第六章　数　列

命题探究

解答过程

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.

所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.

(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,

故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,

上述两式相减,得

-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1

=-4-(3n-1)×4n+1

=-(3n-2)×4n+1-8.

得Tn=×4n+1+.

所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4n+1+

§6.1　数列的概念及其表示法

考纲解读

分析解读　本节内容在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项an,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分.

五年高考

考点　数列的概念及其表示

1.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 

答案　1;121

2.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为　　　　. 

答案　

3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　. 

答案　(-2)n-1

4.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.

解析　(1)由已知Sn=2an-a1,

有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),

即an=2an-1(n≥2).

从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.

又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).

所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.

所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

故an=2n.

(2)由(1)得=,

所以Tn=++…+==1-.

由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.

因为29=512<1 000<1 024=210,

所以n≥10.

于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.

教师用书专用(5—6)

5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是　　　　　　. 

答案　an=

6.(2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

三年模拟

A组　2016—2018年模拟·基础题组

考点　数列的概念及其表示

1.(2018江西新余四中、上高二中第一次联考,7)已知1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(na+b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为(　　)

A.a=3,b=-2,c=2

B.a=3,b=2,c=2

C.a=2,b=-3,c=3

D.a=2,b=3,c=3

答案　C

2.(2017湖南岳阳一模,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 017=(　　)

A.2 016 B.2 017

C.4 032 D.4 034

答案　B

3.(2017河北衡水中学高三摸底联考,5)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为(　　)

A.57 B.61 C.62 D.63

答案　A

4.(2017河北唐山一模,14)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=　　　　. 

答案　

B组　2016—2018年模拟·提升题组

(满分:45分　时间:40分钟)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2017湖北六校4月模拟,10)已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (n∈N*).若bn+1=(n-2λ)· (n∈N*),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是(　　)

A.λ< B.λ<1 C.λ< D.λ<

答案　A

2.(2016河南洛阳期中模拟,10)设数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an= (n∈N*),则数列{an}的通项公式是(　　)

A.an= B.an=

C.an= D.an=

答案　C

二、填空题(每小题5分,共20分)

3.(2018广东化州二模,16)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　. 

答案　an=

4.(2018湖北第二次联考,15)“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列{an}满足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),记其前n项和为Sn,设a2 018=t(t为常数),则S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=　　　　(用含t的代数式表示). 

答案　t

5.(2018皖江名校高三大联考,16)已知数列{an},Sn是其前n项和且满足3an=2Sn+n(n∈N*),则Sn=　　　　. 

答案　·3n- (2n+3)

6.(2017湖北襄阳优质高中联考,16)若a1=1,对任意的n∈N*,都有an>0,且n-(2n-1)an+1an-2=0,设M(x)表示整数x的个位数字,则M(a2 017)=　　　　. 

答案　6

三、解答题(共15分)

7.(2017安徽淮北第一中学第四次模拟,21)对于数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1-(n+1)=Sn+an+n,a1=b1=1,bn+1=3bn+2,n∈N*.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2) 令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.

解析　(1)∵Sn+1-(n+1)=Sn+an+n,∴an+1=an+2n+1,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1==n2,∴数列{an}的通项公式为an=n2.由bn+1=3bn+2,得bn+1+1=3(bn+1),∴{bn+1}是等比数列,首项为b1+1=2,公比为3,∴bn+1=2·3n-1,∴数列{bn}的通项公式为bn=2·3n-1-1.

(2)cn==,

∴Tn=+++…++,①

则3Tn=+++…++,②　

②-①得2Tn=6+-=6+-=-,∴Tn=-.

C组　2016—2018年模拟·方法题组

方法1　利用Sn与an的关系求通项公式

1.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= (an-1),a1=4,则数列{}的前n项和Tn=　　　　. 

答案　

2.(2016广东3月测试,15)已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意n∈N*,均有an,Sn, 成等差数列,则an=　　　　. 

答案　n

方法2　由递推公式求数列的通项公式

3.(2017江西九江十校联考二模,10)已知数列{an}满足an+1=+1(n∈N+),则使不等式a2 016>2 017成立的所有正整数a1的集合为(　　)

A.{a1|a1≥2 017,a1∈N+} B.{a1|a1≥2 016,a1∈N+}

C.{a1|a1≥2 015,a1∈N+} D.{a1|a1≥2 014,a1∈N+}

答案　A

4.(2018山东、湖北部分重点中学第二次联考,15)已知数列{an}的前n项之和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10=　　　　. 

答案　1 078

方法3　数列的单调性和最大(小)项

5.(2017湖南永州二模,11)已知数列{an}的前n项和Sn=3n(λ-n)-6,若数列{an}单调递减,则λ的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.(-∞,4) D.(-∞,5)

答案　A