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    抚顺市新抚区中考数学模拟试题（五）含答案解析-

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    辽宁省抚顺市新抚区中考数学模拟试卷（五）


    一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．3 B．
    C．﹣3 D．﹣
    2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

    A． B． C． D．
    3．下列事件中，是确定性事件的是（ ） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．明天会下雨
    D．度量三角形的内角和，结果是360°
    4．如图，AB∥CD，CE交AB于点F，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（ ）

    A．15° B．25° C．35° D．45°
    5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）

    A． B． C． D．1 1 / 36

    6．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
    7．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）

    A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2 8．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（ ）

    A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52 9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE=4，S△CDE=16，则△ACD的面积为（ ）

    A．64 B．72 C．80 D．96 10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）
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    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题
    11．英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其原理厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034这个数用科学记数法表示为 ． 12．计算： = ．
    13．有一箱子装有3张分别标示1、5、8的号码牌，已知小明以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，则组成的二位数能被3整除的概率是 ．
    14．如图有6个质地均匀和大小相同的球，每个球只标有一个数字，现将标有3，4，5，的三个球放入甲箱中，标有4，5，6的三个球放入乙箱中．小明和小海分别从甲、乙两箱中各摸一球，则小海所摸球上的数字比小明所摸球上数字大的概率为 ．

    15．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1=40°，则∠2+∠3= ．

    16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AC的长是 ．
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    17．如图，若双曲线y=与斜边长为5的等腰直角△AOB的两个直角边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=2BD，则k的值为 ．

    18．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 ．



    三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
    20．为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的 信息解答下列问题：
    （1）本次抽样测试的学生人数是 ；
    （2）扇形图中∠α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
    （3）对A，B，C，D四个等级依次赋分为90，75，65，55（单位：分），该市九年级共有学生9000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D的约有 人；该市九年级学生体育平均成绩约为 分．
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    四、
    21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
    （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
    （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；
    ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
    22．如图，AB为⊙O的直径，BC、AD是⊙O的切线，过O点作EC⊥OD，EC交BC于C，交直线AD于E．
    （1）求证：CD是⊙O的切线；
    （2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．



    五、（本题12分）
    23．如图，在小山的西侧A处有一热气球，以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的5 / 36

    方向升空，40分钟后到达B处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点C，在B处测得着火点C的俯角为30°，求热气球升空点A与着火点C的距离．（结果保留根号）



    六、（本题12分）
    24．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

    七、（本题12分）
    25．如图，△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°，得BF，连接AD，BD，AF （1）如图①，D、E分别在AC，BC边上，求证：四边形ADBF为平行四边形；
    （2）△DEC绕点C逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由． （3）在图①中，将△DEC绕点C逆时针旋转一周，其它条件不变，问：旋转角为多少度时．四边形ADBF为菱形？直接写出旋转角的度数．



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    八、（本题14分）
    26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴的交点为C，连接AC、BC，D为线段AB上的动点，DE∥BC交AC于E，A关于DE的对称点为F，连接DF、EF． （1）求抛物线的解析式；
    （2）EF与抛物线交于点G，且EG：FG=3：2，求点D的坐标；
    （3）设△DEF与△AOC重叠部分的面积为S，BD=t，直接写出S与t的函数关系式．



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    辽宁省抚顺市新抚区中考数学模拟试卷（五）
    参考答案与试题解析


    一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．3 B．
    C．﹣3 D．﹣
    【分析】根据倒数的定义即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案． 【解答】解：﹣3的倒数是﹣． 故选D．
    【点评】此题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

    2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

    A． B． C． D．
    【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有四列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形．
    【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形． 故选：A．

    【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．

    3．下列事件中，是确定性事件的是（ ） A．买一张电影票，座位号是奇数
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    B．射击运动员射击一次，命中10环 C．明天会下雨
    D．度量三角形的内角和，结果是360°
    【分析】直接利用随机事件的定义以及确定事件的定义分析得出答案． 【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故此选项错误； B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故此选项错误； C、明天会下雨，是随机事件，故此选项错误；
    D、度量三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，故是确定事件，故此选项正确． 故选：D．
    【点评】此题主要考查了随机事件的定义以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．

    4．如图，AB∥CD，CE交AB于点F，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（ ）

    A．15° B．25° C．35° D．45°
    【分析】先根据平行线的性质求出∠EFB，再根据三角形外角性质求出∠A=∠EFB﹣∠E，代入求出即可．
    【解答】解：∵AB∥CD，∠C=45°， ∴∠EFB=∠C=45°， ∵∠E=20°，
    ∴∠A=∠EFB﹣∠E=25°， 故选B．
    【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠EFB的度数，注意：两直线平行，同位角相等．

