2019年湖南省益阳市初中毕业、升学考试
数学
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.
1.(2019湖南益阳,1,4分)-6的倒数是( )
A. B. C.-6 D.6
【答案】A
【解析】-6的倒数是.
【知识点】倒数
2.(2019湖南益阳,2,4分)下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,∴A错误;
∵,∴B错误;
∵不是同类二次根式,无法合并,∴C错误;
∵,∴D正确.
【知识点】二次根式的化简、同类二次根式、二次根式的乘法
3.(2019湖南益阳,3,4分)下列几何体中,其侧面展开图为扇形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵圆柱的侧面展开图是长方形、三棱柱的侧面展开图是长方形、圆锥的侧面展开图是扇形、三棱锥的侧面展开图是三块三角形,∴选C.
【知识点】圆柱、三棱柱、圆锥、三棱锥的侧面展开图
4.(2019湖南益阳,4,4分)解分式方程时,去分母化为一元一次方程,正确的是( )
A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1)
【答案】C
【解析】两边同时乘以(2x-1),得x-2=3(2x-1) .故选C.
【知识点】分式方程的去分母
5.(2019湖南益阳,5,4分)下列函数中,y总随x的增大面减小的是( )
A.y=4x B.y=-4x C.y=x-4 D.
【答案】B
【解析】∵y总随x的增大面减小,∴y=-4x.故选B.
【知识点】一次函数、二次函数的增减性
6.(2019湖南益阳6,4分)已知一组数据5,8,8,9,10,以下说法误的是( )
A.平均数是8 B.众数是8 C.中位数是8 D.方差是8
【答案】D
【解析】∵,
众数为8,
中位数为8,
,
故错误的是D.
【知识点】平均数、众数、中位数、方差
7.(2019湖南益阳,7,4分)已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC、BC,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】如图所示,
∵AM=MN=2,NB=1,
∴AB=AM=MN+NB=2+2+1=5,AC=AN=AM+MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN1+2=3,
∴,,,
∴,
∴△ABC是直角三角形.
【知识点】尺规作图、勾股定理的逆定理
8.(2019湖南益阳,8,4分)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A. asinα+asinβ B. acosα +a cosβ C. atanα+atan β D.
第8题图
【答案】C
【思路分析】分别在Rt△ABD和Rt△ABC中,使用正切函数求BD、 BC的长度,再求和即可得到CD的长度.
【解题过程】解:在Rt△ABD中,∵tanβ=,∴BD=atanβ.
在Rt△ABD中,∵tanα=,∴BC=atanα.
∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.
【知识点】锐角三角函数定义、仰角、俯角、解直角三角形
9.(2019湖南益阳,9,4分)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PB B.∠BPD=∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
第9题图
【答案】D
【思路分析】利用切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质定理进行逐一证明.
【解题过程】∵PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,∴PA=PB,∠BPD=∠APD,故A、B正确;
∵PA=PB,∠BPD=∠APD,∴PD⊥AB,PD平分AB,但AB不一定平分PD,故C正确,D错误.
【知识点】切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质定理
10.(2019湖南益阳,10,4分)已知二次函数如图所示,下列结论:①ae<0,②b-2a<0,③<0,④a-b+c<0,正确的是( )
A. ①② B.①④ C.②③ D.②④
第10题图
【答案】A
【思路分析】利用二次函数图象的性质进行逐一判定.
【解题过程】∵抛物线开口向下,且与y的正半轴相交,∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴在-1至-2之间,∴,∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=>0,∴③错误;
∵当x=-1时,y=a-b+c>0,∴④错误.
∴正确的说法是①②.故选A.
【知识点】二次函数图象的性质、对称轴坐标、二次函数与二次方程的关系、二次函数的特殊函数值
二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
11.(2019湖南益阳,11,4分)国家发改委发布信息,到2019年12月底,高速公路电子不停车快捷收费(ETC)用户数量将突破18亿,将180000000用科学记数法表示为 .
【答案】
【解析】180000000=
【知识点】用科学记数法表示大于10的数
12.(2019湖南益阳,12,4分)若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 .
【答案】5
【解析】设多边形的边数为n,由题意得
(n-2)180°+360°=900°,
解得n=5.
【知识点】多边形的内角和、多边形的外角和
13.(2019湖南益阳,13,4分)不等式组的解集为 .
【答案】x<-3
【解析】解:,
解①得x<1;
解②得x<-3.
∴原不等式组的解集为x<-3.
【知识点】一元一次不等式组的解法
14.(2019湖南益阳,14,4分)如图,直线AB∥CD,OA⊥OB,若∠1=142°,则∠2= 度.
第14题图
【答案】52°
【解析】∵OA⊥OB,
∴∠O=90°.
∵∠1=142°,
∴∠OCD=∠1-∠O=142°=90°=52°.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠OCD=52°.
【知识点】垂直的定义、三角形外角的性质、平行线的性质
15.(2019湖南益阳,15,4分)在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′,使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 .
第14题图
【答案】90°
【解析】找到一组对应点A、A′,并将其与旋转中心连接起来,确定旋转角,进而得到旋转角的度数为90°.
