2018年山东省泰安市初中毕业、升学考试

数 学

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1． （2018山东省泰安市，1，3）计算：的结果是（ ）

A．-3 B．0 C．-1 D．3

【答案】D

【解析】根据有理数的运算法则进行计算，原式=2+1=3，故选D.

【知识点】有理数的加法和零指数.

2． （2018山东省泰安市，2，3）下列运算正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据整式的加减运算法则和幂的运算法则进行；

A、，此选项错误；B、，此选项错误；

C、 ，此选项错误；D、，此选项正确；

故选：D．

【知识点】整式的加法、同底数幂的乘除法、幂的乘方.

3． （2018山东省泰安市，3，3）如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（ ）

【答案】C

【解析】此题主要考查了几何体的三视图；根据定义可知：主视图是从正面观看到的图形形状，俯视图是从上面看到的图形形状；从主视图是半圆来看，A是错误的，从俯视图是矩形来看，A、B、D是错误的，故选C.

【知识点】三视图中的主视图、俯视图.

4． （2018山东省泰安市，4，3）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质。

解：∵AB∥CD ∠1=44° ∴ ∠2=∠3=44°

∵∠3是的外角 ∴∠3=30°+∠1

∴∠1=.

【知识点】平行线的性质、三角形的外角性质.

5． （2018山东省泰安市，5，3）.某中学九年级二班六级的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）

35 38 42 44 40 47 45 45

则这组数据的中位数、平均数分别是（ ）

A．42、42 B．43、42 C．43、43 D．44、43

【答案】B

【解析】本题考查了平均数与中位数的概念，先将这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的这个数字就是这组数据的中位数，由平均数的定义求得这组数据的平均数即可.

解：将这组数据按照由小到大的顺序排列：35、38、40、42、44、45、45、47，中间两个数字的平均数为43，故中位数为43，平均数=；故选B

【知识点】中位数、平均数

6． （2018山东省泰安市，6，3）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少

台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．由等量关系列出二元一次方程组．本题的相等关系一：、 两种型号的风扇，两周内共销售30台；相等关系二：销售的A、B两种型号D的30台共收入5300元，由此可列出方程组．

解：设型风扇销售了台，型风扇销售了台，由题意，得．故选择C．

【知识点】二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题.

7． （2018山东省泰安市，7，3）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

【答案】C

【解析】先由二次函数的图象确定a、b的符号，再根据a、b的符号来确定一次函数与反比例函数的图象的位置.

解：∵二次函数的图象开口向上，∴ a>0．∴反比例函数位于一、三象限，

∵抛物线的对称轴y轴左侧，∴ ∴ b>0．

∴直线位于一、二、三象限，故选C.

【知识点】二次函数的图像及性质；一次函数的图像及性质；反比函数的图像及性质.

8． （2018山东省泰安市，8，3）不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围.

解：解①得：， 解②得：．

则不等式组的解集是．

∵不等式组有3个整数解， ∴ ，解得：，故选B．

【知识点】一元一次不等式（组）的应用---与整数解有关的问题

9． （2018山东省泰安市，9，3）如图，与相切于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA、OB，可求得∠AOB的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论.

解：连接OA、OB，

∵BM与相切 ∴∠OBM=90°

∵ ∴∠ABO=50°

∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50°

∴∠AO B=80° ∴=

【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质

10．（2018山东省泰安市，10，3）一元二次方程根的情况是（ ）

A．无实数根 B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3

【答案】D

【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。

解法一：整理得：，解得：，故选D.

解法二：设，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D

【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.

11．（2018山东省泰安市，11，3）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解法不唯一，首先根据经过平移后得到的找到坐标的平移规律，根据规律确定的坐标，再根据旋转的坐标变化规律确定的坐标。

解：由图象可知：点C的为（3,5），点的坐标为（-1，0），

∴经过平移后得到的规律是：横坐标减4，纵坐标减5，

∴平移后点的坐标是（-2.8，-3.6），

∴点绕原点顺时针旋转后点的坐标是，故选A.

【知识点】图形平移的特征；图形旋转的特征.

12．（2018山东省泰安市，12，3）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【思路分析】是Rt的斜边，连接OP，则OP是Rt斜边的中线，求的最小值的问题就转化为求OP最小值的问题，连接OM交于点P，此时OP取得最小值.

【解题过程】解;连接MO，交于点P，则点P就是所求的点，过点P作

过点M作，

∵的坐标为 ∴

∴由勾股定理得;

又∵

又∵OP是Rt的中线 ∴

【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

13．（2018山东省泰安市，13，3）一个铁原子的质量是，将这个数据用科学记数法表示为

【答案】

【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的所有个数所决定．

解：

【知识点】科学计数法

14．（2018山东省泰安市，14，3）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．

【答案】

【解析】（1）构造以直径BD为斜边的Rt，根据圆周角∠A和圆周角∠D之间的关系推出是等腰直角三角形，从而可求出直径的长。（2）连接OB、OC，根据圆心角∠O和圆周角∠A之间的关系推出是等腰直角三角形，先求出半径OB或OC的长，从而再求出直径的长.