    5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
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    A． B． C． D．1 【分析】先在图中找出∠ABC所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠ABC的值． 【解答】解：如图，在直角△ABD中，AD=3，BD=4， 则tan∠ABC=故选B．
    =．

    【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

    6．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 【分析】求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可． 【解答】解：x2﹣3x﹣5=0，
    △=b﹣4ac=（﹣3）﹣4×1×（﹣5）=29＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选A．
    【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．

    7．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式010 / 36 222

    ＜kx+b＜2x的解集为（ ）

    A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜x＜2时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．
    【解答】解：把A（x，2）代入y=2x得2x=2，解得x=1，则A点坐标为（1，2）， 所以当x＞1时，2x＞kx+b，
    ∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0）， 即不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2． 故选C 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

    8．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（ ）

    A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52 【分析】找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可． 【解答】解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，
    车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，11 / 36

    53，53，54，54，54，54，55，55， 中间的为52，即中位数为52千米/时， 则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52． 故选：D．
    【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．

    9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE=4，S△CDE=16，则△ACD的面积为（ ）

    A．64 B．72 C．80 D．96 【分析】由S△BDE=4，S△CDE=16，得到S△BDE：S△CDE=1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出=，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积． 【解答】解：∵S△BDE=4，S△CDE=16， ∴S△BDE：S△CDE=1：4，
    ∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等， ∴∴=， =，
    ∵DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC， ∴S△DBE：S△ABC=1：25， ∴S△ACD=80． 故选C．
    【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．

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    10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）

    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
    【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，
    ，
    Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF（故①正确）． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°（故②正确）， ∵BC=CD，
    ∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF， ∵AE=AF，
    ∴AC垂直平分EF．（故③正确）． 设EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，
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    AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=∴AC=∴AB=∴BE=∴BE+DF=2x，
    ， ， ﹣x=x﹣x≠，
    x，（故④错误），
    ∵S△CEF=x， S△ABE=x，
    ∴2S△ABE=x2=S△CEF，（故⑤正确）． 综上所述，正确的有4个， 故选：C．
    2
    【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 二、填空题
    11．英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其原理厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034这个数用科学记数法表示为 3.4×10﹣10 ．
    【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
    【解答】解：0.00 000 000 034=3.4×10﹣10， 故答案为：3.4×10﹣10．
    【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数14 / 36

    左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．计算： = 4 ．
    【分析】根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数进行解答即可． 【解答】解：故答案为：4．
    【点评】本题考查的是负整数指数幂的运算，熟知其运算性质是解答此题的关键，即负整数指数幂：a=

    13．有一箱子装有3张分别标示1、5、8的号码牌，已知小明以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，则组成的二位数能被3整除的概率是
    ．
    ﹣p ==4．
    （a≠0，p为正整数）．
    【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的二位数能被3整除的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

    ∵共有6种等可能的结果，组成的二位数能被3整除的有4种情况， ∴组成的二位数能被3整除的概率是： =． 故答案为：．
    【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

    14．如图有6个质地均匀和大小相同的球，每个球只标有一个数字，现将标有3，4，5，的三个球放入甲箱中，标有4，5，6的三个球放入乙箱中．小明和小海分别从甲、乙两箱中各摸一球，则小海所摸球上的数字比小明所摸球上数字大的概率为
    15 / 36 ．



    【分析】利用列表的方法列举出所有等可能的结果，再找出小海所摸球上的数字比小明所摸球上的数字大的情况数目，两者的比值即为发生得概率． 【解答】解：列举摸球的所有可能结果： 小海 小明
    3 4 5 （3，4） （4，4） （5，4）
    （3，5） （4，5） （5，5）
    （3，6） （4，6） （5，6）
    4     5     6 从上表可知，一共有九种可能，其中小海所摸球上的数字比小明所摸球上数字大有6种，因此小海所摸球上的数字比小明所摸球上数字大的概率=故答案为：．
    【点评】此题考查了利用画树状图及列表格的方法求事件发生的概率，利用了数形结合的思想．通过画树状图或列表法将复杂的概率问题化繁为简，化难为易，因为这种方法可以直观的把所有可能的结果一一罗列出来，方便于计算．

    15．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1=40°，则∠2+∠3= 110° ．
    ，

    【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
    【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1， ∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3， ∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
    16 / 36

