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    2018年广东省梅州市中考数学试卷-

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    2018年广东省梅州市中考数学试卷


    一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）（2018•梅州）﹣的倒数是（ ） A．
    B． ﹣2 2 C．
    D．
    |    | 2．（3分）（2018•梅州）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D．




    3．（3分）（2018•梅州）数学老师布置10道填空题，测验后得到如下统计表：
    7 8 9 10 答对题数
    4 20 18 8 人 数
    根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A．8，8 B． 8，9 C． 9，9 D． 9，8

    4．（3分）（2018•梅州）下列函数：①y=﹣x；②y=2x；③y=﹣；④y=x（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 5．（3分）（2018•梅州）一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ） A．B． C．
    2D． 4个
    D．




    二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
    26．（3分）（2018•梅州）计算：（﹣a）÷a= _________ ． 7．（3分）（2018•梅州）梅州是中国著名侨乡，祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人，360万用科学记数法表示为 _________ ． 8．（3分）（2018•梅州）如图，在⊙O中，∠ACB=20°，则∠AOB= _________ 度．

    9．（3分）（2018•梅州）如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过 _________ 次旋转而得到，每一次旋转 _________ 度．



    10．（3分）（2018•梅州）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 _________ ．



    11．（3分）（2018•梅州）已知一元二次方程2x﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1•x2= _________ ． 12．（3分）（2018•梅州）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于 _________ 度．
    2
    13．（3分）（2018•梅州）找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 _________ 个．



    三、解答题（共10小题，满分81分）
    14．（7分）（2018•梅州）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么： （1）∠ADC= _________ 度；
    （2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于 _________ （面积单位）．





    15．（7分）（2018•梅州）星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示． 根据图象回答下列问题：
    （1）小明家离图书馆的距离是 _________ 千米； （2）小明在图书馆看书的时间为 _________ 小时； （3）小明去图书馆时的速度是 _________ 千米/小时．



    16．（7分）（2018•梅州）计算：（

    17．（7分）（2018•梅州）求不等式组

    18．（8分）（2018•梅州）先化简，再求值：+÷x，其中x=．
    的整数解．
    ﹣2）+（）+4cos30°﹣|﹣0﹣1|．
    19．（8分）（2018•梅州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF；
    （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

    20．（8分）（2018•梅州）“五•一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
    （1）前往A地的车票有 _________ 张，前往C地的车票占全部车票的 _________ %；
    （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为 _________ ；
    （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？



    21．（8分）（2018•梅州）如图，已知抛物线y=﹣x+2x+与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．


    （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；
    （3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）

    22．（10分）（2018•梅州）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）当E是CD的中点时：
    ①tan∠EAB的值为 _________ ； ②证明：FG是⊙O的切线；
    （2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．

    23．（11分）（2018•梅州）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式；
    （2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
    （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．






    2018年广东省梅州市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）（2018•梅州）﹣的倒数是（ ） A．
    B． ﹣2 2 C．
    D．
    |    |
    考点： 倒数．
    分析： 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．据此作答． 解答：
    解：的倒数是﹣2．
    故选B．
    点评： 此题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同． 2．（3分）（2018•梅州）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D．




    考点： 轴对称图形．
    分析： 根据轴对称图形的概念求解． 解答： 解：A、B、D都是轴对称图形；
    C、不是轴对称图形． 故选C．
    点评：
    轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
    3．（3分）（2018•梅州）数学老师布置10道填空题，测验后得到如下统计表：
    7 8 9 10 答对题数
    4 20 18 8 人 数
    根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A．8，8 B． 8，9 C． 9，9 D． 9，8
    考点： 众数；中位数．
    分析： 结合图表根据众数和中位数的定义解答．
    解答： 解：答对8个题的有20人，众数是8；中位数是第25、26个同学答对的题数的平均数，所以中位数为9．
    故选D．
    点评：
    一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．


    4．（3分）（2018•梅州）下列函数：①y=﹣x；②y=2x；③y=﹣；④y=x（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（ ）
    2

    A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
    考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 专题： 压轴题．
    分析：
    本题综合运用了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，需要根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断．
    解答： 解：根据函数的性质可知当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有：①y=﹣x；④y=x2（x＜0）．
    故选B．
    点评： 主要考查了函数的在一定取值范围内的增减性． 5．（3分）（2018•梅州）一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ） A．B． C． D．




    考点： 几何体的展开图． 专题： 压轴题．
    分析： 利用正方体及其表面展开图的特点解题．
    解答： 解：A，B，D折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，只有C是一个正方体的表面展开图． 故选C．
    点评： 只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．

