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    2018年全国中考数学试卷-四川成都中考数学(解析版)-

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    2018年全国中考数学试卷解析（精品文档）

    2018年四川省成都市初中毕业、升学考试
    数学
    （满分150分，考试时间120分钟）
    A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分）
    一、选择题（每小题3分，共30分） 1． （2018四川省成都市，1，3）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）

    A．a B．b C．c D．d 【答案】D
    【解析】解：数轴上表示的实数，右边的数总比左边的大，d在最右边，所以d最大，故选择D． 【知识点】数轴；
    2． （2018四川省成都市，2，3）2018年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道．将数据40万用科学记数法表示为（ ）
    A．4×104 B．4×105 C．4×106 D．0.4×106 【答案】B
    【解析】解：40万＝400000＝4×105．故选择B． 【知识点】科学计数法

    3． （2018四川省成都市，3，3）如图所示的正六棱柱的主视图是（ ）


    【答案】A
    【解析】解：因为主视图是从正面看物体，如图所示的正六棱柱从正面可以看到中间一个大的矩形和两侧的两个等大的小矩形．故选择A． 【知识点】三视图；主视图

    4． （2018四川省成都市，4，3）在平面直角坐标系中，点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（3，－5） B．（－3，5） C．（3，5） D．（－3，－5） 【答案】C
    【解析】解：因为关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标均为互为相反数，即P（x，y）关于原点对称的点P’（－x，－y），所以P（－3，－5）关于原点对称的点坐标为（3，5），故选择C． 【知识点】中心对称；关于原点对称的点的坐标

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    5．（2018四川省成都市，5，3）下列计算正确的是（ ）
    A．x2＋x2＝x4 B．xy＝x2－y2 C．x2y＝x6y D．xx3＝x5

    2    3    2【答案】D
    【解析】解：因为x2＋x2＝2x2，故A错误；xy＝x2－2xy＋y2，故B错误；x2y＝x6y3，故C错误；23x2x3＝x5，D正确．故选择D．
    【知识点】整式乘法；乘法公式；合并同类项 6．（2018四川省成都市，6，3）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）

    A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 【答案】C
    【解析】解：因为∠ABC＝∠DCB，加上题中的隐含条件BC＝BC，所以可以添加一组角或是添加夹角的另一组边，可以证明两个三角形全等，故添加A、B、D均可以使△ABC≌△DCB．故选择C． 【知识点】三角形全等的判定；
    7． （2018四川省城都市，7，3）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的 说法正确的是（ ）
    A．极差是8℃ B．众数是28℃ C．中位数是24℃ D．平均数是26℃

    【答案】B
    【解析】解：∵由图象提供的信息可知最高气温为30℃，最低气温为20℃，温差为10℃，A错误；一周中有两天日最高气温都是28℃，出现次数最多，所以众数是28℃，B正确；将20℃，28℃，28℃，24℃，26℃，30℃，22℃按从小到大排列后，居中的是26℃，所以中位数是26℃，C错误；七个数据的平均数是（20＋28＋28＋24＋26＋30＋22）÷7≈25.4℃，D错误．故选择B．

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    【知识点】众数；中位数；极差；平均数
    x11＋＝1的解是（ ） xx2 A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 【答案】A
    x11【解题过程】解：＋＝1，去分母（x－2）（x＋1）＋x＝x（x－2），解得x＝1，检验：把x＝1代入xxx2（x－2）≠0，∴x＝1是原方程的解．故选择A．
    【知识点】分式方程；分式方程的解法 9．（2018四川省成都市，9，3）如图，在ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ） A．π B．2π C．3π D．6π
    8． （2018四川省成都市，8，3）分式方程
    【答案】C
    【解题过程】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，12032∴阴影部分的面积＝＝3π．故选择C．
    360【知识点】平行四边形的性质；扇形面积
    10．（2018四川省成都市，10，3）关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是（ ）
    A．图像与y轴的交点坐标为（0，1） B．图像的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3 【答案】D 【解题过程】解：因为当x＝0时，y＝－1，所以图像与y轴的交点坐标为（0，－1），故A错误；图像的对称轴为x＝b＝－1，在y轴的左侧，故B错误；因为－1＜x＜0时，在对称轴的右侧，开口向上，y的值随x值的2a2增大而增大，故C错误；y＝2x2＋4x－1＝2x1－3，开口向上，所以有最小值－3，D正确．故此选择D． 【知识点】二次函数的性质
    第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
    二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2018四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为50° ，则它的顶角的度数为 ． 【答案】80° 【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为50° ，且两个底角相等，∴顶角为180°－2×50°＝80°． 【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和 12．（2018四川省成都市，12，4）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机
    3摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
    8【答案】6 3a3【解析】解：设盒子中装有黄色乒乓球的个数为a个，因为摸到黄色乒乓球的概率为，所以＝，得a＝6．
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    【知识点】概率
    13．（2018四川省成都市，13，4）已知【答案】12
    abc＝＝，且a＋b－2c＝6．则a的值为 ． 654abc＝＝＝k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k654＝2，∴a＝6k＝12．
    【知识点】比例；一元一次方程 14．（2018四川省成都市，14，4）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大【解析】解：设1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E，若DE＝2，CE＝3，则矩形2的对角线AC的长为 ．
    于
    【答案】30
    【思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，则有AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理可以求出AD的长，然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可．
    【解析】解：连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，∴AD＝AE2DE2＝5，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝5252＝30．