    在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°， ∴∠1+∠2=150°﹣∠3， ∵∠1=40°，
    ∴∠2+∠3=150°﹣40°=110°． 故答案为：110°．

    【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．

    16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AC的长是
    2 ．

    【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
    【解答】解：作DE⊥AB于E，
    ∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=3， ∴AC=AE， 由勾股定理得，BE=设AC=AE=x，
    由勾股定理得，x2+62=（x+2解得，x=2，
    ）2，
    =2，
    17 / 36

    故答案为：2．

    【点评】本题考查的是勾股定理以及角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

    17．如图，若双曲线y=与斜边长为5的等腰直角△AOB的两个直角边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=2BD，则k的值为 4 ．

    【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=x，则OC=2x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值． 【解答】解：
    如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， 设BD=x，则OC=2x，
    ∵Rt△OCE为等腰直角三角形， ∴∠COE=45°， ∴OE=CE=OC=x， x， x），
    ∴则点C坐标为（同理在等腰Rt△BDF中，BD=x， ∴BF=DF=BD=x，
    x x， x），
    ∴OF=OB﹣BF=5﹣则点D的坐标为（5﹣18 / 36

    将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=2x2， 将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=∴2x2=解得：x1=2x﹣x，
    2x﹣x2，
    ，x2=0（舍去），
    ∴k=2x=4， 故答案为：4．

    【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．

    18．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 51 ．

    【分析】计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，根据此规律依次进行计算即可得解．
    【解答】解：∵5﹣1=4， 12﹣5=7， 22﹣12=10，
    ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3， ∴第5个五边形数是22+13=35， 第6个五边形数是35+16=51． 故答案为：51．
    19 / 36

    【点评】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键．

    三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
    【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算后约分得到=，接着解不等式组得到整数解，然后根据分式有意义的条件得到x的值，最后把x的值代入计算即可． 要使原分式有意义，x只能取0， 当x=0时，原式=【解答】解：原式===，
    • =﹣1．
    •
    解不等式组得﹣2≤x≤1，它的整数解为﹣2，﹣1，0，1， 要使原分式有意义，x只能取0， 当x=0时，原式==﹣1．
    【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

    20．为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的 信息解答下列问题：
    （1）本次抽样测试的学生人数是 400 ；
    （2）扇形图中∠α的度数是 108° ，并把条形统计图补充完整；
    （3）对A，B，C，D四个等级依次赋分为90，75，65，55（单位：分），该市九年级共有学生9000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D的约有 900 人；该市九年级学生体育平均成绩20 / 36

    约为 75.5 分．

    【分析】（1）根据B级的人数和百分比求出学生人数；
    （2）求出A级的百分比，360°乘百分比即为∠α的度数，根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数，补全条形图；
    （3）根据样本中D等级所占比例乘以总人数9000可得，运用加权平均数的求法即可求出九年级学生体育平均成绩．
    【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：160÷40%=400， 故答案为：400；

    （2）扇形图中∠α的度数是：×360°=108°，
    C等级人数为：400﹣120﹣160﹣40=80（人），补全条形图如图：

    故答案为：108°；
    21 / 36


    （3）测试等级为D的约有学生体育平均成绩约为：90×故答案为：900，75.5．
    【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 四、
    21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
    （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
    （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；
    ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
    【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；
    （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
    ②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
    【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元， 根据题意得解得．
    ，
    ×9000=900（人）， +75×+65×+55×=75.5（分），
    答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；

    （2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x）， 即y=﹣50x+15000，
    22 / 36

    ②据题意得，100﹣x≤2x， 解得x≥33， ∵y=﹣50x+15000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，
    ∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，
    即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
    【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．

    22．如图，AB为⊙O的直径，BC、AD是⊙O的切线，过O点作EC⊥OD，EC交BC于C，交直线AD于E．
    （1）求证：CD是⊙O的切线；
    （2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．

    【分析】（1）首先作OH⊥CD，垂足为H，由BC、AD是⊙O的切线，易证得△BOC≌△AOE（ASA），继而可得OD是CE的垂直平分线，则可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，则可得OH=OA，证得CD是⊙O的切线；
    （2）首先证得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA的长，然后利用三角函数的性质，求得∠DOA的度数，继而求得答案． 【解答】（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H， ∵BC、AD是⊙O的切线， ∴∠CBO=∠OAE=90°， 在△BOC和△AOE中，
    23 / 36

