2019年武汉市中考数学试题、答案（解析版）

(满分120分,考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.实数2 019的相反数是 (　　)

A.2 019 B. C. D.

2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 (　　)

A. B. C. D.

3.在不透明袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．随机从袋子中一次摸出3个球．下列事件是不可能事件的是 (　　)

A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球

C.3个球中有黑球 D.3个球中有白球

4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是 (　　)

5.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是 (　　)

6.“漏壶”是一种中国古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出。壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度。下列图象适合表示与的对应关系的是 (　　)

7.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有实数解的概率是 (　　)

A. B. C. D.

8.已知反比例函数的图像分别位于第二，四象限，，两点在该图象上，下列命题：

①过点作轴，为垂足，连接．若的面积是3，则；

②若，则；

③若，则

其中真命题个数是 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

9.如图，是的直径，，是上两点，是上一动点，的平分线交于点，的平分线交于点，当点从点运动到点时，则，两点的运动路径长的比是 (　　)

A. B. C. D.

10.观察等式：；；；．已知按一定规律排列的一组数：．若，用含的式子表示这组数的和是 (　　)

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上)

11.计算的结果是　　　　　　．

12.武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25,20,18,23,27，这组数据的中位数是　　　　　　．

13.计算的结果是　　　　　　．

14.如图，在中，，是对角线上两点，，，，则的大小是　　　　　　．

15.抛物线经过，两点，则关于的一元二次方程的解是　　　　　　．

16.问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．

问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和最小值是　　　　　　．

三、解答题(本大题共8小题,共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分8分）

计算：．

18.（本小题满分8分）

如图，点，，，在一条直线上，与交于点，，．求证：．

19.（本小题满分8分）

为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，按四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜欢情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题．

（1）这次共抽取　　　　名学生进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是　　　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1 500名学生，估计该校表示“喜欢”的类学生大约有多少人？

20.（本小题满分8分）

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点画线段，使，且；

（2）如图1，在边上画一点，使；

（3）如图2，过点画线段，使，且．

21.（本小题满分8分）

已知是的两条切线，与相切于点，分别交，于点，两点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积．

22.（本小题满分10分）

某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）

（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是　　　　元/件；当售价是　　　　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　　　　元；

（2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件（），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件．该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1 400元，求的值．

23.（本小题满分10分）

在中，，，是边上的一点，连接．

（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直．求证：；

（2）过点作，作为垂足，连接并延长交于点．

①如图2，若，求证：；

②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）．

24.（本小题满分12分）

已知抛物线和．

（1）如何将抛物线平移得到抛物线？

（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．

①若，求点的横坐标；

②若，直接写出点的横坐标．

（3）如图2，的顶点，在抛物线上，点在点右边，两条直线，与抛物线均有唯一公共点，，均与轴不平行．若的面积为2，设，两点的横坐标分别为，，求与的数量关系．

2019年武汉市中考数学答案解析

1.【答案】B

【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数，互为相反数．因此2 019的相反数是，故选B．

【考点】相反数．

2.【答案】C

【解析】由在实数范围内有意义，可得，即，故选C．

【考点】二次方根式有意义的条件．

3.【答案】B

【解析】A．从袋子中一次摸出3个球共3种可能，即有3个黑球，2黑1白，2白1黑，都是黑球的情况可能发生，也可能不发生，属于随机事件；B．因袋中只有2个白球，故从袋子中一次摸出3个球都是白球属于不可能事件；C．因袋中只有2个白球，故从袋中一次摸出3个球有白球可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故选B．

