2016年湖北省黄冈市中考数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的．

1．（3分）（2016•黄冈）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．（3分）（2016•黄冈）下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5

3．（3分）（2016•黄冈）如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2=（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

4．（3分）（2016•黄冈）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（　　）

A．﹣4 B．3 C． D．

5．（3分）（2016•黄冈）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）（2016•黄冈）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣1

二、填空题：每小题3分，共24分．

7．（3分）（2016•黄冈）的算术平方根是　　　　　　．

8．（3分）（2016•黄冈）分解因式：4ax2﹣ay2=　　　　　　．

9．（3分）（2016•黄冈）计算：|1﹣|﹣=　　　　　　．

10．（3分）（2016•黄冈）计算（a﹣）÷的结果是　　　　　　．

11．（3分）（2016•黄冈）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC=　　　　　　．

12．（3分）（2016•黄冈）需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是　　　　　　．

13．（3分）（2016•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=　　　　　　．

14．（3分）（2016•黄冈）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=　　　　　　．

三、解答题：共78分．

15．（5分）（2016•黄冈）解不等式．

16．（6分）（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？

17．（7分）（2016•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．

18．（6分）（2016•黄冈）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．

（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；

（2）求两人再次成为同班同学的概率．

19．（8分）（2016•黄冈）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：

（1）∠PBC=∠CBD；

（2）BC2=AB•BD．

20．（6分）（2016•黄冈）望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为：每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）m=　　　　　　%，n=　　　　　　%，这次共抽查了　　　　　　名学生进行调查统计；

（2）请补全上面的条形图；

（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人？

21．（8分）（2016•黄冈）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点，直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B．

（1）求直线AB的解析式；

（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．

22．（8分）（2016•黄冈）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．

23．（10分）（2016•黄冈）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

24．（14分）（2016•黄冈）如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年湖北省黄冈市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的．

1．（3分）（2016•黄冈）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，

故选A

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（3分）（2016•黄冈）下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；

B、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；

C、a3÷a2=a3﹣2=a，故本选项正确；

D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

3．（3分）（2016•黄冈）如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2=（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠3，再根据对顶角相等可得∠2的度数．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠1=∠3，

∵∠1=55°，

∴∠3=55°，

又∵∠2=∠3，

∴∠2=55°，

故选：C．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握：两直线平行，同位角相等．

4．（3分）（2016•黄冈）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（　　）

A．﹣4 B．3 C． D．

【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=，x1•x2=﹣”，由此即可得出结论．

【解答】解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2=﹣=，x1•x2==﹣．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=﹣=，x1•x2==﹣”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

5．（3分）（2016•黄冈）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

6．（3分）（2016•黄冈）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣1

【分析】根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

x+4≥0且x≠0，

解得x≥﹣4且x≠0，

故选：C．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．

二、填空题：每小题3分，共24分．

7．（3分）（2016•黄冈）的算术平方根是　　．

【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：∵的平方为，

∴的算术平方根为．

故答案为．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

8．（3分）（2016•黄冈）分解因式：4ax2﹣ay2=　a（2x+y）（2x﹣y）　．

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．

【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）

=a（2x+y）（2x﹣y），

故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

9．（3分）（2016•黄冈）计算：|1﹣|﹣=　﹣1﹣　．

【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．

【解答】解：|1﹣|﹣

=﹣1﹣2

=﹣1﹣．

故答案为：﹣1﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．

10．（3分）（2016•黄冈）计算（a﹣）÷的结果是　a﹣b　．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=•=•=a﹣b，

故答案为：a﹣b

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（3分）（2016•黄冈）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC=　35°　．

【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵∠AOB=70°，

∴∠C=∠AOB=35°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=35°．

故答案为：35°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

12．（3分）（2016•黄冈）需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是　2.5　．

【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式解答即可．

【解答】解：平均数=，

方差==2.5，

故答案为：2.5

【点评】本题考查了方差公式，解题的关键是牢记公式并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．

13．（3分）（2016•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=　2a　．

【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．

【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：

则MF=DC=3a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°．

∵DC=3DE=3a，

∴CE=2a，

由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，

∴∠DPE=30°，

∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，

在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，

∴FP===2a；

故答案为：2a．

【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．

14．（3分）（2016•黄冈）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=　　．

【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果．

【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，

∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，

∴==，=，

∴=，

∵∠ABI=∠ABC，

∴△ABI∽△CBA；

∴=，

∵AB=AC，

∴AI=BI=4；

∵∠ACB=∠FGE，

∴AC∥FG，

∴==，

∴QI=AI=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．

三、解答题：共78分．

15．（5分）（2016•黄冈）解不等式．

【分析】根据解一元一次不等式的步骤，先去分母，再去括号，移项合并，系数化为1即可．

【解答】解：去分母得，x+1≥6（x﹣1）﹣8，

去括号得，x+1≥6x﹣6﹣8，

移项得，x﹣6x≥﹣6﹣8﹣1，

合并同类项得，﹣5x≥﹣15．

系数化为1，得x≤3．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．

16．（6分）（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？

【分析】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，

依题意得：（x+2）×2=118﹣x，

解得：x=38．

答：七年级收到的征文有38篇．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

17．（7分）（2016•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，

∵E、F分别为AD、BC边的中点，

∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE∥DF，

∴∠AEG=∠ADF，

∴∠AEG=∠CFH，

在△AEG和△CFH中，，

∴△AEG≌△CFH（ASA），

∴AG=CH．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

18．（6分）（2016•黄冈）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．

（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；

（2）求两人再次成为同班同学的概率．

【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；

（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．

【解答】解：

（1）画树状图如下：

由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；

（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．

【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．（8分）（2016•黄冈）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：