解法一：如图1，过点B作直径BD，连接DC，则∠BCD=90°

∵ ∴ ∴是等腰直角三角形

∵， ∴ 根据勾股定理得：

解法二：如图2，连接OB、OC

∵ ∴ ∴是等腰直角三角形

∵， ∴ 根据勾股定理得： ∴

【知识点】圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理.

15．（2018山东省泰安市，15，3）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为 ．

【答案】

【解析】根据折叠的性质得到Rt△AEB≌Rt△A’EB ，即可得到结论，，，在Rt△CBA’中利用勾股定理求得：，

在Rt△CDE中，设，根据勾股定理得到关于x的方程

，解方程求出x．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，从而求出的值

【解答过程】

解：∵矩形ABCD沿沿折叠，使点落在处，∴Rt△AEB≌Rt△A’EB

∴，，

在Rt△CBA’中，由勾股定理求得：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，

在Rt△CDE中，设AE＝x，则EC＝8+x，ED＝10﹣x，

在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2，即，解得x＝2，

在Rt△AEB中，

∴ 故答案是：

【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.

16．（2018山东省泰安市，16，3）.观察“田”字中各数之间的关系：

，则的值为 ．

【答案】270（或）

【解析】观察探索“田”字中各数之间的关系，首先观察出左上角格子中的顺序规律为，左下角格子中的顺序规律为，右下角格子中的顺序规律为，左上角格子中的顺序规律为

解：通过观察可知：首先观察出左上角格子中的顺序规律为，左下角格子中的顺序规律为，右下角格子中的顺序规律为，左上角格子中的顺序规律为；由；解得：

∴

故答案是：270（或）

【知识点】规律探究；一元一次方程；有理数的运算.

17．（2018山东省泰安市，17，3）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为 ．

【答案】

【解析】，由可以知道线段DE、EC的数量关系， ，则由勾股定理，可以将DE、EC用含x的代数式来表示，由点是的中点，则,从而列出与之间关系式.

解：∵ ∴设，由勾股定理得：.

∵，∴ ∴

∵点是的中点 ∴

故答案是：

【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.

18．（2018山东省泰安市，18，3）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为 步．

【答案】

【思路分析】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比例可求的长．

【解题过程】解：∵是正方形，∴DG∥KC， ∴ △AHD∽△AOC，

∴ 即 解得：

故答案是：

【知识点】相似三角形判定及性质

三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2018山东省泰安市，19，6）先化简，再求值

，其中.

【思路分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的化简整理，然后再代入数值计算.

【解题过程】.解：原式 2分

. 5分

当时， 原式. 6分

【知识点】因式分解；分式的化简求值；二次根式的化简.

20．（2018山东省泰安市，20，9）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.

（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？

（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）

【思路分析】本题考查了分式方程、一次函数及一元一次不等式的的实际应用，解题的关键是找出数量关系列出方程、一次函数和不等式．首先根据甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍来设未知数，根据用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本来列方程。在第（2）中，根据利润=甲种图书单件利润数量+乙种图书单件利润数量来列一次函数；根据书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书来列不等式确定函数自变量的取值范围，根据函数的增减性质，在取值范围内确定最值.

【解题过程】解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元.

由题意得： ， 2分

解得：.经检验，是原方程的解. 4分

所以，甲种图书售价为每本元，

答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元. 5分

（2）设甲种图书进货本，总利润元，则

. 6分

又∵， 解得， 8分

∵随的增大而增大，

∴当最大时最大，

∴当本时最大，

此时，乙种图书进货本数为（本）.

答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大. 9分

【知识点】分式方程的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用.

21．（2018山东省泰安市，21，8）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取了一个班学生的成绩进行整理，分为，，，四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：

（1）请估计本校初三年级等级为的学生人数；

（2）学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率.

【思路分析】本题综合考查了统计与概率知识，解题的关键是学会识图、用图，以及利用列举法或画树状图求事件的概率．利用双图的公共部分入手，先用8÷40%求出样本容量，再求A等级的频数，最后用样本的百分比估计初三学生等级A的人数．

【解题过程】解：（1）由题意得，所抽取班级的人数为：（人），

该班等级为的人数为：（人），

该校初三年级等级为的学生人数约为：（人）. 3分

答：估计该校初三等级为的学生人数约为125人.

（2）设两位满分男生为，，三位满分女生为，，.

