年梅州市高中阶段学校招生考试

数学试卷及答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、计算：（a－b）－（a+b）= 。

2、计算：（a2b）2÷a4 = 。

3、函数中，自变量的取值范围是 。

4、北京与巴黎两地的时差是－7小时（带正号的数表示同一时间比北京早的时间数），如果现在北京时间是7∶00，那么巴黎的时间是 。

5、求值：sin230°+cos230°= 。

6、根据图1中的抛物线，当x 时，y随x的增大而增大，

当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值。

7、如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则

∠AOB+∠DOC= 。

8、已知一个三角形的三边长分别是6㎝，8㎝，10㎝，则这个

三角形的外接圆面积等于 ㎝2。

9、如图3，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子

的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，

则α= 度。

10、如图4是我市城乡居民储蓄存款余额的统计图，

请你根据该图写出两条正确的信息：

① ；

② 。

二、选择题（每小题3分，共15分）

11、已知⊙O的半径为5㎝，⊙O1的半径为3㎝， 图4

两圆的圆心距为7㎝，则它们的位置关系是………………………………………（ ）

A、相交 B、外切 C、相离 D、内切

12、方程x2－5x－1=0 …………………………………………………………（ ）

A、有两个相等实根 B、有两个不等实根

C、没有实根 D、无法确定

13、一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是……………………（ ）

A、菱形或矩形 B、正方形或等腰梯形

C、矩形或等腰梯形 D、菱形或直角梯形

14、设a是实数，则|a|－a的值………………………………………………（ ）

A、可以是负数 B、不可能是负数

C、必是正数 D、可以是正数也可以是负数

15、由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州——兴宁——华城——河源——惠州——东莞——广州，那么要为这次列车制作的火车票有……（ ）

A、6种 B、12种 C、21种 D、42种

三、解答下列各题（每小题6分，共24分）

16、计算：

17、在“创优”活动中，我市某校开展收集废电池的活动，该校初二（1）班为了估计四月份收集电池的个数，随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数，数据如下：（单位：个）：48，51，53，47，49，50，52。求这七天该班收集废旧电池个数的平均数，并估计四月份（30天计）该班收集废旧电池的个数。

18、解方程：

19、如图5，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

四、（20、21两题各7分，22、23两题各8分，24小题10分，25小题11分）

20、如图6，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。

（1）如果 ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论。

21、为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电。若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？

22、如图7，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）设PC=x，点P到AB的距离为y。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围。

23、东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的

数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结

各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；

（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售

利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式

（销售利润=销售收入－买入支出）；

（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？

24、如图9，已知C、D是双曲线在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点。设C（x1，y1）、D（x2，y2），连结OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=。

（1）求C、D的坐标和m的值；

（2）双曲线上是否存在一点P，使得ΔPOC和ΔPOD的

面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。

25、已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.

（1）求四边形CDFP的周长；

（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF·BP的值；

（3）延长DC、FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P,

使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。

2005年梅州市中考数学试卷答案

一、填空题：

1、－2b； 2、 b2； 3、x≤2； 4、0：00；5、1； 6、x＜2，x＞2，x=2；7、180；

8、25π；9、135°；10、①从1978年起，城乡居民储蓄存款不断增长，②2000年到2003年城乡居民储蓄存款的增长速度较快。（答案不唯一）

二、选择题：

11、A； 12、B； 13、B； 14、B； 15、C

三、解答下列各题

16、解：原式=；

17、这7天收集电池的平均数为：（个）

50×30=1500（个）

∴这七天收集的废旧电池平均数为50个，四月份该班收集的废电池约1500个。

18、解：解法一：原方程可化为：， ∴ x (2x+1)=2 (X+1)2 解得：

经检验可知，的原方程的解。

解法二：设，则原方程化为：y2+y－2=0 , ∴ (y+2)(y－1)=0

∴y=－2或y=1

当y=－2时，，解得:

当y=1时， ，方程无解

经检验可知，的原方程的解。

19、解：作法一：作AB边上的中线；

作法二：作∠CBA的平分线；

作法三：在CA上取一点D，使CD=CB。

20、解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF

又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF

21、解：设学校每天用电量为x度，依题意可得：

解得：，即学校每天用电量应控制在21度～22度范围内。

22、解：（1）过P作PQ⊥AB于Q，则PQ=y

∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°

∴RtΔAQP≌ΔRtΔACB， ∴PQ∶BC=AP∶AB

依题意可得：BC=3，AP=4－x

∴ 化简得：

（2）令x≤y，得：，解得：

∴当时，圆P与AB所在直线相离；

时，圆P与AB所在直线相切；

时，圆P与AB所在直线相交。

23、解：（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则

解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000

经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式

∴所求的函数关系为p=－10x+1000

（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)

∴ y=－10x2+1400x－40000

(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y有最大值

∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。

24、解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，则CG=y1，OG=x1 ，

在RtΔOCG中，∠GCO=∠BOC=α，∵，

∴ 即又∵

∴ ，即，

解得：x1=1或x1=－1（不合舍去）

∴x1=1，y1=3，∴点C的坐标为C（1，3）。

又点C在双曲线上，可得：m=3

过D作DH⊥y轴于H，则DH=y2，OH=x2

在RtΔODH中， ，

∴ 即 又∵ x2y2=3 解得：y2=1或y2=－1（不合舍去）

∴x2=3，y2=1，∴点D的坐标为D（3，1）

（2）双曲线上存在点P，使得，

这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点

∵点D（3，1），∴OD=，∴OD=OC

点P在∠COD的平分线上，则∠COP=∠POD，又OP=OP

∴ΔPOC≌ΔPOD ，∴

25、解（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°,

∴AF、BP都是⊙O的切线,

又∵PF是⊙O的切线

∴FE=FA,PE=PB

∴四边形CDFP的周长为：

AD+DC+CB=2×3=6

(2 ) 连结OE,PF是⊙O的切线

∴OE⊥PF.在 Rt△AOF和Rt△EOF中,

∵AO=EO,OF=OF

∴Rt△AOF≌Rt△EOF ∴∠AOF=∠EOF,

同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP=180°=90°,∠FOP=90°

即OF⊥OP，∴AF·BP=EF·PE=OE2=1

(3 )存在。∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,

∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG

此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB·