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    人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套

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    人教版九年级数学上册中考专题复习题
    1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换
    10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题
    12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合
    19.易错专题：概率与放回、不放回问题


    类比归纳专题：配方法的应用

    ◆类型一配方法解方程
    1．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是（）
    A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－2C．x1＝1＋2，x2＝1－2
    D．x1＝－1＋2，x2＝－1－2
    2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
    A．x2－2x－99＝0化为(x－12＝100B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋42＝25
    2
    C．2t2－7t－4＝0
    化为7t－814＝162D．3x2－4x－2＝0
    化为x－23＝109
    3．利用配方法解下列方程：
    (1(2016·淄博中考x2＋4x－1＝0；
    (2(x＋4(x＋2＝2；
    (34x2－8x－1＝0；
    (43x2＋4x－1＝0.
    ◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x2－4x＋5的最小值是（）A．－1B．1C．2D．5
    ——体会利用配方法解决特定问题

    5．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）
    A．有最大值13B．有最小值－3C．有最大值37D．有最小值16．(2016－2017·夏津县月考求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．

    7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.

    ◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）
    A．－1B．1C．±1D．±2
    9．若方程25x2－(k－1x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）
    A．－9或11B．－7或8C．－8或9D．－6或7
    ◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）
    A．3B．－1C．2D．－2
    11．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y2016的值．

    答案：




    类比归纳专题：一元二次方程的解法
    ——学会选择最优的解法


    ◆类型一一元二次方程的一般解法
    方法点拨：形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.
    1.用合适的方法解下列方程：
    51
    x－－＝0；（1）24
    （2）x2－6x＋7＝0；
    （3）x2－
    21
    x＋＝0；28
    2


    （4）3x（2x＋1）＝4x＋2.
    ◆*类型二一元二次方程的特殊解法一、十字相乘法
    方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.

    第1种拆法：4x－x＝3x（正确），第2种拆法：2x－2x＝0（错误），所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.2.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.

    3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x2－5x－6＝0；（2）x2＋9x－36＝0.
    二、换元法
    方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.
    4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_______.5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.
    51x－＝，1.解：（1）移项，得24
    2

    5
    两边开平方，得x－＝±
    25151即x－＝或x－＝－，
    2222
    1
    ，4
    ∴x1＝3，x2＝2；
    （2）移项，得x2－6x＝－7，
    配方，得x2－6x＋9＝－7＋9，即（x－3）2＝2，两边开平方，得x－3＝±2，∴x1＝3＋2，x2＝3－2；
    （3）原方程可化为8x2－42x＋1＝0.∵a＝8，b＝－42，c＝1，
    ∴b2－4ac＝（－42）2－4×8×1＝0，－（－42）±02∴x＝＝，
    42×8∴x1＝x2＝
    2
    ；4
    |（4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）＝0，
    ∴2x＋1＝0或3x－2＝0，12
    ∴x1＝－，x2＝.
    23
    2.x－1＝0或x＋3＝0.
    3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）＝0，
    ∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1；
    （2）原方程可变形为（x＋12）（x－3）＝0，
    ∴x＋12＝0或x－3＝0，∴x1＝－12，x2＝3.14.－或1
    2
    5.解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t＋6）＝7，
    ∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.
    当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，x（x＋5）＝0，
    ∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x＋8＝0，
    ∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.

    ∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.
    易错易混专题：一元二次方程中的易错问题

    ◆类型一利用方程或其解的定义求一元二次方程(m－22x2＋(2m＋1x＋1＝0待定系数时，忽略“a≠0”有解，那么m的取值范围是（）
    1．(2016－2017·江都区期中若关于x33
    A．m＞B．m≥－
    44的方程(a＋3x|a|1－3x＋2＝0是一元二次方
    程，则a的值为______.【易错1】33
    C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
    442．关于x的一元二次方程(a－1x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是（）
    A．－1B．1
    C．1或－1D．－1或03．已知关于x的一元二次方程(m－1x2
    ＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.
    (1求m的值；(2求方程的解．