【知识点】旋转角
16.(2019湖南益阳,16,4分)小蕾有某文学名著上、中、下各1册,她随机将它们叠放在一起,从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .
【答案】
【思路分析】画树状图确定答案.
【解题过程】画树状图如下:
∵从上到下的顺序总共有种可能的结果,顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果又1种,
∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是.
【知识点】概率
17.(2019湖南益阳,17,4分)反比例函数的图象上有一点P(2,n),将点P向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到点Q.若点Q也在该函数的图象上,则k= .
【答案】6
【思路分析】利用坐标系中点的平移与周边变化的关系确定点Q的坐标,再利用函数解析式列方程组求值.
【解题过程】∵P(2,n)向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到点Q(3,n-1),且点P、Q均在反比例函数的图象上,∴,∴,解得k=6.
【知识点】坐标系中点的平移规律、反比例函数与方程组的关系
18.(2019湖南益阳,18,4分)观察下列等式:
①,
②,
③,
…
请你根据以上规律,写出第6个等式 .
【答案】
【思路分析】利用已知的三个特殊结论,确定等式中的每一部分与序号的关系,进而确定用序号表示的统一规律,进而得到第6个等式.
【解题过程】解:∵①,
②,
③,
…
∴第n个等式为:
∴当n=6时,可以得到第6个等式为:.
【知识点】二次根式相关的规律探究
三、解答题(本大题共8小题,满分78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2019湖南益阳,19,8分)计算: .
【思路分析】利用三角函数值、0指数次幂、负指数次幂、绝对值的求法进行计算求值.
【解题过程】解:
=-1.
【知识点】特殊角的三角函数、0指数次幂、负指数次幂、绝对值
20.(2019湖南益阳,20,8分)化简:.
【思路分析】先通分计算括号内的,再将除法转化为乘法,最后分解因式、约分相乘.
【解题过程】解:
.
【知识点】分式的减法、除法、乘法、通分、分解因式、约分、整式的乘法
21.(2019湖南益阳,21,8分)已知,如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD.
第21题图
【思路分析】利用平行线、邻补角的性质证明∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,然后使用“AAS”证明三角形全等.
【解题过程】证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°.
∵∠D=110°,
∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,
∴∠CAB=∠E.
又∵AB=AE,
∴△ABC≌△EAD.
【知识点】平行线的性质、邻补角的性质、全等三角形的判定
22.(2019湖南益阳,22,10分)某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查,根据每车乘坐人数分为5类,每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.
第22题图
(1)求本次调查的小型汽车数量及m,n的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆,请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.
【思路分析】(1)首先利用C的辆数与频率求出本次调查的小型汽车数量,然后利用“频率=频数÷数据总数”求m、n的值;
(2)先利用“频率=频数÷数据总数”求B、D对应的频数,再补全频数分布直方图;
(3)利用“每车只乘坐1人的小型汽车”的频率估计总体中每车只乘坐1人的小型汽车数量.
【解题过程】22.解:(1)本次调查的小型汽车数量:=160(辆).
m==0.3,
n=1-(0.3+0.35+0.2+0.05)=0.1.
(2)B类小型汽车的辆数:0.35×160=56,
D类小型汽车的辆数:0.1×160=16.
∴补全频数分布直方图如下:
第22题答图
(3)某时段该路段每车只乘坐1人的小型汽车数量:0.3×5000=1500(辆).
【知识点】频数、频率、统计表、条形统计图、样本估计总体
23.(2019湖南益阳,23,10分)如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作⊙O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD、CD,CD交圆O于点E.
(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;
(2)求证:ND=NE;
(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.
第23题图
【思路分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM,利用直径所对的圆周角是90°和ND=MN得到AC是DM的垂直平分线,再利用垂直平分线的性质证明四边形AMCD的四条边都相等,进而得到四边形AMCD是菱形;
(2)利用圆圆内接四边形的性质、菱形的性质证明∠DEN=∠CDM,进而得到ND=NE;
(3)通过证明△MDC∽△EDN,利用相似三角形的对应边成比例求出ND的长度,再利用三角形的中位线求出BC的长度.
【解题过程】解:(1)四边形AMCD是菱形,理由如下:
∵M是Rt△ABC中AB的中点,
∴CM=AM.
∵CM为⊙O的直径,
∴∠CMM=90,
∴MD⊥AC,
∴AN=CN.
又∵ND=MN,
∴四边形AMCD是菱形.
(2)∵四边形CEM为⊙O的圆内接四边形,
∴∠CEN+∠CMN=180°.
又∵∠CEN+∠DEN=180°,
∴∠CMN=∠DEN.
∵四边形AMCD是菱形,
∴CD=CM,
∴∠CDM=∠CMN.
∴∠DEN=∠CDM,
∴ND=NE.
(3)∵∠CMN=∠DEN,∠MDC=∠EDN,
∴△MDC∽△EDN,
∴.
设ND=x,则MD=2x,
∴,
解得x=5或x=-5(不合题意,舍去),
∴MN=.