    【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理

    三、解答题（本大题共6个小题，满分54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（2018四川省成都市，15，6）（1）22＋8－2sin60°＋｜－3｜


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    【思路分析】结合负整数指数幂的运算法则、立方根、特殊角的三角形函数值，以及绝对值的性质进行运算， 319＋2－2×＋3＝
    244【知识点】幂的运算；立方根；特殊角三角形函数值；绝对值；
    【解析】解：2＋8－2sin60°＋｜－3｜＝231x）÷2 x1x1【思路分析】根据运算法则，先算括号内的，通分变成同分母的分式进行加减运算，然后再算乘除法．最后利用因式分解进行约分化成最简的形式． 15．（2018四川省成都市，15，6）（2）（1－x1x1＝x－1． x211xx11x【解题过程】解：（1－）÷2＝（）×＝×xxx1x1x1x1【知识点】；分式的通分和约分； 因式分解；分式的混合运算；
    16．（2018四川省成都市，16，6）若关于x的一元二次方程：x2－（2a＋1）x＋a2＝0有两个不相等的实数根， 求a的取值范围．
    【思路分析】利用根的判别式△＝b24ac，当△＞0时方程有两个不相等的实数根，代入得到关于a的不等式，解这个不等式便可求出a的取值范围．

    22【解题过程】解：由题意可知，△＝2a1－4×1×a＝2a1－4a＝4a＋1．
    22∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4a＋1＞0，解得a＞－1．
    4【知识点】一元二次方程；根的判别式； 17．（2018四川省成都市，17，8）为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度” 的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
    人数605448满意度非常满意满意比较满意不满意人数1254n6所占百分比10%m40%5%42363024181260非常满意满意126比较满意不满意满意度54