从这5名同学中选3名同学的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10种情况. 6分

其中，恰好有2名女生，1名男生的结果为：，，，，，，共6种情况. 7分

所以恰有2名女生，1名男生的概率为. 8分

【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；用画树状图或列举法求等可能条件下事件的概率.

22．（2018山东省泰安市，22，9）如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.

（1）若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；

（2）若，求反比例函数的表达式.

【思路分析】（1）利用矩形的性质可以点E、A 的坐标，利用待定系数法求出m的值及直线AE的关系式；（2）利用勾股定理求出AE的长，从而求出AF、BF的长，明确点E、F的纵坐标，用字母a表示点E、F的横坐标，利用点E、F在同一反比例函数图象上列方程，求出它们的坐标，最终求出反比例函数的表达式.

【解题过程】解：（1）∵，，，为的中点， ∴，，

∵反比例函数图象过点，∴. 2分

设图象经过、两点的一次函数表达式为：，

∴， 解得， ∴. 4分

（2）∵，， ∴，

∵， ∴， ∴.

设点坐标为，则点坐标为， 6分

∵，两点在图象上， ∴， 解得， 8分

∴， ∴， ∴ 9分

【知识点】矩形性质；待定系数法求反比例函数及一次函数关系式，勾股定理；反比例函数k的意义.

23．（2018山东省泰安市，12，11）如图，中，是上一点，于点，是的中点，

于点，与交于点，若，平分，连接，.

（1）求证：；

（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.

（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.

【思路分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线定义推出∠CAG=∠FGA，从而推出AC∥FG;结合垂直条件，推出DE∥BC，从而推得，得到∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED；

再由点F是中点，推出FG时线段ED的中垂线，推出GE=GD，从而推出∠CGE=∠GDE；得到.

（2）由推出∠ADE=30°，推出，结合（1）知：，得到是菱形.

【解题过程】（1）证明：∵， ∴，

∵平分， ∴， ∴， ∴. 1分

∵， ∴，

∵， ∴， ∴，

∴，， 3分

∵是的中点，， ∴是的中点，

∴是线段的垂直平分线， ∴，，

∴， ∴. 5分

（2）证明：过点作于点，

∴，∴，

∴. 7分

由（1）得，

∴，

∴， 8分

∴. 9分

（3）四边形是菱形，理由如下：

∵， ∴， ∴， ∴. 10分

由（1）得， ∴四边形是菱形. 11分

【知识点】平行线的性质及判定；等腰三角形及直角三角形的性质；线段垂直平分线；三角形全等的判定，菱形的判定.

24．（2018山东省泰安市， 24，11）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.

【思路分析】本题考查了二次函数表达式的确定，利用函数求三角形面积的最大值以及直角三角形的判定. （1）直接将A、B、C三个点的坐标代入即可；（2）先求出直线AE的表达式，过点作与轴平行，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，因为D、F的纵坐标相同，利用同一字母表示它们的坐标，DF为竖直高，，列出面积与的函数关系式，利用配方法求最值；（3）分为∠PAE=90°、∠APE=90°和∠AEP=90°三种情况进行讨论，利用相似或勾股定理进行解答．

【解题过程】解：（1）由题意可得

， 1分

解得，

所以二次函数的解析式为. 3分

（2）由，，

可求得所在直线解析式为. 4分

过点作与轴平行，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，

设点坐标为，则点坐标为，

则， 5分

又，

∴

. 7分

∴当时，的面积取得最大值. 8分

（3）点的坐标为，，. 11分

【知识点】二次函数的表达式，待定系数法，二次函数求最值，勾股定理；分类讨论思想；数形结合思想；存在性问题.

25．（2018山东省泰安市，25，12）如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，,过点作的垂线，交的延长线于点.

（1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与相似的三角形，并证明；

（3）的延长线交的延长线于点，交于点.

求证：.

【思路分析】（1）由和已知条件可知和都与相等，得到结论；（2）利用菱形性质易证，由（1）的结论得，由菱形对角线的性质和已知得，从而 判断.（3）中的线段不在能够推得相似的两个三角形中，连接DM，利用菱形的对称性，容易得BM=DM，转化为证明，转化为证明，而这对三角形有公共角，继而转化为证明，这对相等的角利用菱形的对称性容易得到.

【解题过程】解：（1），理由如下：

∵， ∴，，

又∵， ∴. 2分

（2），证明如下：

∵四边形是菱形， ∴，，

∴. 4分

又∵，∴， 6分

又，∴. 7分

（3）连接.

∵四边形是菱形，由对称性可知

，， 9分

∵， ∴，

∴，

又∵， ∴， 11分

∴， ∴，

∴. 12分

【知识点】平行线的性质；相似三角形的性质及判定，菱形的性质.