    ◆类型二利用判别式求字母取值范围时，忽略“a≠0”及“a中的a≥0”
    4．(2016－2017·抚州期中若关于x的
    5．已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k
    的取值范围是________.
    6．若m是非负整数，且关于x的方程(m－1x2－2x＋1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．


    ◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”
    7．(2016·朝阳中考关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，
    2且x2则k的值为_______.【易错2】1＋x2＝1，
    8．已知关于x的方程x2＋2(m－2x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】


    ◆类型四与三角形结合时忘记取舍9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）
    A．11B．17
    C．17或19D．19
    10．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．





    考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合
    ◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合
    1．(雅安中考已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）
    A．5B．7C．5或7D．102．(广安中考一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）
    A．12B．9
    C．13D．12或9
    3．(罗田县期中菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）
    A．16B．12C．16或12D．244．(烟台中考等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）
    A．9B．10C．9或10D．8或10
    5．(齐齐哈尔中考△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．
    6．(西宁中考若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】
    7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】

    ◆类型二一元二次方程与一次函数的综合
    8．(泸州中考若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）

    9．(安顺中考若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1x＋m－1的图象不经过（）
    A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
    10．(葫芦岛中考已知k、b是一元二次方程(2x＋1(3x－1＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）
    A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
    11．(广元中考从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2x和关于x的一元二次方程(m＋1x2＋答案：
    mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．
    ◆类型三一元二次方程与二次根式的综合
    12．(达州中考方程(m－2x2－3－mx1
    ＋＝0有两个实数根，则m的取值范围为4（）
    55
    A．m＞B．m≤且m≠2
    22
    C．m≥3D．m≤3且m≠2
    13．(包头中考已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．





    12.B13.

    解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题

    ◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
    1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）

    A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

    第1题图第2题图

    2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）
    3．已知函数y＝(x－a(x－b(其中a＞b的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）


    第3题图第4题图
    4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1x＋c的图象可能是（）

    ◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
    5．(2016·新疆中考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）
    A．a＞0B．c＜0
    C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小
    答案：

    第5题图第7题图
    6．(2016·黄石中考以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）
    A．b≥5
    4
    B．b≥1或b≤－1
    C．b≥2D．1≤b≤27．(2016·孝感中考如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0的部分图象，其顶点坐标为(1，n，且与x轴的一个交点在点(3，0和(4，0之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）
    A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下abc＜0；②b2列结论：①－4ac
    4a＞0；③ac－b
    ＋1＝0；④OA·OB＝－c
    a.其中正确结论的序
    号是____________.






    易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围
    ——类比各形式，突破给定范围求最值

    ◆类型一没有限定自变量的范围求最值

    1．函数y＝－(x＋12＋5的最大值为_______.
    2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法11】（）
    A．3B．2C．1D．－1
    3．已知函数y＝x(2－3x，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．

    ◆类型二限定自变量的取值范围求最值
    4．(2016－2017·双台子区校级月考函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2的最大值和最小值分别是（）
    A．4和－3B．－3和－4C．5和－4D．－1和－4

    5．二次函数y＝－13
    2x2＋2x＋2的图象
    如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大
    值是【方法11】（）
    A．3.125B．4C．2D．0
    6．已知0≤x≤3
    2，则函数y＝x2＋x＋1
    （）
    A．有最小值3
    4，但无最大值
    B．有最小值3
    4，有最大值1
    C．有最小值1，有最大值19
    4

    D．无最小值，也无最大值
    ◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围
    7．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（）
    A．－1≤y≤5B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5D．－2≤y≤1
    8．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（）
    A．y≥3B．y≤3C．y＞3D．y＜3
    9．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值C

    A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y＝m

    ◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
    10．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（）
    A．－2B．1C．2D．9
    11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（）
    A．3B．－1C．4D．4或－1

    12．已知y＝－x(x＋3－a＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）
    A．a＝9B．a＝5C．a≤9D．a≤5

    13．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋bx2＋(a＋bx－(a－b的最小值为－a2
    ，则

    ∠A＝_______度．
    14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．

    答案：








    难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做
    ——代几结合，突破面积及点的存在性问题

    ◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4和(－2，5，请解答下列问题：(1求抛物线的解析式；(2若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．


    二、线段(或周长的最值问题及等腰三角形的存在性问题
    2．(2016·凉山州中考如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0经过A(－1，0，B(3，0，C(0，－3三点，直线l是抛物线的对称轴．
    (1求抛物线的函数关系式；
    (2设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
    (3点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．




    ◆类型二二次函数与平行四边形的综合

    3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    4．如图，抛物线y＝13
    2x2＋x－2与x轴
    相交于A，B两点，顶点为P.
    (1求点A，B的坐标；
    (2在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
    (3坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．



    ◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合

    5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.

    第5题图第6题图
    6．如图，抛物线y＝ax2－x－3
    2与x轴正半
    轴交于点A(3，0．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．
    7.(2016·新疆中考如图，对称轴为直线x＝7
    2的抛物线经过点A(6，0和B(0，－4．(1求抛物线的解析式及顶点坐标；(2设点E(x，y是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
    (3当(2中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．


    8．(2016·百色中考正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．
    (1建立适当的平面直角坐标系，
    ①直接写出O，P，A三点的坐标；②求抛物线l的解析式；
    (2求△OAE与△OCE面积之和的最大值．


    答案：













    拔高专题抛物线中的压轴题
    一、基本模型构建

    常见模型


    思考
    在边长为1的正方形网格中有A,B,C三点，在射线BD上可以找出画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形一点组成三角形，可得ABCD。△ABC、△BEC、△
    CBD为等腰三角形。
    二、拔高精讲精练
    探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
    例1:在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；
    （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

    解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
    16a4bc＝0

    将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：c＝4
    4a2bc＝0

    1a＝21解得b＝1，所以此函数解析式为：y=x2+x−4；
    2c＝4

    （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=
    12
    m+m−4），2
    1111×4×（-m2-m+4）+×4×（-m）-×4×4=-m2-2m+8-2m-82222
    =-m2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时
    S有最大值S=4．（3）设P（x，
    12
    x+x-4）．2
    当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，
    又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（
    12
    x+x-4）|=4，2
    解得x=0，-4，-2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．由此可得Q（-4，4）或（-2+25，2-25）或（-2-2
    5，2+25）或（4，-4）．


    【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
    （1）a＞0，b2-4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
    （2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
    （3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若

    存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线
    x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
    ∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=∴抛物线的函数表达式为y=
    14
    ，b=-，c=-4，33
    124
    x-x-4；33
    （3）存在，理由为：
    （i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
    过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

    则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，∵抛物线y=
    124
    x-x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，33
    又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
    （ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
    ∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

    ∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
    又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=解得：x1=2+27，x2=2-27，
    124
    x-x-4，33

    ∴点E′的坐标为（2+27，4），同理可得点E″的坐标为（2-27，4）。
    【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
    探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
    例2:（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；
    （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

    解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入
    y=x2+bx+c，
    1bc＝0
    ，解得：b=-4，c=3，
    c＝3
    ∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
    （2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3
    2
    ，
    点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC-OC=32-3∴P1（0，3+32），P2（0，3-32）；
    ②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
    ∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3-32）或（0，-3）或（0，0）；
    （3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=（t-1）2+1，
    1
    ×（2-t）×2t=-t2+2t=-2

    即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。

    【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+
    13
    x+c的图象与x轴的一个交4
    点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
    （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
    （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

    解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，二次函数y1的解析式为y=-x2+
    13
    x+3，B点坐标为（0，3）；4
    （2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
    33x+3，AB的中点为（2，），424777
    AB的垂直平分线为y=x-，当x=0时，y=-，P1（0，-），
    3666
    97
    当y=0时，x=，P2（，0），
    48
    77
    综上所述：P1（0，-），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
    68
    （3）直线AB的解析式为y=-【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角
    形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.

