

∴，

又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，

∴＝．

24．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．

（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；

（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

【解答】解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x﹣；

联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，

∵抛物线C与直线l有交点，

∴△＝9﹣8a≥0，

∴a≤且a≠0；

（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，

∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，

∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，

∴x＝﹣1或x＝3，

①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，

∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，

∴m＝﹣3；

②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，

∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；

综上所述：m＝﹣3或m＝3；

（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，

即a≤﹣2；

②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，

即a≥，

直线AB的解析式为y＝x﹣，

抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，

∴ax2+x+＝0，

△＝﹣2a＞0，

∴a＜，

∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；