    ，
    ∴△BOC≌△AOE（ASA）， ∴OC=OE， 又∵EC⊥OD， ∴DE=DC， ∴∠ODC=∠ODE， ∴OH=OA，
    ∴CD是⊙O的切线；

    （2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°， ∴∠E=∠DOA，
    又∵∠OAE=∠ODA=90°， ∴△AOE∽△ADO， ∴=，
    ∴OA2=EA•AD=1×3=3， ∵OA＞0， ∴OA=∴tanE=，
    =，
    ∴∠DOA=∠E=60°，
    ∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°， ∴∠DOH=∠DOA=60°， ∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．

    24 / 36

    【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

    五、（本题12分）
    23．如图，在小山的西侧A处有一热气球，以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空，40分钟后到达B处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点C，在B处测得着火点C的俯角为30°，求热气球升空点A与着火点C的距离．（结果保留根号）

    【分析】在RT△ABD中求出AD，再在RT△ADC中求出AC即可解决问题． 【解答】解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，

    ∵BE∥AC， ∴∠C=∠EBC=30°，
    ∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°， 在Rt△ABD中，sin∠ABD=AC=2AD=1000，
    米．
    ，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，
    答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000【点评】本题考查解直角三角形的应用、俯角俯角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．

    六、（本题12分）
    25 / 36

    24．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
    【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可． 【解答】解：（1）y=（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000； 在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x， 当x=21时，y取得最大值，
    ∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408． ∵1408＞1000，
    ∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．
    【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y与x的函数关系是解题关键．

    七、（本题12分）
    25．如图，△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°，得BF，连接AD，BD，AF （1）如图①，D、E分别在AC，BC边上，求证：四边形ADBF为平行四边形；
    （2）△DEC绕点C逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由． （3）在图①中，将△DEC绕点C逆时针旋转一周，其它条件不变，问：旋转角为多少度时．四边形ADBF为菱形？直接写出旋转角的度数．
    ，
    26 / 36


    【分析】（1）先根据△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，以及旋转的性质，得出AD=BF，AD∥BF，进而得到四边形ADBF为平行四边形；
    （2）先延长BE交AD于G，交AC于O，根据△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，判定△ACD≌△BCE（SAS），得出AD=BE，∠CAD=∠CBE，再根据“8字形”得出∠AGE=90°，判定AD∥BF，即可得出四边形ADBF为平行四边形；
    （3）分两种情况讨论：当旋转角∠BCE=135°时，当旋转角为315°时，分别判定△ACD≌△BCD，得到AD=BD，再根据四边形ADBF为平行四边形，得出四边形ADBF为菱形． 【解答】解：（1）如图1，∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形， ∴AC﹣DC=BC﹣EC， ∴AD=BE，
    ∵将BE绕点B顺时针旋转90°得BF， ∴BE=BF， ∴AD=BF，
    又∵∠ACB=90°，∠CBF=90°， ∴∠C+∠CBF=180°， ∴AD∥BF，
    ∴四边形ADBF为平行四边形；

    （2）如图2，（1）中的结论仍成立． 理由：延长BE交AD于G，交AC于O，
    ∵△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴DC=EC，AC=BC，∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
    27 / 36

    又∵BE=BF，∠ACB=90°，∠AOG=∠BOC， ∴AD=BF，∠AGE=90°， ∠AGB+∠EBF=180°， ∴AD∥BF，
    ∴四边形ADBF为平行四边形；

    （3）旋转角为135°或315°时，四边形ADBF为菱形．
    理由：如图所示，当旋转角∠BCE=135°时，∠ACE=45°，此时∠BCD=135°， ∴∠ACD=∠BCD， 又∵AC=BC，
    ∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴AD=BD，
    又∵四边形ADBF为平行四边形， ∴四边形ADBF为菱形；
    如图所示，当旋转角为315°时，∠BCE=45°，此时∠BCD=45°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCD， 又∵AC=BC，
    ∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴AD=BD，
    又∵四边形ADBF为平行四边形， ∴四边形ADBF为菱形．

    28 / 36



    【点评】本题以旋转为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定．解决问题的关键是作辅助线构造“8字形”．解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

    八、（本题14分）
    26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴的交点为C，连接AC、BC，D为线段AB上的动点，DE∥BC交AC于E，A关于DE的对称点为F，连接DF、EF． （1）求抛物线的解析式；
    （2）EF与抛物线交于点G，且EG：FG=3：2，求点D的坐标；
    （3）设△DEF与△AOC重叠部分的面积为S，BD=t，直接写出S与t的函数关系式．