    易错专题：抛物线的变换
    ◆类型一抛物线的平移1．(临沂中考要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是【易错1】(
    A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
    B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
    C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
    D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
    2．(义乌中考如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是(
    A．y＝x2－1B．y＝x2＋6x＋5
    C．y＝x2＋4x＋4D．y＝x2＋8x＋17

    ◆类型二抛物线的对称3．抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是(


    A．(1
    2
    ，0B．(1，0
    C．(2，0D．(3，0
    4．已知二次函数y＝2x2＋9x＋34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值与(
    A．x＝1时的函数值相等B．x＝0时的函数值相等
    答案：
    C．x＝1
    4时的函数值相等
    D．x＝－9
    4
    时的函数值相等
    5．已知二次函数y＝2x2－12x＋5，则该函数图象关于x轴对称的图象的关系式为________________．
    6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________(用含a的式子表示．

    第6题图第8题图
    7．(资阳中考已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________________．
    8．(湖州中考如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一交点分别为M、N.如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________________和________________．


    3.

    4.

    5.

    6.


    7.

    8.



    解题技巧专题：巧用旋转进行计算
    ——体会旋转中常见解题技巧

    ◆类型一利用旋转结合等腰(边三角形、垂直、平行的性质求角度1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°
    第1题图第2题图2．(2016·株洲中考如图，在三角形ABC
    中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形
    A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°
    3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于__________度．
    ◆类型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度
    4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D.若AC＝6，则AD的长
    为【方法13】（）A．2B．3C．23D．32
    第4题图第5题图
    5．(2016·黔西南州中考如图，矩形
    ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于点F.若AB＝1，BC＝3，则AF
    的长度为（）
    A．2－3B.3－1
    3
    C.3－3
    3D.3－1
    6．(2016·巴彦淖尔中考如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将
    △ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，求AE的长．


    ◆类型三利用旋转计算面积
    7．如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30°后得到正方形

    AB′C′D′.若AB＝23cm，则图中阴影部分的面积为【方法13】（）
    A．6cm2B．(12－63cm2
    C．33cm2D．43cm2

    第7题图第8题图8．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．


    答案：




    拔高专题：旋转变化中的压轴题
    一、基本模型构建
    常见模型

    思上图中，△AE′B旋转到AED的位置，考可得△AE′E为等腰三角形。如果
    四边形ABCD是矩形或正方形，则三角形AE′E为等腰直角三角形。
    上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC=∠DAB，如果∠B=60°，所以△ADB为等边三角形.

    二、拔高精讲精练
    探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
    （1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD；
    （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
    ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=
    ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、
    D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

    解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
    ∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
    AB＝AC

    由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，BAE＝CAD，
    AE＝AD
    ∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；


    ②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
    ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=
    1
    ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°2
    =225°，
    ∴角α的度数是45°或225°．
    等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强【变式训练】1.如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）求证：CF=CH；（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

    （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
    A＝D
    在△ACF和△DCH中，AC＝CD，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；
    1＝2
    （2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
    ∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，
    ∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
    【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。探究点二以四边形为基础的图形的旋转变换

    例2:根据图形回答问题：

    （1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）
    （2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
    （3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

    MDE＝MHG
    （2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE，在△DME和△GMN中，DME＝GMN，
    DM＝MG
    ∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，∴△NFE是等腰直角三角形，
    ∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）

    （3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC

    与DM交点标为Q）
    EM＝MN
    在△DME和△GMN中，DME＝GMN，∴△DME≌△GMN．∴DE=NG，∠EDM=
    DM＝MG
    ∠NGM，
    ∴EC=NG，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，∴∠ECF=∠NGF，∵EC=DE=NG，
    FC＝FG
    在△ECF和△NGF中，ECF＝NGF，∴△ECF≌△NGF，∴EF=NF，∠EFC=∠NFG，
    EC＝NG
    ∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN是等腰直角三角形，∴FM⊥EM，并且FM=EM。
    【变式训练】2.两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

    （1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
    证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，
    ∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED与△GCD中，
    AD＝GD
    ADE＝GDC，ED＝CD
    ∴△AED≌△GCD（SAS）；
    （2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．
    【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决..