    二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
    26．（3分）（2018•梅州）计算：（﹣a）÷a= a ．

    考点： 同底数幂的除法．
    分析： 先算出乘方，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算．
    22解答： 解：（﹣a）÷a=a÷a=a．
    故填a．
    点评： 本题主要考查同底数幂的除法的性质，需要熟练掌握． 7．（3分）（2018•梅州）梅州是中国著名侨乡，祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人，360万用科学记数法表示为 3.6×10 ．
    考点： 科学记数法—表示较大的数． 专题： 应用题．
    分析： 科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
    解答： 解：∵1万=104，∴360万=3.6×106．
    点评： 把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
    （1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
    （2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
    8．（3分）（2018•梅州）如图，在⊙O中，∠ACB=20°，则∠AOB= 40 度．
    6



    考点： 圆周角定理．
    分析： 根据圆周角定理，在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半解答． 解答： 解：∵∠ACB=20°，∴∠AOB=2∠ACB=40°． 点评： 考查了圆周角定理的运用． 9．（3分）（2018•梅州）如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过 4 次旋转而得到，每一次旋转 72 度．


    考点： 旋转的性质．
    分析： 根据题意，五角星的五个角全等，根据图形间的关系可得答案． 解答： 解：根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，
    这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到， 每次旋转的度数为360°除以5，为72度． 故答案为：4；72．
    点评：
    图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等．
    10．（3分）（2018•梅州）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 小张 ．


    考点： 方差；折线统计图． 专题： 压轴题．
    分析： 观察图象可得：小张的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小张的成绩较为稳定． 解答： 解：从图看出：小张的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定．
    故填小张．
    点评：
    本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．




    11．（3分）（2018•梅州）已知一元二次方程2x﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1•x2=
    考点： 根与系数的关系．
    分析： 直接根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1•x2．
    2解答： 解：∵一元二次方程2x﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，
    2 ．
    ∴x1•x2==﹣． 故填空答案为﹣．
    点评： 此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．
    12．（3分）（2018•梅州）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于 50 度．
    2

    考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题．
    分析： 首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
    解答： 解：∵AD∥BC，
    ∴∠EFB=∠FED=65°，
    由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°， ∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°． 故∠AED′等于50°．
    点评： 本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解． 13．（3分）（2018•梅州）找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有 （2n﹣1） 个．


    考点： 规律型：图形的变化类． 专题： 压轴题；规律型．
    分析： 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 解答： 解：分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，…，
    ∵1=1×2﹣1，3=2×2﹣1，5=3×2﹣1， ∴故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
    点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．

    三、解答题（共10小题，满分81分）


    14．（7分）（2018•梅州）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么： （1）∠ADC= 90 度；
    （2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于 4 （面积单位）．


    考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．
    分析： 利用线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点计算． 解答： 解：（1）△ABC，△AQB中，AC=AQ，BC=BQ，AB=AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB=∠QAB，
    根据等腰三角形性质，我们可知：
    AD是等腰△ACQ底边的高、中线和顶角的平分线． ∴∠ADC=90°．

    （2）AC=AB，∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形． CD⊥AB，
    ∴∠ACD=∠BCD=30°． CD=BC•sin60°=2．
    那么S△ABC=AB•CD÷2=4×2÷2=4．
    点评：
    本题综合考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点，虽然知识点比较多，但只要找准确所求与已知的关系，本题并不难解．
    15．（7分）（2018•梅州）星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示． 根据图象回答下列问题：
    （1）小明家离图书馆的距离是 3 千米； （2）小明在图书馆看书的时间为 1 小时； （3）小明去图书馆时的速度是 15 千米/小时．


    考点： 函数的图象．
    分析： 根据函数的图象y随t的变化可知，因为图象的纵坐标最大为3，故小明家离图书馆的距离是3千米；
    小明在图书馆看书的时间为72﹣12=60分=1小时；
    小明从0分钟到12分钟时到达图书馆，故其速度为3÷=15千米/小时．
    解答： 解：（1）根据图象可知y随t的变化而变化小明家离图书馆的距离是3千米；


    （2）路程不变，时间为72﹣12=60分钟，故小明在图书馆看书的时间为1小时； （3）根据速度=路程/时间可知小明去图书馆时的速度是15千米/小时．
    点评： 本题比较简单，只要仔细分析函数图象便可解答，体现了函数图象在实际生活中的运用．

    16．（7分）（2018•梅州）计算：（﹣2）+（）+4cos30°﹣|﹣0﹣1|．

    考点： 特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简． 专题： 计算题． 分析： ﹣10根据实数的运算顺序计算，注意：（﹣2）=1，（）=3，cos30°=，|﹣|=2．
    解答：
    解：原式=1+3+4×﹣
    =4+2﹣2 =4．
    点评：
    本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．


    17．（7分）（2018•梅州）求不等式组的整数解．

    考点： 一元一次不等式组的整数解． 专题： 计算题．
    分析： 先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解． 解答： 解：由x﹣1≥1﹣x得x≥1 由x+8＞4x﹣1，得x＜3 所以不等式组的解为1≤x＜3 所以不等式组的整数解为1，2．
    点评： 考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．


    18．（8分）（2018•梅州）先化简，再求值：+÷x，其中x=．

    考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．
    分析：
    这是个分式除法与加法混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
    解答：
    解：原式=+•
    ==+1


    当x=时，原式==﹣2．
    点评： 本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．
    19．（8分）（2018•梅州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF；
    （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．


    考点： 相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形． 专题： 几何综合题．
    分析： （1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．
    （2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．
    解答： （1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
    ∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分） ∴△CDF∽△BGF．（3分）

    （2）解：由（1）△CDF∽△BGF， 又∵F是BC的中点，BF=FC， ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=GF，CD=BG，（6分） ∵AB∥DC∥EF，F为BC中点， ∴E为AD中点，
    ∴EF是△DAG的中位线， ∴2EF=AG=AB+BG．
    ∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2， ∴CD=BG=2cm．（8分）
    点评： 本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂． 20．（8分）（2018•梅州）“五•一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
    （1）前往A地的车票有 30 张，前往C地的车票占全部车票的 20 %；
    （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为 ；
    （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？




    考点： 列表法与树状图法；条形统计图；游戏公平性． 专题： 图表型．
    分析： （1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图；
    （2）让去B地车票数除以车票总数即为所求的概率；
    （3）此题考查了游戏公平性问题，解题的关键是求得小张得到车票的概率与小李得到车票的概率，只要相同就公平，否则就不公平．
    解答： 解：（1）30；20．（2分）
    （2）50÷100=．（4分）
    （3）不公平．
    可能出现的所有结果列表如下：
    1 2 3 4 小李抛到的数字
    小张抛到的数字 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 或画树状图如下：

    共有16种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
    ∴小张获得车票的概率为    ；则小李获得车票的概率为．
    ∴这个规则对小张、小李双方不公平． （8分）
    点评： 此题考查的知识比较多，解题的关键是要细心，理解题意．此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


    21．（8分）（2018•梅州）如图，已知抛物线y=﹣x+2x+与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．
    （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；
    （3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）




    考点： 抛物线与x轴的交点；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定． 专题： 计算题；证明题．
    分析： （1）分别令x=0，y=0从而求得点A，B，C的坐标；
    （2）利用（1）的结论即可求得AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；
    （3）CD∥AB可得两个点，AC∥BD也可得到一个．
    解答： （1）解：令x=0，得y=，得点C（0，）；
    令y=0，得﹣x+2x+=0，
    解得x1=﹣1，x2=3．
    ∴A（﹣1，0），B（3，0）；

    （2）证明：因为AC=1+（）=4，BC=3+（222∴AB=AC+BC，
    ∴△ABC是直角三角形；

    （3）解：①如图：当CM∥AB时， ∵CM=AB=4， ∴M1（4，）； ②当AM∥BC时， ∵CM=AB=4， ∴M2（﹣4，）； 当AM∥BC时， ∵直线AC为：y=∴直线BM为：y=x+x﹣3，直线BC为：y=﹣，直线AM为：y=﹣x+， x﹣，
    2    2    2    2    2）=12，AB=16，
    22∴M3（2，﹣）． ∴M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．（只写出一个给（1分），写出2个，得1.5分）




    点评： 此题综合考查了二次函数与一元二次方程的关系，直角三角形的判定，平行四边形的判定等知识点． 22．（10分）（2018•梅州）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）当E是CD的中点时： ①tan∠EAB的值为
    ；
    ②证明：FG是⊙O的切线；
    （2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．


