北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学(文科) 2013.1
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量,.若向量与共线,则实数______.
10.平行四边形中,为的中点.若在平行四边形内部随机取一点,
则点取自△内部的概率为______.
11.双曲线的渐近线方程为______;离心率为______.
12.若函数是奇函数,则______.
13.已知函数,其中.当时,的值域是______;若的值域是,则的取值范围是______.
14.设函数,集合,且.在直角坐标系中,集合所表示的区域的面积为______.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△中,内角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,,求△的面积.
16.(本小题满分13分)
为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于至之间.将数据分成以下组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生做初检.
(Ⅰ)求每组抽取的学生人数;
(Ⅱ)若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检,求这2名学生不在同一组的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,直三棱柱中,,,,分别
为,的中点.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)求证: // 平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)若是的一个极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间.
19.(本小题满分14分)
如图,,是椭圆的两个顶点.,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线平行于,与轴分别交于点,与椭圆相交于.证明:△的面积等于△的面积.
20.(本小题满分13分)
如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且.记为所有这样的数表构成的集合.
对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之积.令.
(Ⅰ)对如下数表,求的值;
(Ⅱ)证明:存在,使得,其中;
(Ⅲ)给定为奇数,对于所有的,证明:.
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B; 2.A; 3.C; 4.B; 5.C; 6.D; 7.A; 8.B.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.; 10.; 11.,;
12.; 13.,; 14..
注:11、13题第一空2分,第二空3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由已知得, ………………2分
即.
解得,或. ………………4分
因为,故舍去. ………………5分
所以. ………………6分
(Ⅱ)解:由余弦定理得. ………………8分
将,代入上式,整理得.
因为,
所以. ………………11分
所以 △的面积. ………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第,,组的学生人数之比为. …………2分
所以,每组抽取的人数分别为:
第组:;第组:;第组:.
所以从,,组应依次抽取名学生,名学生,名学生. ………………5分
(Ⅱ)解:记第组的位同学为,,;第组的位同学为,;第组的位同学为. ………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为:
,共种可能. ………………10分
其中,
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求. ………………12分
故所求概率为. ………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:连接.
因为是直三棱柱,
所以平面, ………………1分
所以. ………………2分
因为, 所以平面. ………………3分
因为,,
所以. ………………4分
(Ⅱ)证明:取中点,连接,. ………………5分
在△中,因为为中点,所以,.
在矩形中,因为为中点,所以,.
所以,.
所以 四边形为平行四边形,所以. ………………7分
因为平面,平面, ………………8分
所以 // 平面. ………………9分
(Ⅲ)解:线段上存在点,且为中点时,有平面. ………11分
证明如下:连接.
在正方形中易证.
又平面,所以,从而平面.…………12分
所以. ………………13分
同理可得,所以平面.
故线段上存在点,使得平面. ………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:. ………………2分
依题意,令,得. ………………4分
经检验,时符合题意. ………………5分(Ⅱ)解:① 当时,.
故的单调减区间为,;无单调增区间. ………………6分
② 当时,.
令,得,. ………………8分
和的情况如下:
故的单调减区间为,;单调增区间为.
………………11分
③ 当时,的定义域为.
因为在上恒成立,
故的单调减区间为,,;无单调增区间.
………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:依题意,得 ………………2分
解得,. ………………3分
所以 椭圆的方程为. ………………4分
(Ⅱ)证明:由于//,设直线的方程为,将其代入,消去,
整理得. ………………6分
设,.
所以 ………………8分
证法一:记△的面积是,△的面积是.
由,,
则. ………………10分
因为,
所以, ………………13分
从而. ………………14分
证法二:记△的面积是,△的面积是.
则线段的中点重合. ………………10分
因为,
所以,.
故线段的中点为.
因为,,
所以 线段的中点坐标亦为. ………………13分
从而. ………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:,;,,
所以. ………………3分
(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表: ,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然.
依此类推,将数表中的由变为,得到数表.
即数表满足:,其余.
所以,.
所以,其中.……………7分
【注:数表不唯一】
(Ⅲ)证明:用反证法.
假设存在,其中为奇数,使得.
因为, ,
所以,,,,,,,这个数中有个,个.
令.
一方面,由于这个数中有个,个,从而. ①
另一方面,表示数表中所有元素之积(记这个实数之积为);也表示, 从而. ②
①、②相互矛盾,从而不存在,使得.
即为奇数时,必有
. ………………13分
¥29.8
¥9.9
¥59.8