概率论总结
一、 前五章总结
第一章 随机事件和概率 …………………………1
第二章 随机变量及其分布……………………….5
第三章 多维随机变量及其分布…………………10
第四章 随机变量的数字特征……………………13
第五章 极限定理………………………………...18
二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20
一、前五章总结
第一章 随机事件和概率
第一节:1.、将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。
在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。
不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。
必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集,复合事件—多点集
一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。
3、定义:事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为BA或AB。
若AB且AB则称事件A与事件B相等,记为A=B。
定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。
定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义:差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,eB} 。
定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为Ā 。A与Ā满足:A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律:
设A,B,C为事件,则有
(1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA
(2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC
(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
word/media/image1_1.png A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
word/media/image2_1.png(4)德摩根律:
小结:
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系:包含、相等、对立、互不相容;
四种运算:和、积、差、逆;
四个运算法则:交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节:
1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为:P(A)=k/n=A包含的样本点数/S中的样本点数。
2、 几何概率:设事件A是S的某个区域,它的面积为 μ(A),则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为:
P(A)=μ(A)/μ(S) 假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用(*)式确定,只不过把 理解为长度或体积即可.
word/media/image3_1.png概率的性质:(1)P()=0,
(2)
(3)
(4) 若AB,则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).
第四节:条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为A对B的条件概率,记作P(A|B).
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.
乘法公式: 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式:设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)>0,i =1,2,…,n, B是任一事件, 则
贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分,且P(Ai)>0,i =1,2,…,n, B是任一事件且P(B)>0, 则
第五节 :若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立,或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件:
对于三个事件A、B、C,若
P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 A、B、C相互独立.
第六节:定理 对于n重贝努利试验,事件A在n次试验中出现k次的概率为
总结:
1. 条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念,应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广泛。
第二章:随机变量及其分布
1 、随机变量:分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数:设 X 是一个 r.v,x为一个任意实数,称函数
F(X)=P(X≤x)为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作 X ~ F(x) 或 FX(x).
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (x≤X)。
3、 离散型随机变量及其分布
定义1 :设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称等式P(X=xk)=PK, 为离散型随机变量X的概率函数或分布律,也称概率分布. 其中PK,≥0;ΣPk=1
分布律与分布函数的关系:
(1)已知随机变量X的分布律,可求出X的分布函数:
word/media/image11_1.png ①设一离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk (k=1,2,…) 由概率的可列可加性可得X的分布函数为
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
(2)已知随机变量X的分布函数,可求出X的分布律:
一、 三种常用离散型随机变量的分布
. 1(0-1)分布:
设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为 P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0,1. (0 则称X服从(0-1)分布,记为X(0-1)分布。 (0-1)分布的分布律用表格表示为: X 0 1 P 1-p p 易求得其分布函数为 2.二项分布(binomial distribution): 定义:若离散型随机变量X的分布律为 其中0 ,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为XB(n,p). 4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为: 其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X~P(入).、 连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 (1)f(x)≥0 (2) (3).X落在区间(x1,x2)的概率 几何意义:X落在区间(x1,x2)的概率P{x1 (4).若f(x)在点x处连续,则有F′(x)=f(x)。 .