2017年湖南省学业水平考试(真题)

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4页，时量120分钟，满分100分。

-、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，

word/media/image1.gifword/media/image2.gifword/media/image3.gif在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

公差d ()

A、4 B、5

word/media/image4.gif

A、(0, 0) B、(1 , 1) C、( 2,1 ) D、( -,2)

2 2

7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平

面BEF的位置关系是（ ）

word/media/image5.gifA、平行 B、在平■面内

10.如图4所示，正方形的面积为1,在正方形内随机撒1000 粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方 法计算得阴影部分的面积为（

11.word/media/image6.gifword/media/image7.gif已知函数f（x） cos x,x R （其中 0）的最小正周期为 ，则

12.某班有男生30人女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取 5人参加社区 服务，贝U抽出的学生中男生比女生多 人。

13.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a 4,b 3,sin C 1 ,

则ABC的面积为

x

14.已知点A（1,m）在不等式组 y

x

范围为 0

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。

16.(本小题满分6分)

已知定义在区间［，［上的函数f (x) sin x的部分图象如图6所示.

(1)将函数f(x)的图象补充完整； ”

1 r

(2)写出函数f(x)的单调递增区间.

-jc =JL 0 JL n r

2 2

-I，

图6

17.(本小题满分8分)

已知数歹0 {an}满足an 1 3an(n N*)，且a2 6

(1)求 ai 及 an ;

(2) 设bn an 2 ,求数歹0 {bn}的前n项和Sn .

18.(本小题满分8分)

为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取 20名

学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图

(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;

(2)从成绩不低丁 80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组

19 (本小题满分8分)

否有岑点；

(2)若函数f(x)的值域为［2,),求实数m的值.

20.(本小题满分10分)

已知O为坐标原点，点p(1,J2)在圆M :x2 y2 4x ay 1 0上，

(1)求实数a的值；

(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；

(3)过点O作互相垂直的直线 椭顷"与圆M交丁 A, B两点，12与圆M交丁

C,D 两点，求|AB| |CD|的最大值.

2017年湖南省学业水平考试(参考答案)

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 4页，时量120分钟，满分100分。

-、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以

是(A)

word/media/image8.gifA、正方体 B、圆柱

C、三棱柱 D、球

B、2

3.已知向量，若，则 a (x,1),b (4,2), c

(6,3)，若 c

A、-10

B、10

C、-2

4.执行如图

2所示的程序框图，若输入

x的值为-2,

则输

出的y (

A、-2

B、0

5.在等差数列{an}

中,

已知ai

a2

11,a3

公差d

B、

C、

1

6.既在函数f (x) x2

的图象上,

乂在函数

g(x) x 1 的

图象上的点是（B

A、(0, 0)

B、

(1 ， D

, 1

C、( 2,

2

）D、（〕,2）

2

7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点,

则直线CD与平■面

BEF的位置关系是（A

A、平行

B、在平■面内

C、相交但不垂直

D、

相交且垂直

8. 已知 sin 2 sin

J

2

1

9.已知 a log 22 ,b 1,c

A、

B、

(0,

1

2

log 24

C、

D、

则（A

A、 a b c B、b a c

C、c

D、c

10.如图4所示，正方形的面积为

1,在正方形内随机撒

1000

粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方

法计算得阴影部分的面积为（ B ）

A、

C、

D、

、填空题：本大题共

5小题，每小题4分，共20分.

11.已知函数f（x） cos x,x R （其中 0）的最小正周期为 ，则

12.某班有男生30人女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取 5人参加社区

服务，贝U抽出的学生中男生比女生多 1 人

13.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a 4,b 3,sin C 1 ,

则ABC的面积为 6

x 0,

y 0, 表示的平面区域内，则实数 m的取值

x y 4

范围为 0 m 3。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图 的体积为 4 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。

16.(本小题满分6分)

已知定义在区间［,］上的函数f (x) sin x的部分图象如图6所示.

(1)将函数f (x)的图象补充完整；

(2)写出函数f(x)的单调递增区间.

解：(1)图象如图：

(2)由图象可知，函数f(x) sinx在区间［,］上的单调增区问为［--］

2 2

17.(本小题满分8分)

已知数歹0 ｛an｝满足an 1 3an(n N*)，且a2 6 .

(1)求 a1 及 an ;

(2)word/media/image9.gifword/media/image10.gifword/media/image11.gif 设bn an 2 ,求数列｛bn｝的前n项和Sn .

word/media/image12.gif

学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;

word/media/image13.gifword/media/image14.gifword/media/image15.gifword/media/image16.gif

19 (本小题满分8分)

已知函数f (x) 2 ,X ?, (1)若m 1 ,求f (0)和f (1)的值,

2(x 1) m, x 0

并判断函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点；(2)若函数f(x)的值域为

［2,)，求实数m的值.

& 2x,x 0

解：(1) m 1 f (x) 2 f(0) 2 1 1 1,f(1) 1,

2(x 1)2 1,x 0

f (0) f (1) 0 f(x)在区间(0,1)内有零点.

⑵当x 0时，f(x)的取值范围是(0,1)，当x 0时，f(x)是二次函数，要 使函数f(x)的值域为［2,)，则f(x) 2(x 1)2 m的最小值为 2，由二次函 数可知，当x 1时，f(x) 2(x 1)2 m取最小值 2,即f (1) m 2 .

20.(本小题满分10分)已知O为坐标原点，点P(1而 在圆

M : x y2 4x ay 1 0上，(1)求实数a的值;

(2)求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程;

(3)过点O作互相垂直的直线1i,12,1i与圆M交丁 A, B两点，12与圆M交丁

C,D 两点，求|AB| |CD|的最大值.

解：(1)把 P(1j2)点代入圆 M:x2 y2 4x ay 1 0 得 a 0;

(2)圆心坐标为M(2,0), kOP J2 , 过圆心且与OP平行的直线方程为

y 0 V2(x 2),即 y ^2x 2也

(3)设直线AB的方程为kx y 0 ,直线CD的方程为x ky 0 ,圆心到直线AB

的距离为d〔

4

■p，同理可|CD| 2、・3

4k2

1

k2

|AB| |CD|