    根据图表信息，解答下列问题：
    （1）本次调查的总人数为 ，表中m的值为 ； （2）请补全条形统计图；
    （3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定． 【思路分析】（1）根据非常满意的人数和它所占的百分比，就可以求出调查的总人数；用满意的人数除以总人数就可以求出所占的百分比；（2）用总人数减去表中已知的数据，就可以得出比较满意的人数；或者用比较满意人数所占的百分比乘以总人数也可以得出比较满意的人数，然后在图中画出即可；（3）根据表格信息，能够知道“非常满意”和“满意”的人数之和，用它去除以总人数便可以得出所占的百分比，然后用每天接待的游客数乘以这
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    个百分比，就可以知道每天得到多少游客的肯定了． 【解题过程】解：（1）∵12÷总人数×100%＝10%，∴总人数＝120（人）；m＝54÷120×100%＝45%． （2）比较满意人数为：120×40%＝48（人），图如下．
    人数60544842363024181260非常满意满意126比较满意不满意满意度5448
    12+54＝1980（人）．
    120答：该景区服务工作平均每天得到1980人的肯定． 【知识点】条形统计图 18．（2018四川省成都市，18，8）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务，如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （3）3600×北东C70°A37°BD
    【思路分析】在RtΔADC中已知一个锐角和斜边，可以利用锐角三角函数中的余弦函数求出CD的长，然后在RtΔBDC中，已知直角边CD和锐角∠BCD，利用三角形函数中的正切函数求出BD的长． 【解题过程】解：由题意得，∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80．在RtΔADC中，cos∠ACD＝AC·cos70°≈80×0.34＝27.2（海里）．在RtΔBDC中，tan∠BCD＝CD，∴CD＝ACBD，∴BD＝CD·tan37°≈27.2×0.75CD＝20.4（海里）．
    答：还需航行的距离BD的长为20.4海里． 【知识点】方向角；锐角三角函数； 19．（2018四川省成都市，19，10）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋b的图象经过点A（－2，
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    0），与反比例函数y＝k（x＞0）的图象交于B（a，4）．
    x（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
    （2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝k（x＞0）的图象于点N，若A，O，xM，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
    y    B    AOx
    【思路分析】（1）因为一次函数y＝x＋b的图象经过点A（－2，0），所以把A点坐标代入就可求出b，即可得k到一次函数解析式，因为B（a，4）是一次函数和反比例函数y＝（x＞0）的交点，所以把y＝4代入一次xk求出k得到反比例函数解析式；（2）因为MN∥x轴，A，O，M，Nx为顶点的四边形为平行四边形，则有MN＝AO＝2，又M在直线AB上，所以可以设M的横坐标为m，纵坐函数中可以求B点坐标，代入到y＝标用m的代数式表示出来，由MN∥x轴可知M与N的纵坐标相等，代入y＝k，又可以将N的横坐标也用xm的代数式表示出来，然后｜xMxN｜＝2，可以求出m的值，即可求出M的坐标． 【解题过程】解：设M（m，m＋2），N（8，m＋2），∵MN∥x轴，∴当MN＝OA时，A，O，M，N为顶m288｜＝2，当m－＝2时，解得m1＝23，m2m2m28＝－2时，解得m1＝－2＋22，m2＝m2点的四边形为平行四边形．∵MN＝｜xMxN｜，∴｜m－＝－23，经检验都是方程的根，因为m＞0，∴m＝23；当m－－2－22，经检验都是方程的根，因为m＞0，∴m＝－2＋22，∴M的坐标为（23，23＋2）或（－2＋22，22）．
    y    N    B    M    M    N    AOx

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    【知识点】一次函数；反比例函数；平行四边形的性质 20．（2018四川省成都市，21，10）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线；
    （2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE＝8，sinB＝5，求DG的长．
    13    A    O    E    B    D    GFC
    【思路分析】（1）连接OD，根据同圆半径相等，及角平分线条件得到∠DAC＝∠ODA，得OD∥AC，切线得证；（2）连接EF，DF，根据直径所对圆周角为直角，证明∠AFE＝90°，可得EF∥BC，因此∠B＝∠AEF，再利用同弧所对圆周角相等可得∠B＝∠ADF，从而证明△ABD∽△ADF，可得AD与AB、AF关系；（3）根据∠AEF＝∠B，利用三角函数，分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF，代入（2）的结论中，求出AD，在利用两角对应相等，证明△OGD∽△FGA，再利用对应边成比例，求出DG：AG的值，即可求得DG的长． 【解题过程】解：（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O半径，BC是⊙O的切线． （2）连接EF，DF．∵AE为⊙O直径，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，又∵∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF，又∠OAD＝∠DAC，∴△ABD∽△ADF，∴AB·AF，∴AD＝xy．
    （3）设⊙O半径为r，在Rt△DOB中sinB＝sin∠AEF＝sinB＝ABAD＝，∴AD2＝ADAFOD5r5＝，∴＝，解得r＝5，∴AE＝10，在Rt△AFE中13OBr813503013AF550，∴AF＝10×＝，∴AD＝xy＝18＝．∵∠ODA＝∠DAC，∠13131313AEDGOD1330DGO＝∠AGF，∴△OGD∽△FGA，∴＝＝，∴DG＝13．
    AGAF1023AO    E    B    D    GFC
    【知识点】切线的判定；相似三角形；圆的有关性质；锐角三角函数
    B卷（共50分）
    四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 21．（2018四川省成都市，21，4）x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为 ． 【答案】0.36

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    【思路分析】将已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，相加化简求出x＋2y的值，利用完全平方公式即可求值．

    【解题过程】解：∵x＋y＝0.2①，x＋3y＝1②，①＋②得：2x＋4y＝1.2，∴x＋2y＝0.6，∴x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y2＝0.36．
    【知识点】完全平方公式；整式加减 22．（2018四川省成都市，22，4）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．

