2009年漳州市高中自主招生四校联考

数 学 试 卷

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．）

1．下列四个算式：； ； ； 中，正确的有 （ ）

A．0个 B.1个 C.2个 D.3个

2．下列因式分解中，结果正确的是（　　）

A. B.

C. D.

3、如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图 ，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的左视图是 （ ）

　A． 　B．　C． D．

4．用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为．则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（　 ）

A. 3，2，1 B. 1，2，3

　C. 3，1，2 　D.无法确定

5.数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（3，－2）放入其中，就会得到32+(–2)+1=8.现将实数对(–2，3)放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是( )

A. 8 B. 55 　

C. 66 　D. 无法确定

6.漳州市为了鼓励节约用水，按以下规定收水费：（1）每户每月用水量不超过20m3，则每立方米水费为1.2元，（2）每户用水量超过20m3，则超过的部分每立方米水费2元，设某户一个月所交水费为y（元），用水量为x(m3),则y与x的函数关系用图像表示为（ ）

7.下面是六届奥运会中国获得金牌的一览表．

在5，16，16，28，32，51这组数据中，众数和中位数分别是（ ）

A.16，16 B.16，28 C.16，22 D.51，16

8．下列命题中，真命题是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形；

B．对角线相等的四边形是矩形；

C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；

D．对角线互相垂直的四边形是菱形；

9. △ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（ ）

A. B. C. D.

10．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好

落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）

A． B. C. D.

二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．）

11．已知，则的值　　　　　　　　．

12.在盒子里放有三张分别写有整式、、的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ．

13．如图13，在矩形ABCD中, 点E为边BC的中点, AE⊥BD，垂足为点O, 则的值等于 。

14．不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是 。

15．如图15，是一次函数y=kx+b与反比例函数的图像，则关于x的方程kx+b=的解为 。

16. 已知，⊙的半径为6，⊙的半径为8，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为 ．

17．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

容易看出(-2，0)是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为________．

18．如图18，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以BC的中点E为圆心，以AB长为半径作N与AB及CD交于M、N，与AD相切于H，则图中阴影部分的面积是 .

三、解答题（本大题共有6小题，共78分．其中第19题8分，第20、21题各12分，第22题14分，第23、24题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上）

19．计算：

20．先化简，再求值：，其中．

21． 在中，.以为底作等腰直角，是的中点，

求证：.

22．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6，连续投掷两次．

（1）用列表法或画树状图法表示出朝上的面上的数字所有可能出现的结果；

（2）记两次朝上的面上的数字分别为m、n，若把m、n分别作为点P的横坐标和纵坐标，

求点P（m，n）在双曲线y＝上的概率.

23．如图12，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

24．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．

（1）求这条抛物线对应的函数关系式；

（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；

（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2009年漳州市高中自主招生四校联考

数 学 模 拟 试 卷 答 题 纸

一、选择题：（每小题4，共10小题，共计40分）

二、填空题：（每小题4分，共8小题，共计32分）

三、解答题：（共6小题，共计78分）

2009年漳州市高中自主招生四校联考

数 学 模 拟 试 卷 答 案

命题人——诏安县南城中学：沈文水

一、选择题：（每小题4，共10小题，共计40分）

二、填空题：11:4;12::13:;14:;15:;16:2或14；

17：（3，0）；18：。

三、解答题：（共6小题，共计78分）

19、解：

5分

7分

8分

20、解：原式= ……………………………… 4分

………………………………8分

当时，原式．………………12分

21、证明：作的中线EF，………………1分

………………2分

………………6分

………………8分

………………10分

………………12分

22、（1）略；（2）点P（m，n）在双曲线y＝上的概率为.

23. （1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ………………………………（1分）

∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ………………………………（2分）

∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. ………………………………（3分）

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD. ………………………………（4分）

② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，

∵ PB=PE，

∴ ∠PBE=∠PEB，

∴ ∠PEB=∠PDC，

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，

∴ PE⊥PD. ………………………………（6分）

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.

∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴ ∠DPE=∠DCE=90°，

∴ PE⊥PD.

综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. ………（8分）

（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.

∵ AP=x，AC=，

∴ PC=- x，PF=FC=.

BF=FE=1-FC=1-()=.

∴ S△PBE=BF·PF=(). …………………（10分）

即 (0＜x＜). ………………………………（11分）

② . ………………………………（14分）

∵ ＜0，

∴ 当时，y最大值. ………………………………（16分）

（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

又∵ PB=PE，

∴ BF=FE，

∴ GP=FE，

∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ………………………………（3分）

∴ PE=PD. ………………………………（4分）

② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

∴ ∠DPE=90°.

∴ PE⊥PD. ………………………………（8分）

（2）①∵ AP=x，

∴ BF=PG=，PF=1-. ………………………………（9分）

∴ S△PBE=BF·PF=(). …………………（11分）

即 (0＜x＜). ………………………………（12分）

② . ………………………………（14分）

∵ ＜0，

∴ 当时，y最大值. ………………………………（16分）

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

24．（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），

可得C（0，4）

.∴D（0，2）. …………………………………（2分）

由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2. ………（3分）

当y＝0时，2x＋2＝0，

解得x＝－1.

∴A（－1，0）. …………………………………（4分）

由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）

求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4. …………………………………（6分）

（2）BD⊥AD……………………………………………………………………（7分）

求得B（4，0），…………………………………（8分）

通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.……………（10分）

（3）法1：求得M（，），AM＝. …………………………………（12分）

由△ANB∽△ABM，得＝，即AB2＝AM·AN，

∴52＝·AN，…………………………………（14分）

解得AN＝3.从而求得N（2，6）. …………………………………（16分）

法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°

得∠ABC＝45°. …………………………………（12分）

由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°. …………………………………（14分）

∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，∴N（2，6）. ……………………………（16分）