第七章 第2节

[基础训练组]

1．(导学号14577626)如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xOz、xOy、yOz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为(　　)

A．94　　　　　　　　　 B．32

C．64 D．16

解析：B　[由已知的三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面面积S＝(6－2)2＝16，高h＝8－2＝6，

所以四棱锥的体积V＝Sh＝32，故选B.]

2．(导学号14577627)(2018·长春市二模)堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”(注：一丈＝十尺)．(　　)

A．25 500立方尺 B．34 300立方尺

C．46 500立方尺 D．48 100立方尺

解析：C　[由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，其体积为×20×186×25＝46 500立方尺．故选C.]

3．(导学号14577628)(2018·乌鲁木齐市三诊)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．8＋2π B．8＋3π

C．10＋2π D．10＋3π

解析：D　[根据三视图可知该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，其表面积S表面积＝1×1×2＋1×2×4＋π×12＋2×π×1＝10＋3π.故选D.]

4．(导学号14577629)(2018·柳州市、钦州市一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为(　　)

A．48 B．16

C．32 D．16

解析：B　[根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O－ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD＝2，AB＝DC＝OC＝2.

作OE⊥CD，垂足是E.∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形．

∵CD∩BC＝C，∴OE⊥平面ABCD.

∵△ODC的面积S＝4×4－×2×2－×2×4×2＝6，

∴6＝·CD·OE＝×2×OE，得OE＝，

∴此四棱锥O－ABCD的体积V＝S矩形ABCD·OE＝×4×2×＝16.故选B.]

5．(导学号14577630)(2018·濮阳市一模)某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的体积是(　　)

A. B.

C．8－ D．8－

解析：D　[由已知中的三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体，挖去了一半径为1，高为1的圆锥(如图)，正方体的体积为V正方体＝2×2×2＝8，圆锥的体积为V锥＝×12×π×1＝π，所以该几何体的体积V＝8－.故选D.]

6．(导学号14577631)(2018·黄山市二模)祖暅(公元前5～6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，短轴长为4 cm，长轴为6 cm的椭球体的体积是　__________　cm3.

解析：因为总有S圆＝S环，所以椭半球体的体积等于V柱－V锥＝πb2a－πb2a＝πb2a，椭球体的体积为

V＝πb2a.∵2b＝4,2a＝6，∴b＝2，a＝3，所以，该椭球体的体积是×22×3π＝16π.

答案：16π

7．(导学号14577632)(2018·杭州二模)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是　________　cm3，表面积是　________　cm2.

解析：由该几何体的三视图，知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，如图所示；该组合体的体积为V＝V四棱锥D－AEGA1＋V三棱柱DEG－CFH＋V四棱锥C－BFHD1

＝×(2×4)×3＋×4＋×(2×4)×3＝8＋24＋8＝40(cm3)；

它的表面积为S＝S矩形ABB1A1＋2S梯形ABCD＋2S△ADA1

＝8×4＋2××(4＋8)×＋2××4×＝32＋16cm2.