    12
    13【思路分析】利用四个直角三角形面积的和除以正方形面积即可求解．

    【解题过程】解：∵两直角边之比均为2：3，∴直角三角形的斜边平方＝正方形的面积＝22＋32＝13，∵四个直
    【答案】角三角形面积和＝4×【知识点】概率

    23．（2018四川省成都市，23，4）已知a＞0，S1＝当n为大于1的奇数时，Sn＝含a的代数式表示 ）

    1Sn1112×2×3＝12，∴针尖落在阴影区域的概率＝． 213111，S2＝－S1－1，S3＝，S4＝－S3－1，S5＝，…（即
    S2S4a；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1），按此规律S2018＝ ．（用
    1a
    a【思路分析】分别用a表示出S1、S2、S3、…、直到发现循环规律，即可求解．

    1111a【解题过程】解：∵S1＝，∴S2＝－S1－1＝－－1＝－，∴S3＝＝－a，∴S4＝－S3－1＝a－S2aaa1a1a1111＝－1，∴S5＝＝－1－a，∴S6＝－S5－1＝a，∴S7＝＝＝S1，故此规律为7个一循环，∵2018÷7S6S4a1a【答案】－1a．
    a【知识点】整式运算；规律题 ＝336余2，∴S2018＝－24．（2018四川省成都市，24，4） 如图，在菱形ABCD的中，tanA＝4，M，N分别在边AD，BC上，将四边3BN形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段AB的对应线段EF经过顶点D．当EF⊥AD时，的值为 ．
    CN
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    E    D    C    E    D    H    CMFNMFNABAB
    2
    7【思路分析】延长NF交DC于H．根据翻折得∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，利用菱形中邻角互补，可得到∠A＝【答案】∠DFH，且∠DHF＝90°，在Rt△EDM中，根据tanA＝tanE＝在解Rt△DHF和Rt△NHC，求出CN，BN，即可求出4，得到△EDM三边的关系，求出菱形边长，3BN的值．
    CN【解题过程】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠DFN＋∠DFH＝180°，又∵∠B＝∠DFN，∴∠A＝∠DFH，∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°，又∵∠ADF＝90°，∴∠A＋∠FDC＝90°，∴∠DFH＋∠FDC＝90°，∴∠DHF＝90°，∵∠A＝∠E，∴tanA＝tanE＝DM4＝，设DM＝3DE4x，DE＝3x，∴EM＝DE2DM2＝5x，∴AM＝5x，∴AD＝AM＋DM＝9x，∵EF＝AB＝AD＝9x，∴DF＝EF－DE＝6x，在Rt△DFH中∠A＝∠DFH，∴tanA＝tan∠DFH＝＝DC－DH＝CN＝2x，∴DH4424＝，∴DH＝DF＝x，∴CH3FH5521HN45x，在Rt△CHN中∠A＝∠C，∴tanA＝tanC＝＝，∴CN＝CH＝7x，∴BN＝BC－35HC32BN＝． CN7【知识点】菱形性质；锐角三角函数；翻折变换
    k(k＞0与直线y＝x交于A、B两点(点A在第三象限，将双曲x线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）25．（2018四川省成都市，25，4） 设双曲线y＝为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线y＝yPk(k＞0的眸径为6时，k的值为 ． xBxOQA
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    【答案】3
    2    k与直线y＝x交于A、B两点，求出A、B两点坐x【思路分析】由眸径为6得OP＝3，求得P点坐标，根据y＝标根据平移规律得到P的对应点坐标，代入双曲线y＝k解析式中，即可求得k的值．
    xkk上．∵y＝与xx【解题过程】解：连接PA，作BP´∥AP．则四边形PABP´为平行四边形，且P´在双曲线y＝直线y＝x交于A、B两点，∴x＝∴P(－k，解得x＝±k，∴A(－k，－k，B(k，k，根据题意可得OP＝3，x32323232，，∵四边形PABP´为平行四边形，∴PP´∥AB，PP´＝AB，∴P´(－＋2k，＋2k，222232323k中，得(－＋2k(＋2k＝k，解得k＝．
    22x2yP´B代入y＝POAx    Q
    【知识点】反比例函数；平移；