    【分析】（1）将A（﹣3，0）和B（2，0）代入y=ax2+bx﹣4中即可求出a、b的值；
    29 / 36

    （2）利用勾股定理求出AC的长度，可知AC=AB，从而证明AB∥EF，设点G的坐标为（a， a+a﹣4），所以E的纵坐标为a+a﹣4，求出AC的解析式后，即可得出E的坐标为（﹣a﹣a， a+a﹣4），由EG：FG=3：2可知EG=EF，由此列出方程可得a的值，从而可求出D的坐标； （3）要求△DEF与△AOC重叠部分的面积为S，根据题意分析可知，共有三种情况，过点D作DI⊥EF于点I，①点F在y轴的左侧时，此时重合的部分为△DEF；②当DI在y轴的左侧且点F在y轴的右侧时，此时重合的部分为DF、DE、EF和y轴围成的四边形；③当DI在y轴的右侧时，此时重合的部分为DE、ED和y轴围成的三角形．
    【解答】解：（1）将A（﹣3，0）和B（2，0）代入y=ax2+bx﹣4， ∴，
    2    2    2    2解得：，
    ∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4；

    （2）令x=0代入y=x+x﹣4， ∴y=﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OC=4， ∵OA=3，
    ∴由勾股定理可求得：AC=5， ∵OB=2， ∴AB=OA+OB=5， ∴∠ACB=∠ABC， ∵A与F关于DE对称， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠ADE=∠FED， ∴AB∥EF，
    设点G的坐标为（a， a2+a﹣4），
    30 / 36 2

    ∴E的纵坐标为a+a﹣4， 设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    把A（﹣3，0）和C（0，﹣4）代入y=kx+b， ∴，
    2解得：，
    ∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣4， 把y=a+a﹣4代入y=﹣x﹣4， ∴x=﹣a2﹣a，
    ∴E的坐标为（﹣a﹣a， a+a﹣4）， ∴EG=a﹣（﹣a2﹣a）=a2+a， 过点E作EH⊥x轴于点H，如图2， ∴sin∠EAH=∴=，
    ，
    2    2    2∴AE=HE=（4﹣a2﹣a）， ∴AE=EF=（4﹣a﹣a）， ∵EG：FG=3：2， ∴EG=EF，
    ∴a2+a=×（4﹣a2﹣a）， ∴解得a=﹣3或a=1，
    当a=﹣3时，此时G与A重合， ∴a=﹣3不合题意，舍去， 当a=1时，
    ∴AD=AE=（4﹣a2﹣a）=∴D的坐标为（，0）；
    31 / 36 ，
    2


    （3）如图2，当≤t＜5时，
    此时△DEF与△AOC重叠部分为△DEF， ∵BD=t，
    ∴AD=AB﹣BD=5﹣t， ∴AE=AD=5﹣t，
    过点E作EH⊥x轴于点H， 由（2）可知：sin∠EAH=， ∴=，
    ∴EH=（5﹣t），
    ∴S=AD•EH=（5﹣t）2，

    如图3，当2≤t＜时，
    过点D左DI⊥EF于点I，
    设EF与y轴交于点M，DF与y轴交于点N， 此时△DEF与△AOC重叠部分为四边形EMND， ∵AE=AD=5﹣t， ∴CE=AC﹣AE=t， ∵EF∥AB， △CEM∽△CAO， ∴∴=， ，
    ∴EM=t， ∵AE=EF，
    ∴MF=EF﹣EM=5﹣t， ∵∠CAB=∠EFD，
    32 / 36

    ∴tan∠EFD=tan∠CAB=， ∴，
    ∴MN=（5﹣t）， ∵DI=EH=（5﹣t）， ∴S=DI•EF﹣MF•MN =×（5﹣t）2﹣×（5﹣t）2 =﹣
    如图4，当0＜t＜2时，
    设DE与y轴交于点M，EF与y轴交于点N， 此时△DEF与△AOC重叠部分为△EMN， ∵AE=5﹣t， ∴CE=t， ∵EF∥AB， ∴△CEN∽△CAO， ∴∴=， ， t+2t﹣，
    ∴EN=t，
    ∵∠MEN=∠ADE=∠ABC， ∴tan∠MEN=tan∠ABC=∴，
    =2，
    ∴MN=2EN=t，
    ∴S=EN•MN=×t×t=综上所述，当0＜t＜2时，S=（5﹣t）2．
    33 / 36 t2， t2；当2≤t＜时，S=﹣t2+t﹣；当≤t＜5时，S=





    【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识，内容较为综合，考查学生分类讨论的思想和灵活运用知识的能力．
    34 / 36


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