    考点： 切线的性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题： 几何综合题；压轴题；动点型．
    分析： （1）①在Rt△ADE中，已知了DE、AD的长，可求出∠DEA的正切值．由于∠DEA和∠EAB是两条平行线的内错角，因此它们的正切值相等，由此得解； ②连接OF，证OF⊥FG即可．由于O、F分别是AE、AB的中点，因此OF是△ABE的中位线，即OF∥BE，由于FG⊥BE，可证得OF⊥FG，即可得出所证的结论；
    （2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．易证得△ADE∽△ECB，可得：AD：DE=EC：CB；设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，代入上面的比例关系中，可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．
    解答：
    解：（1）①过E作EH⊥AB于点H，则EF=AD=3，AF=DE=AB=，
    故tan∠EAB===；

    ②法一：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE， 又CE=DE，
    ∴△ADE≌△BCE，
    得AE=BE，∠EAB=∠EBA． 连接OF，则OF=OA，
    ∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA． ∴OF∥EB． ∵FG⊥BE， ∴FG⊥OF，
    ∴FG是⊙O的切线．
    （法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．） （2）法一：假设BE能与⊙O相切． ∵AE是⊙O的直径，
    ∴AE⊥BE，则∠DEA+∠BEC=90°． 又∠EBC+∠BEC=90°， ∴∠DEA=∠EBC，
    ∴Rt△ADE∽Rt△CEB，
    ∴．


    设DE=x，则EC=5﹣x，AD=BC=3，
    得    2，
    整理得x﹣5x+9=0．
    2∵b﹣4ac=25﹣36=﹣11＜0， ∴该方程无实数根，
    ∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
    法二：若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°． 设DE=x，则EC=5﹣x．
    222由勾股定理得：AE+EB=AB，
    22即（9+x）+[（5﹣x）+9]=25，
    2整理得x﹣5x+9=0，
    2∵b﹣4ac=25﹣36=﹣11＜0， ∴该方程无实数根，
    ∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
    （法三：本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解）


    点评：
    本题主要考查了圆周角定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识．涉及的知识点较多，难度较大．
    23．（11分）（2018•梅州）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式；
    （2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
    （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．


    考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．
    分析： （1）已知直线L过A，B两点，可将两点的坐标代入直线的解析式中，用待定系数法求出直线L的解析式；
    （2）求三角形OPQ的面积，就需知道底边OP和高QM的长，已知了OP为t，关键是求出QM的长．已知了QM垂直平分OP，那么OM=t，然后要分情况讨论：
    ①当OM＜OB时，即0＜t＜2时，BM=OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM=BM，

    由此可根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式．
    ②当OM＞OB时，即当t≥2时，BM=OM﹣OB，然后根据①的方法即可得出S与t的函数关系式． 然后可根据0＜t＜2时的函数的性质求出S的最大值；
    （3）如果存在这样的点C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就关于直线BL对称，因此C的坐标应该是（1，1）．那么只需证明CQ⊥PQ即可．分三种情况进行讨论． ①当Q在线段AB上（Q，B不重合），且P在线段OB上时．要证∠CQP=90°，那么在四边形CQPB中，就需先证出∠QCB与∠QPB互补，由于∠QPB与∠QPO互补，而∠QPO=∠QOP，因此只需证∠QCB=∠QOB即可，根据折叠的性质，这两个角相等，由此可得证．

    ②当Q在线段AB上，P在OB的延长线上时，根据①已得出∠QPB=∠QCB，那么这两个角都加上一个相等的对顶角后即可得出∠CQP=∠CBP=90度．
    ③当Q与B重合时，很显然，三角形CQP应该是个等腰直角三角形． 综上所述即可得出符合条件C点的坐标．
    解答： 解：由题意得
    （1）y=1﹣x；

    （2）∵OP=t，
    ∴Q点的横坐标为①当，
    ，
    ，即0＜t＜2时，∴S△OPQ=t（1﹣t）．
    ②当t≥2时，QM=|1﹣t|=t﹣1， ∴S△OPQ=t（t﹣1）．
    ∴
    当0＜t＜1，即0＜t＜2时，S=t（1﹣t）=﹣（t﹣1）+， ∴当t=1时，S有最大值；
    2



    （3）由OA=OB=1，
    所以△OAB是等腰直角三角形，
    若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形， 则PQ=QC，
    所以OQ=QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称， 所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面证∠PQC=90度．连CB，则四边形OACB是正方形． ①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图﹣1． 由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP， ∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，
    ∴∠PQC=360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．
    ②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图﹣2，如图﹣3 ∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2， ∴∠PQC=∠PBC=90度．
    ③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=90度． 综合①②③，∠PQC=90度．
    ∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．

    点评： 本题结合了三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解．（3）中由于Q，P点的位置不确定，因此要分类进行讨论不要漏解．



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