【考点】概率．

4.【答案】D

【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴．很明显A，B，C选项都不是轴对称图形，故选D．

【考点】轴对称图形．

5.【答案】A

【解析】左视图是，俯视图是，主视图是，故选A．

【考点】简单组合体三视图的判断．

6.【答案】A

【解析】根据水从壶底小孔均匀漏出的速度一定，即是的一次函数，又由于随着时间的增加，壶底到水面的高度逐渐降低，故随的增大而减小，故选A．

【考点】一次函数的实际意义．

7.【答案】C

【解析】从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，共6种等可能结果，分别为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）；一元二次方程有实数解即，解得，满足条件的，共3种，为（1,2），（1,3），（1,4），故（一元二次方程有实数解），故选C．

【考点】一元二次方程根的判别式和概率的计算．

8.【答案】D

【解析】①，∴，∵反比例函数的图像位于第二、四象限，∴，∴，故①正确；②由，可知点在第二象限，点在第四象限，故，故②正确；③若，即，则点与点关于原点对称，∴，即，故③正确，∴真命题个数有3个，故选D．

【考点】反比例函数的图像与性质．

9.【答案】A

【解析】连接，，，设的半径为，连接，，设，则，∵是直径，∴，∵平分，∴，∵，分别平分，，∴点是的内心，∴平分，∵，∴，∴，又∵，是的外角，∴，∵，∴，∴，以点为圆心，以的长为半径作，则点在上，连接，，分别交于点，则点的运动路径为，点的运动路径为，中，长，中，长，则，两点的运动路径长的比为，故选A．

【考点】圆上的两个点运动路径长的比的问题．

10.【答案】C

【解析】由规律知，，则 ①， ②，①-②得，故选C．

【考点】探索规律．

11.【答案】4

【解析】代表16的算术平方根，∵，∴，故．

【考点】算术平方根．

12.【答案】23

【解析】将这组数据按照由小到大的顺序排列为18,20,23,25,27，∴中位数是23．

【考点】中位数的判断．

13.【答案】

【解析】．

【考点】本题考分式的化简运算．

14.【答案】

【解析】∵,，∴，∵，∴，设，则，，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，解得，即．

【考点】平行四边形与角度的计算．

15.【答案】，

【解析】一元二次方程为，可以转化为，此一元二次方程的根即为二次函数与轴的交点的横坐标，又二次函数是由二次函数向右平移一个单位长度得到的，且原抛物线与轴的交点坐标为，，则平移后抛物线与轴的交点坐标为，，故一元二次方程的根为，．

【考点】一元二次方程的根与二次函数图像的关系以及二次函数图像的平移．

16.【答案】

【解析】以为一边构造等边，以为一边构造等边，则，∴，又，∴，∴当点，，，四点共线时，，，三条线段在同一直线上，此时线段之和最短．过点作，交的延长线于点，，∵，∴，∵，∴，在中，．

【考点】最短路径问题．

17.【答案】解：原式 （5分）

（8分）

【解析】先算积的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项，注意运算顺序．

【考点】积的乘方公式、同底数幂的乘法公式、合并同类项．

18.【答案】证明：∵，∴， （2分）

∴． （4分）

∵，∴ （6分）

∴． （8分）

【解析】先证明，再利用平行线的性质进行角的等量代换．

【考点】平行线的判定与性质．

19.【答案】

解：（1）已知类人数为12人，所占百分比为24％，可求得总人数为；类对应的扇形圆心角为． （2分）

（2）类学生人数为． （3分）

（5分）

（3）， （7分）

∴估计该校表示“喜欢”的类学生大约有690人． （8分）

【解析】（1）已知类人数为12人，所占百分比为24％，可求得总人数为；类所对应的扇形圆心角为；（2）类学生人数为；（3）用全校总人数乘类学生所占比例即可．

【考点】统计，考查形式为条形统计图与扇形统计图相结合．

20.【答案】

解：（1）画图如图1． （2分）

（2）画图如图1． （5分）

（3）画图如图2． （8分）

【解析】（1）因为，所以只需作，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，且；（2）延长到，使，连接交于点，点即为所求；（3）根据平行线之间的平行线段相等构造平行四边形完成作图．