概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系: (1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x),则它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x),那么它的概率密度为f(x)=F′(x). 注意:对于F(x)不可导的点x处,f(x)在该点x处的函数值可任意给出。 三种重要的连续型分布: word/media/image19_1.png1.均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X具有概率密度 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为XU(a,b). word/media/image20_1.png 若XU(a,b),则容易计算出X的分布函数为 2. 指数分布word/media/image21_1.png入>0 则称 X 服从参数为 入的指数分布. word/media/image22_1.png常简记为 X~E( 入) 指数分布的分布函数为 指数分布的一个重要特性是”无记忆性”. 设随机变量X满足:对于任意的s>o,t>0,有 则称随机变量X具有无记忆性。 3. 正态分布 若r.v X的概率密度为 其中 μ和 word/media/image25_1.png 都是常数, 任意,μ >0, 则称X服从参数为 μ 和 word/media/image25_1.png 的正态分布. 记作 word/media/image26_1.pngf (x)所确定的曲线叫作正态曲线. word/media/image27_1.png 的正态分布称为标准正态分布. 标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 随机变量函数的分布 设X为连续型随机变量,具有概率密度fx(x),求Y=g(X) (g连续)的概率密度。 1.一般方法——分布函数法 可先求出Y的分布函数FY(y): 因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y},设ly={x|g(x)≤y} 则 再由FY(y)进一步求出Y的概率密度 2. 设连续型随机变量X的密度函数为X(x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种: (1)分布函数法; (2)若y=f(x)严格单调,其反函数有连续导函数,则 可用公式法; (3)若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单 调,其反函数分别为h1(y), h2(y), …,且h1(y), h 2(y), …,均为连续函数,则Y= g(X)是连续型随机变量, 其密度函数为 对于连续型随机变量,在求Y=g(X) 的分布时,关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式,从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.。 第三章 、多维随机变量 . 分布函数的性质 对于任意固定的y, 对于任意固定的x, 离散型随机变量的分布、 连续型随机变量及其概率密度 性质 边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘分布 随机变量的独立性: 两个随机变量函数的分布 一、 离散型随机变量函数的分布 二、 连续型随机变量函数的分布 第四章.、随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. 2.连续型随机变量数学期望的定义 数学期望的本质 —— 定积分 它是一个数不再是随机变量 3.数学期望的性质 E (C ) = C E (CX ) = CE (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y ) 若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ; 若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b. 第二节:随机变量的方差 方差的定义 D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 5. 随机变量方差的计算 利用公式计算 方差的性质 1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) word/media/image68_1.png 特别地,若X ,Y 相互独立,则 若Xi,Xj均相互独立,word/media/image70_1.png均为常数,则 word/media/image71_1.png 2若X ,Y 相互独立可得 逆命题不成立; 3若X ,Y 相互独立可得 逆命题不成立。 4. 对任意常数C, D (X ) E(X – C)2 ,当且仅当C = E(X )时等号成立 5. D (X ) = 0 等价于P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)。 切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差 ,则对于 任给 word/media/image76_1.png >0, 第三节、协方差与相关系数 若word/media/image81_1.png则称x,y不相关。 注:(1)X和Y的相关系数又成为标准协方差,它是一个无量纲的量。 2、若随机变量X和Y相互独立 word/media/image86_1.png 协方差的计算公式 1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差的性质: 相关系数: 1、 二维正态分布密度函数中,参数p代表了与Y的相关系数。 2、 二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独立。 即 XY相互独立 等价于 XY不相关 不相关的充要条件 相关系数的性质: 第五章:极限定理 word/media/image97_1.png大数定理:设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在,记 word/media/image98_1.png 则称{Xn}服从(弱)大数定律。 切比雪夫大数定律: 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列,它们都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即 D(Xi) ≤K,i=1,2, …,则对任意的ε>0 word/media/image100_1.png马尔科夫条件:在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出 只要 (△), 则大数定理就能成立。 切比雪夫大数定律的特殊情况:设X1,X2, …是独立随机变量 序列,且E(Xi)= μ,D(Xi)= word/media/image102_1.png , i=1,2,…,则对任给 word/media/image76_1.png >0, 辛钦大数定律:设随机变量序列X1,X2, …独立同分布,具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…, 则对任给ε >0 , 辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 中心极限定理: 独立同分布下的中心极限定理: 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)= word/media/image104_1.png ,D(Xi)= word/media/image102_1.png ,i=1,2,…,则 注:参考资料 《概率论 数理统计 随机过程》 作者:胡细宝 孙洪祥 王丽霞 郭永江老师的教学课件
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