    五、解答题（本大题共3小题，共30分） 26．（2018四川省成都市，26，8）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元与种植面积x(m2之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
    （1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；
    （2）广场上甲、乙两种花卉种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植面积总费用最少？最少费用为多少元？
    y（元）5500039000O300500x（m2
    【思路分析】（1）根据函数图象把(300，39000，(500，55000分别代入y＝k1x与y＝k2x＋b中即可求得解析式．
    （2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200－am2，结合（1）中的函数关系式，分别求出甲、乙两种花卉的费用求和，再结合函数的增减性进行讨论，即可求出最小值．

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    【解题过程】解：（1）当0≤x≤300时，设函数关系式为y＝k1x，过(300，39000，则39000＝300k1，解得k1＝130，∴当0≤x≤300时，y＝130x，当x＞300时，设函数关系式为y＝k2x＋b，过(300，39000和(500，5500039000300k2bk80130x(0≤x≤300两点，∴，解得2，y＝80x＋1500．综上y＝．
    80x1500(x＞30055000500kbb15002（2）设甲种花卉的种植面积为am2，则乙种花卉的种植面积为(1200－am2． a≥200根据题意得，解得200≤a≤800．
    a≤2(1200a当200≤a≤300时，总费用W1＝130a＋100(1200－a＝30a＋120000，当a＝200时，总费用最少为Wmin＝30×200＋120000＝126000(元； 当300≤a≤800时，总费用W2＝80a＋15000＋100(1200－a＝－20a＋135000，当a＝800时，总费用最少为Wmin ＝－20×800＋135000＝119000，∵119000＜126000，∴当a＝800时，总费用最少为119000，此时1200－a＝400， ∴当甲种、乙两种花卉面积分别为800 m2和400 m2时，种植面积总费用最少，最少费用为119000元． 【知识点】解不等式组；一次函数；一次函数图象的性质；
    27．（2018四川省成都市，27，10）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A´B´C´(点A、B的对应点分别为A´、B´，射线CA´、CB´分别交直线m于点P，Q．
    （1）如图1，当P与A´重合时，求∠ACA´的度数；
    （2）如图2，设A´B´与BC的交点为M，当M为A´B´的中点时，求线段PQ的长； （3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA´，CB´的延长线上时，试探究四边形PA´B´Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA´B´Q的最小面积；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）当P与A´重合时，解Rt△A´BC，求出∠BA´C的度数，即为∠ACA´的度数；（2）当M为A´B´的中点时，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得∠MA´C＝∠BCA，解Rt△PBC求出PB，利用同角余角相等，得∠BQC＝∠PCB，解Rt△CBQ求出BQ，根据PQ＝PB＋BQ即可求得PQ；（3）作Rt△PCQ斜边中1PQ·BC－S△PA´B´＝CM·BC－S△PA´B´，根据垂线段最短，当CM⊥PQ2时，S四边形PA´B´Q最小，求出其最小值即可． 线CM，由S四边形PA´B´Q＝S△PCQ－S△PA´B´＝mA´(PBQmPA´MB´AC图1AC图2AC备用图B´BQmB
    【解题过程】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝7，AC＝2，∴BC＝AB2AC2＝3，当P与A´重合时，A´C＝AC＝2，在Rt△A´BC中，sin∠BA´C＝3BC＝，∴∠BA´C＝60°，∵m∥AC，∴∠ACA´＝∠BA´2ACC＝60°．
    （2）∵∠A´CB´＝90°，M为A´B´的中点时，∴A´M＝CM，∴∠MA´C＝∠A´CM＝∠A，∵在Rt△ABC中，tan∠A＝33BCPB3＝，∴在Rt△PBC中，tan∠A´CB＝＝，∴PB＝．∵∠PCB＋∠BCQ＝∠BCQ22ACBC2 12