∵MN为△ABC的中位线,
∴BC=2MN,
∴BC=2.
【知识点】直角三角形斜边上的中线的性质、圆周角定理的推论、线段垂直平分线的判定和性质、菱形的判定和性质、圆圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质、三角形中位线的性质
24.(2019湖南益阳,24,10分)为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式,某农户有农田20亩,去年开始实施“虾·稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价一成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.
(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价;
(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为2.5元/千克,该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?
【思路分析】(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元、y元,根据已知条件列方程组求解;
(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,通过列不等式求解.
【解题过程】解:(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元、y元,由题意得
,解得.
答:去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克8元、40元.
(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意得
20×100×30+20×25z-20×600≥8000,
解得;z≥640.
答:稻谷的亩产量至少会达到640千克.
【知识点】二元一次方程组的解法和应用、一元一次不等式的解法和应用
25.(2019湖南益阳,25,12分)在平面直角坐标系xOy中,顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求抛物线对应的二次函数表达式;
(2)探究:如图1,连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由;
(3)应用:如图2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+m=-1,连接PA、PC,在线段PC上确定一点N,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标.
提示:若点A、B的坐标分别为(,),(,),则线段AB的中点坐标为(,) .
第25题图1 第25题图2
【思路分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)利用“同底等高的两个三角形面积相等”、“三角形的中线平分三角形的面积”证明OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分;
(3)先利用点P(m,n)是抛物线的图象上的点,求出点P的坐标为(4,-5);再利用待定系数法求得直线CP对应的函数表达式为y=-x-1,直线AC对应的函数表达式为y=2x+2,直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3;然后通过解方程组得点Q的坐标为(),最后利用线段中点的坐标公式求出点N的坐标为().
【解题过程】解:(1)抛物线的顶点为A(1,4),设函数表达式为,
∵抛物线经过点B(3,0),
∴,解得a=-1.
∴抛物线对应的二次函数表达式为,即.
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.理由如下:
∵DE∥OA,
∴(同底等高的两个三角形面积相等).
∴,
即.
∵M是BE的中点,
∴
∴,
即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.
(3)∵点P(m,n)是抛物线的图象上的点,
∴.
∵m+n=-1,
∴n=-m-1,
代入上式,得,
解得m=4(m=1不合题意,舍去),
∴点P的坐标为(4,-5).
如图,过点D作DQ∥CA交PC的延长线于点Q,
第25题答图
由(2)知点N为PQ的中点,
设经过点C(-1,0),P(4,-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b,
则,解得.
∴直线CP对应的函数表达式为y=-x-1.
同理,直线AC对应的函数表达式为y=2x+2.
∵直线DQ∥CA,故设直线DQ对应的函数表达式为y=2x+b,
∵经过点D(0,3),
∴直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3.
解方程组得,
∴点Q的坐标为().
∵点N为PQ的中点,
∴点N的横坐标为,点N的纵坐标为,
∴点N的坐标为()
【知识点】待定系数法求函数解析式、同底等高的两个三角形面积相等、三角形的中线平分三角形的面积、函数与方程的关系、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、函数与方程组的关系、二元一次方程组的解法、一次函数图象平行的条件、线段中点的坐标公式
26.(2019湖南益阳,26,12分)如图,在半面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.
(1)当∠OAD=30°时,求点C的坐标;
(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形 OMCD的面积为时,求OA的长;
(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠OAD的值.
第26题图 第26题备用图
【思路分析】(1)通过作CE⊥y轴于点E构造Rt△CED和Rt△OAD然后通过解直角三角形求出点C的坐标;
(2)由M为AD的中点求出,再利用,,求出.然后设OA=x,OD=y,列方程组,求得OA的长为.
(3)首先利用M为AD的中点确定出:当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8.然后连接OC,证明△CMD∽△OMN,再利用相似三角形的对应边成比例求出,,.最后在Rt△OAN中,求出.
【解题过程】(1)如图1,过点C作CE⊥y轴,垂足为E.
第26题答图1
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°.
在Rt△CED中,CE=CD=2,
∴DE=;
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3.
∴点C的坐标为(2,).
(2)∵M为AD的中点,
∴DM=3,.
又∵,
∴,
∴.
设OA=x,OD=y,
则,
∴,
即,
∴x=y.
将x=y代入得,
解得(不合题意,舍去),
∴OA的长为.
(3)OC的最大值为8.理由如下:
如图2,
第26题答图2
∵M为AD的中点,
∴OM=3,.
∴OC≤OM+CM=8,
当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8.
连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ON⊥AD,垂足为N.
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
∴,
即,
解得,,
∴.
在Rt△OAN中,
∵,
∴.
【知识点】矩形的性质、平角的定义、互余的性质、30°角所对直角边等于斜边的一半、勾股定理、解直角三角形、中线的性质、三角形的面积公式、组合图形的面积计算、二元二次方程组的解法、完全平方公式、一元二次方程的解法、最短路径问题、相似三角形的判定和性质、比例的性质、锐角三角函数的定义
¥29.8
¥9.9
¥59.8