（1）∠PBC=∠CBD；

（2）BC2=AB•BD．

【分析】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行，进而得到一对内错角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；

（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．

【解答】证明：（1）连接OC，

∵PC与圆O相切，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵BD⊥PD，

∴∠BDP=90°，

∴∠OCP=∠PDB，

∴OC∥BD，

∴∠BCO=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠PBC=∠BCO，

∴∠PBC=∠CBD；

（2）连接AC，

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴=，

则BC2=AB•BD．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

20．（6分）（2016•黄冈）望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为：每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）m=　26　%，n=　14　%，这次共抽查了　50　名学生进行调查统计；

（2）请补全上面的条形图；

（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人？

【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得调查的学生数和m、n的值；

（2）根据（1）和扇形统计图可以求得C类学生数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据扇形统计图可以求得该校C类学生的人数．

【解答】解：（1）由题意可得，

这次调查的学生有：20÷40%=50（人），

m=13÷50×100%=26%，n=7÷50×100%=14%，

故答案为：26，14，50；

（2）由题意可得，

C类的学生数为：50×20%=10，

补全的条形统计图，如右图所示，

（3）1200×20%=240（人），

即该校C类学生约有240人．

【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

21．（8分）（2016•黄冈）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点，直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B．

（1）求直线AB的解析式；

（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．

【分析】（1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组得B点坐标，然后利用待定系数法求AB的解析式；

（2）直线AB交x轴于点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．

【解答】解：（1）把A（1，a）代入y=﹣得a=﹣3，则A（1，﹣3），

解方程组得或，则B（3，﹣1），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得，解得，

所以直线AB的解析式为y=x﹣4；

（2）直线AB交x轴于点Q，如图，

当y=0时，x﹣4=0，解得x=4，则Q（4，0），

因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），

所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（8分）（2016•黄冈）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．

【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10，CA=OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．

【解答】解：∵∠OCA=∠D+∠COD，

∴∠COD=30°﹣15°=15°，

∴CO=CD=20，

在Rt△OCA中，∵∠OCA=30°，

∴OA=OC=10，CA=OA=10≈17，

在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°，

∴BA=OA=10，OB=OA≈14，

∴BC=17﹣10=7，

当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.2（小时）；

当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.1（小时）；

当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.14（小时）；

所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．

【点评】本题考查了解直角三角形：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

23．（10分）（2016•黄冈）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

【分析】（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．

（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．

（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．

【解答】解：（1）设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：

解得，

∴y=﹣2t+120．

将t=30代入上式，得：y=﹣2×30+120=60．

所以在第30天的日销售量是60kg．

（2）设第x天的销售利润为w元．

当1≤t≤24时，由题意w=（﹣2t+120）（t+30﹣20）=﹣（t﹣10）2+1250，

∴t=10时 w最大值为1250元．

当25≤t≤48时，w=（﹣2t+120）（（﹣t+48﹣20）=t2﹣116t+3360，

∵对称轴x=58，a=1＞0，

∴在对称轴左侧w随x增大而减小，

∴x=25时，w最大值=1085，

综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．

（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．

由题意m=（﹣2t+120）（t+30﹣20）﹣（﹣2t+120）n=﹣t2+（10+2n）t+1200﹣120n，

∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，

∴﹣≥24，

∴n≥7．

又∵n＜9，

∴n的取值范围为7≤n＜9．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．

24．（14分）（2016•黄冈）如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；

（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；

（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM=CD，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），列方程即可得到结论；

（4）设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵令x=0得；y=2，

∴C（0，2）．

∵令y=0得：﹣=0，

解得：x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，﹣2）．

设直线BD的解析式为y=kx﹣2．

∵将（4，0）代入得：4k﹣2=0，

∴k=．

∴直线BD的解析式为y=x﹣2．

（3）如图1所示：

∵QM∥DC，

∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形．

设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），

则M（m，m﹣2），

∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=4，

解得：m=2，m=0（不合题意，舍去），

∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），

∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，

∴①当∠QBD=90°时，

由勾股定理得：BQ2+BD2=DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20=m2+（﹣m2+m+2+2）2，

解得：m=3，m=4（不合题意，舍去），

∴Q（3，2）；

②当∠QDB=90°时，

由勾股定理得：BQ2=BD2+DQ2，

即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2=20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，

解得：m=8，m=﹣1，

∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），

综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．