2.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质.
3.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平,解决一些相关的实际问题.
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.
(2)意义:离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(3)性质:如果X为离散型随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+ B.
随机变量的均值与样本平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是
一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近总体的均值.
2.两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p(p为成功概率).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
若X~B,则E(X)的值为( )
A.4 B.2
C.1 D.
答案:B
随机变量X的分布列为
则X的均值是( )
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随m的变化而变化
答案:B
设X的分布列为
,Y=2X+5,则E(Y)=________.
答案:
探究点1 求离散型随机变量的均值
赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则E(ξ1)-E(ξ2)=________元.
【解析】 赌金的分布列为
所以E(ξ1)=(1+2+3+4+5)=3.
奖金的分布列为
所以E(ξ2)=1.4×=2.8.
E(ξ1)-E(ξ2)=0.2.
【答案】 0.2
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值.
(2)求概率:求X取每个值的概率.
(3)写分布列:写出X的分布列.
(4)求均值:由均值的定义求出E(X),其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.
1.(2018·广东广州模拟)已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示,若E(ξ)=6.3,则a的值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:选A.根据随机变量ξ的分布列可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(ξ)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4.
2.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.
解:(1)P(当天商店不进货)=P(当天商店销售量为0件)+P(当天商店销售量为1件)=+=.
(2)由题意知X的可能取值为2,3,P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)==,
P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=++=.
故X的分布列为
所以X的数学期望为E(X)=2×+3×=.
探究点2 离散型随机变量均值的性质
已知随机变量X的分布列为:
(1)求E(X);
(2)若Y=2X-3,求E(Y).
【解】 (1)由随机变量分布列的性质,得
+++m+=1,解得m=,
所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
(2)法一:由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得
E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3
=2×(-)-3=-.
法二:由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下:
所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
[变问法]本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=-,求a的值.
解:E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,
所以a=15.
与离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ).
已知随机变量ξ的分布列为
若η=aξ+3,E(η)=,则a=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B.由分布列的性质得++m=1,所以m=,
所以E(ξ)=-1×+0×+1×=-,
法一:E(η)=E(aξ+3)=aE(ξ)+3
=-a+3=.
所以a=2.
法二:因为η=aξ+3,所以η的分布列如下:
E(η)=(-a+3)×+3×+(a+3)×=.
所以a=2.
探究点3 两点分布与二项分布的均值
某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为,若中奖,商场返还顾客现金100元.某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台,得到抽奖券四张.每次抽奖互不影响.
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X,求随机变量X的分布列;
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y(元),用X表示Y,并求随机变量Y的均值.
【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的,
因此X~B.
所以P(X=0)=C×=,P(X=1)=C×=.
P(X=2)=C×=,P(X=3)=C×=,
P(X=4)=C×=.
所以离散型随机变量X的分布列为
(2)因为X~B,所以E(X)=4×=2.
又由题意可知Y=2 300-100X,
所以E(Y)=E(2 300-100X)=2 300-100E(X)=2 300-100×2=2 100(元).
即所求随机变量Y的均值为2 100元.
(1)如果随机变量X服从两点分布,则其期望值E(X)=p(p为成功概率).
(2)如果随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np.
以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程.
某广场上有4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是,出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ,当这4盏装饰灯闪烁一次时:
(1)求ξ=2时的概率;
(2)求ξ的数学期望.
解:(1)依题意知:ξ=2表示4盏装饰灯闪烁一次时,恰好有2盏灯出现红灯,而每盏灯出现红灯的概率都是,故ξ=2时的概率P=C ()2×()2=.
(2)法一:ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,依题意知:P(ξ=k)=C ()k·()4-k(k=0,1,2,3,4).
所以ξ的概率分布列为
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.
法二:因为ξ服从二项分布,即ξ~B(4,),
所以E(ξ)=4×=.
探究点4 均值问题的实际应用
(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.
当n=20时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
(1)实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
(2)概率模型的解答步骤
①审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些;
②确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值;
③对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
解:(1)由已知得小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分X≤3”为事件A,
则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×=,
所以P(A)=1-P(X=5)=.
所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知得X1~B,
X2~B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,
所以E(2X1)=2E(X1)=,
E(3X2)=3E(X2)=.
因为E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
1.口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为( )
A. B.
C.2 D.
解析:选D.X可能取值为2,3.
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以E(X)=×2+×3=2+=.