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    ＋∠BQC＝90°，∴∠BQC＝∠PCB，∴tan∠BQC＝tan∠A´CB＝BC3，∴BQ＝＝2，∴PQ＝PBtanBQC2＋BQ＝7．
    23111A´C·B´C＝×2×3＝3，S△PCQ＝PQ·BC＝PQ，2222（3）取PQ的中点M，连接CM．∵S△CA´B´＝∴S四边形PA´B´Q＝S△PCQ－S△CA´B´＝´B´Q3PQ－3，∵M为PQ的中点，∠PCQ＝90°，∴PQ＝2CM，∴S四边形PA2＝S△PCQ－Q－S△CA´B´＝3CM－3，当CM最小时，S四边形PA´B´Q最小．∵CM≤BC＝3，∴当CM＝3时，S四边形PA´B´Q的最小值＝ 3CM－3＝3－3．
    Pm    A´MBQB´AC
    【知识点】解直角三角形；直角三角形斜边中线等于斜边一半；旋转
    5为对称轴的抛物线y＝ax22＋bx＋c与直线l：y＝kx＋m(k＞0交于A(1，1，B两点，与y轴交于点C(0，5，直线l交于点D． （1）求抛物线的函数表达式；
    28．（2018四川省成都市，28，12）如图，在平面直角坐标系中xOy中，以直线x＝（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若△BCD的面积相等，求点G的坐标；
    （3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．
    y    yAF3＝，且△BCG与FB4ClFDOAxBC    l    FDO备用图AxB
    【思路分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，结合对称轴，及A(1，1， C(0，5，即可求得抛物线解析
    式；（2）过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AM⊥BH轴于M，交抛物线对称轴于N，过点G作GP∥y轴交直线BC于点Q，则BM＝1．利用△AEN∽△ABM，求出B的坐标，求出直线AB、BC的解析式，可求出S△BCD，设 G(p，p2－5p＋5 ，再利用铅锤底水平宽表示S△BCG，根据S△BCG＝S△BCD，列出关于p的一元二次方程，求解
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    即可；（3）过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BT⊥x轴于T，连接PA、PB．设P(x，0，根据直线AB过点A(1，1，求出直线AB的解析式y＝kx＋1－k，根据∠APB＝∠AEP＝∠PTB＝90°，通过证明△AEP∽△PTB，∴＝AEPTEP，列出关于x的一元二次方程，结合已知在x轴上有且只有一点P，可得△＝0，即可求出k的值．
    BTb52a2a1【解题过程】（1）设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得1abc，解得b5，∴抛物线解析式c55c为y＝x2－5x＋5．（2）过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AM⊥BH轴于M，交抛物线对称轴于N，过点G作GP∥y轴交直线BC于点Q，则BM＝1．∵FN∥BM，∴△AEN∽△ABM，∴＝×AFANAF3AF＝，∵＝，∴FB4ABAMABAN3555537＝，∵抛物线y＝x2－5x＋5＝(x－2－，∴抛物线的对称轴为x＝，∴AN＝－1＝，AM＝AM7242223377911911＝，点B的横坐标为＋1＝，代入y＝x2－5x＋5中，得y＝，∴B(，，设直线AB的解析式22224241k119111kb2为y＝kx＋b，则42，解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋，∴D(0，，设直线BC的解222b11kb215n119m析式为y＝mx＋n，则119，解得2，∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，∴CD＝5－＝，222mn42n5∴S△BCD＝p2－＝1998111××＝．设 G(p，p2－5p＋5 ，则Q(p，－p＋5，∴GQ＝｜p2－5p＋5－(－p＋5｜＝｜222822111911198111p｜，∵S△BCG＝QG×，又∵△BCG与△BCD的面积相等，∴｜p2－p｜×＝，当p2－p2222228293119时，p1＝，p2＝3，∵G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，∴p2＝3，∴G(3，－1；当p2－p＝－时，22229317931793179317，p4＝，∵G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，∴p3＝，∴G(，4444解得p3＝67317931767317；综上G(3，－1 或(，． 848yGClFDOANBQMHx

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    （3）过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BT⊥x轴于T，连接PA、PB．直线AB的解析式为y＝kx＋b，过A(1，1，1＝k＋b，∴b＝1－k ，∴直线AB的解析式为y＝kx＋1－k，∴ kx＋1－k＝x2－5x＋5，整理得x2－(5＋kx＋4＋k＝0，x1＝1，x2＝4＋k，∴B (4＋k，k2＋3k＋1，设p(x，0，∵∠APB＝90°，∠AEP＝∠PTB＝90°，∴∠APE＋∠EAP＝∠APE＋∠BPT＝90°，∴∠EAP＝∠BPT，∴△AEP∽△PTB，∴AEEP1＝，∴＝PTBT4kxx1，∴x2－(5＋kx＋k2＋4k＋5＝0，∵在x轴上有且只有一点P，∴△＝(5＋k2－4×1×(k2＋4k＋5＝0，，k3k12即3 k2＋6k－5＝0，解得k＝
    y326326，∵k＞0，∴k＝ ． 33ClFDOAEPTxB
    【知识点】二次函数的表达式；二次函数的性质；一次函数的表达式；三角形面积公式；相似三角形的判定与性质；


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