【考点】以方格纸为背景的几何作图，借助尺规作图画线段和点．

21.【答案】

解：（1）证明：如图1，过点作，为垂足，

∵，，是的切线，

∴，，，，

∴四边形是矩形，

∴，． （2分）

在中，，

∴，

∴． （3分）

（2）如图2，连接，，

由（1）知，

∵，，

∴，

∴等腰三角形．

∵，

∴垂直平分．

∴，． （5分）

∴在中，，在中，． （7分）

∴

． （8分）

【解析】（1）利用切线长定理、勾股定理求解；（2）先判断垂直平分，再得出特殊角的度数，从而通过割补法将不规则图形的面积转化为三角形面积与扇形面积的差来计算，使复杂问题简单化．

【考点】圆与相似三角形的应用．

22.【答案】

解：（1）①设与的函数关系式为，依题意有解得

∴与的函数关系式是； （2分）

②40,70,1 800． （5分）

设该商品进价为元，则根据表格可列，解得，

∵

，

故当售价为70元/件时，最大利润为1 800元．

（2）依题意有

， （7分）

∵，

∴对称轴，

∵，

∴抛物线开口向下，

∵，

∴随的增大而增大，

∴当时，有最大值， （9分）

∴，

∴． （10分）

【解析】（1）设一次函数的表达式为，利用点，求一次函数的表达式；根据概率公式直接求概率；（2）首先处理好售价与销售量的关系，再利用周销售利润=周销售量×（售价－进价）这个关系即可求出利润最大时的值．

【考点】待定系数法及函数的应用．

23.【答案】

解：（1）证明：延长交于点，

∵与垂直，，

∴，，

∴． （2分）

∵，，

∴，． （3分）

∴，

∴． （4分）

（2）①证明：过点；作交的延长线于点，

则与垂直．

由（1），得．

∵，

∴，，，

∴． （7分）

②． （10分）

如图3中，作交的延长线于点，作于点，不妨设，则．

，，，，

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴，

∵，

∴．

∵，

∴．

【解析】（1）证明；（2）①过点作，交的延长线于点，构造三角形相似即可证明结论；②作交延长线于点，作于点，将问题转化为求解的正切值即可．

【考点】了统计表和扇形统计图的综合运用三角形全等得证明、三角形相似的判定和性质、锐角三角函数．

24.【答案】

解：（1）将先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到． （2分）

（2）①如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，

∵

∴，，

∵直线经过，

∴，，

∵，轴，

∴，两点关于轴对称，

设关于轴的对称点为，则，

∴可求得直线的解析式为， （3分）

由得，，

∴，

∴，

∴点的横坐标为． （5分）

②设与轴交于点，与轴交于点，

设，则，

∵，，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：，．

∴点的横坐标为． （7分）

（3）如图3，

∵，

∴，，

设直线的解析式为，

∵，

∴，

由得， （8分）

依题意有，解得，

∴直线的解析式为，

同理，直线的解析式为，

由得

∴，

∵，

∴可求得直线的解析式为，

作轴交于点点，则，

∴，

∴

，

∴． （12分）

【解析】（1）考查函数的平移变换，通过求出两个抛物线的顶点坐标，从平移到可知平移的方向和距离；（2）①利用抛物线关系式求点的坐标，再求出直线的关系式，可知直线与轴的交点的坐标，又求点关于轴的对称点的坐标，然后可得直线的关系式，最后直线与抛物线的关系式联立方程组可解得点和点的横坐标；②设与轴交点，与轴交于点，设出，的坐标，根据，表示出的长度，由，列出方程，得到的值；（3）通过抛物线的表达式设点，的坐标，利用待定系数法和直线与抛物线有唯一交点，联立方程组，通过求直线，的关系式，再联立直线，得点的坐标，作轴，交于点，则的面积为与点，的坐标之差的乘积的一半．

【考点】二次函数图像的平移、二次函数与三角形的结合．