2.毕业生小王参加人才招聘会,分别向A,B两个公司投递个人简历.假定小王得到A公司面试的概率为,得到B公司面试的概率为p,且两个公司是否让其面试是独立的.记ξ为小王得到面试的公司个数.若ξ=0时的概率P(ξ=0)=,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=________.
解析:由题意,得P(ξ=2)=p,P(ξ=1)=(1-p)+p=,
ξ的分布列为
由++p=1,得p=.
所以E(ξ)=0×+1×+2×p=.
答案:
3.某班将要举行篮球比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由.
解:设该选手在A区投篮的进球数为X,则X~B,故E(X)=2×=.
则该选手在A区投篮得分的期望为2×=3.6,
设该选手在B区投篮的进球数为Y,则Y~B,
故E(Y)=3×=1,则该选手在B区投篮得分的期望为3×1=3,
因为3.6>3,所以该选手应选择在A区投篮.
, [A 基础达标]
1.已知ξ~B(n,),η~B(n,),且E(ξ)=15,则E(η)等于( )
A.5 B.10
C.15 D.20
解析:选B.因为E(ξ)=n=15,所以n=30,
所以η~B(30,),所以E(η)=30×=10.
2.设ξ的分布列为
又设η=2ξ+5,则E(η)等于( )
A. B.
C. D.
解析:选D.E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,
E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×+5=.
3.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,则此人试验次数ξ的均值是( )
A. B.
C. D.
解析:选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=××(+)=.
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)=1×+2×+3×=.
4.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)=( )
A. B.
C. D.
解析:选B.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,共有32=9(种)情况.则投入A邮箱的信件数X的概率P(X=2)==,P(X=1)==,所以P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=1)=.所以离散型随机变量X的分布列为
所以E(X)=0+1×+2×=.故选B.
5.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1,X2表示)的分布列如下:
甲得分:
乙得分:
则甲、乙两人的射击技术是( )
A.甲更好 B.乙更好
C.甲、乙一样好 D.不可比较
解析:选B.因为E(X1)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1,E(X2)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2,所以E(X2)>E(X1),故乙更好些.
6.某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖.有一个选手选对任一题的概率都是0.8,则该选手可能拿到________等奖.
解析:选对题的个数X服从二项分布,即X~B(30,0.8),所以E(X)=30×0.8=24,由于24×5=120(分),所以可能拿到二等奖.
答案:二
7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是________.
解析:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈(0,).
答案:(0,)
8.某日A、B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同,已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=________.
解析:设A、B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
答案:0.4
9.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.
故X的分布列为
E(X)=200×+300×+400×=350.
10.(2018·陕西西安长安一中高二下学期期中)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与均值.
解:设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i=1,2,…,13).
依据题意P(Ai)=.
(1)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则P(B)=.
(2)离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的均值为E(X)=0×+1×+2×=.
[B 能力提升]
11.某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示:
(1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率;
(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P=1-=.
(2)由题意知X=0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
则随机变量X的分布列为
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
12.某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元,命中4发不奖励,也不必付款,命中3发或3发以下,应付款2元.现有一游客,其命中率为.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.
解:(1)设5发子弹命中X(X=0,1,2,3,4,5)发,由题意知X~B(5,),则由题意有P(X=5)=C ()5=.
(2)X的分布列为
设游客在一次游戏中获得资金为Y元,
于是Y的分布列为
故该游客在一次游戏中获得资金的均值为
E(Y)=(-2)×+0×+40×=-.
13.(选做题)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入后,有L1,L2两条巷道通往作业区(如图).L1巷道有A1,A2,A3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是;L2巷道有B1,B2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为,.
(1)求L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;
(2)若L2巷道堵塞点的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X),并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,帮助救援队选择一条抢险路线,同时说明理由.
解:(1)设“L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A,
则P(A)=C×+C××=.
(2)根据题意,知X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=×=,
P(X=1)=×+×=,
P(X=2)=×=.
所以随机变量X的分布列为
E(X)=0×+1×+2×=.
法一:设L1巷道中堵塞点个数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=C×=,
P(Y=1)=C××=,
P(Y=2)=C××=,
P(Y=3)=C×=.
所以随机变量Y的分布列为
E(Y)=0×+1×+2×+3×=.
因为E(X)<E(Y),所以选择L2巷道为抢险路线较好.
法二:设L1巷道中堵塞点个数为Y,则随机变量Y~B,所以E(Y)=3×=.
因为E(X)<E(Y),所以选择L2巷道为抢险路线较好.
¥29.8
¥9.9
¥59.8