    类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度
    ——全面突破，形成解题思维模式

    ◆类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
    1．(2016·自贡中考如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（）
    A．15°B．25°C．30°D．75°


    第1题图第2题图
    2．(2016·济宁中考如图，在⊙O中，AB︵
    ＝AC︵
    ，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）
    A．40°B．30°C．20°D．15°3．(2016·毕节中考如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B的度数为（）

    A．100°B．72°C．64°D．36°

    第3题图第4题图

    4．(2016·青海中考如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝________.
    ◆类型二构造圆内接四边形转化角5．如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝70°，则∠AOC的度数为（）

    A．55°B．70°C．110°D．140°

    第5题图第6题图
    6．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）
    A．68°B．88°C．90°D．112°
    7．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝______.

    ◆类型三利用直径构造直角三角形转化角
    8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于【方法15】（）
    A．33°B．57°C．67°D．66°


    第8题图第9题图

    9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是_______.
    10．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.【方法15】



    ◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角
    11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）
    A．45°B．30°C．75°D．60°

    第11题图第12题图12．(2017·莒县模拟如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝53，则∠B的度数是（）
    A．30°B．45°C．50°D．60°


    答案：



    类比归纳专题：切线证明的常用方法
    ——弄清不同条件下的证明方式，体会异同

    ◆类型一有切点，连半径，证垂直一、利用角度转换证垂直1．(2016·大连中考如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．


    2．(2016·广安中考如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝BF，求证：AB是⊙O的切线．



    二、利用勾股定理的逆定理证垂直
    3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝3.求证：BC是⊙O的切线．

    4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．


    ◆类型二无切点，作垂直，证半径5．(2016·南充中考如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于

    点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法16②】




    答案：






    解题技巧专题：圆中辅助线的作法
    ——形成思维定式，快速解题

    ◆类型一遇弦加弦心距或半径
    1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）
    A．5B．7C．9D．11

    第1题图第2题图
    2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）
    A．43B．63C．23D．83．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为________cm.


    第3题图第4题图

    4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm，那么该光盘的直径是________cm.
    ◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角
    5．(2016·玉林中考如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（）
    A．30°B．45°C．60°D．70°

    第5题图第6题图
    6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（）
    A．16B．4C.83163
    3D.3
    7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以
    AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
    (1求证：BE＝CE；
    (2若∠B＝70°，求DE︵
    的度数；(3若BD＝2，BE＝3，求AC的长．



    ◆类型三遇切线连接圆心和切点8．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB

    为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（）
    2525
    A．3B．4C.D.
    68
    _________(结果保留π．
    10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_______．


    第8题图第9题图9．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则BC︵的长为


    答案：





    解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积
    ——全面掌握核心方法，以不变应万变

    ◆类型一直接利用规则图形的和差求面积
    1．(2016·安顺中考如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π．

    第1题图第2题图
    2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则阴影部分的面积为_______cm2.
    3．(2016·烟台中考如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分的面积为_______cm2.【方法18】

    第3题图第4题图

    ◆类型二割补法4．(2016·深圳中考如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB︵
    的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）
    A．2π－4B．4π－8
    C．2π－8D．4π－4
    5．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（）
    A．4π－2B．2π－2C．4π－4D．2π－4

    第5题图第6题图
    ◆类型三等积法一、轴对称、旋转6．(2016·重庆中考如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是______．【方法18】
    7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点．若⊙O过A，C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.

    第7题图第8题图

    8．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）
    A.π2＋11
    2B．π－4C.π1π14＋2D.4－2

    二、同底等高的三角形等积替换

    9．(2016·襄阳中考如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
    ◆类型四折叠问题中求面积11．(2016·德州中考如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．

    第9题图第10题图10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．【方法18】



    答案：



    8.D

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