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    数学高考试题及答案

    时间：2020-07-11    下载该word文档
    数学高考试题及答案

    一、选择题
    1．设>0,函数y=sin(x+值是 A．4+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小334
    32
    3B．C．3
    2D．3
    x2y22．如图，F1,F2是双曲线C:221(a0,b0的左、右焦点，过F2
    的直线与双曲线abC 交于A,B两点．若AB:BF1:AF13:4:5，则双曲线的渐近线方程为（ ）

    A．y23x A．－15x4
    B．y22x B．15x4
    C．y3x C．－20ix4
    D．y2x D．20ix4
    3．设i为虚数单位，则(x＋i6的展开式中含x4的项为( 4．已知sincos0，且coscos，则角是（ ） A．第一象限角
    B．第二象限角
    C．第三象限角
    D．第四象限角
    5．下列四个命题中，正确命题的个数为( ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M，M，l ，则Ml；
    ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A．1 6．已知向量aB．2 C．3 D．4
    3,1，b是不平行于x轴的单位向量，且ab3，则b（ ）
    31A．2,2
    （ ） 2 A．(2，13B．2,2
    133C．4,4
    D．1,0
    7．若不等式ax22ax42x24x 对任意实数x 均成立，则实数a
    的取值范围是2(2， B．(，2]C．(2，

    2] D．(，228．已知2a3b6，则a，b不可能满足的关系是（） A．abab

    B．ab4 D．a2b28
    C．a1b129．水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知BC4,AC3,BC//y轴,则ABC中AB边上的中线的长度为(

    A．    73 2B．73
    C．5 D．5
    210．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X,则P(X=4的值为 A．C．1
    220B．D．27 5527
    22021
    25x2y211．若双曲线221的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
    abA．y=±2x B．y=2x
    C．y1x
    2D．y2x
    212．在ABC中，A为锐角，lgblg(lgsinAlg2，则ABC为（ ） A．等腰三角形 C．直角三角形
    B．等边三角形 D．等腰直角三角形
    1c二、填空题
    13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北 ________ m.
    的方向上，仰角为    ，则此山的高度

    14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
    15．若过点M2,0且斜率为3的直线与抛物线C:yaxa0的准线l相交于点2B，与C的一个交点为A，若BMMA，则a____．
    x2y216．双曲线221(a0，b0的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直ab线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________. 17．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
    18．函数f(xlog2x1的定义域为________．
    19．在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60,点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE21BC,DFDC,则AEAF的值为 ． 3620．设复数z1i(i虚数单位,z的共轭复数为z，则1zz________.
    三、解答题
    21．在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知BABC2，1cosB，b3，求：
    3（1）a和c的值； （2）cos(BC的值.
    x2y222．已知椭圆C:221ab0的一个焦点为ab（1）求椭圆C的标准方程；
    （2）若动点Px0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
    5,0，离心率为5.
    3
    1xt223．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）.在以y3t12坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是22sin. 4（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
    （2）设点P0,1.若直l与曲线C相交于两点A,B,求PAPB的值.
    24．在△ABC中，BCa，ACb，已知a，b是方程x223x20的两个根，且2cos(AB1． （1）求角C的大小； （2）求AB的长．
    25．已知函数fxx2a1x2alnx(a0．
    21求fx的单调区间；
    2若fx0在区间1,e上恒成立，求实数a的取值范围． 26．已知函数fxax1lnx，aR． (Ⅰ讨论函数fx的单调区间；
    (Ⅱ若函数fx在x1处取得极值，对x0,，fxbx2恒成立，求实数b的取值范围．

    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 函数ysinx42的图象向右平移个单位后334ysinwx34w2sinwx333w0k1w2 所以有4w3k2kw323k3 22
    故选C
    2．A 解析：A 【解析】 【分析】
    设AB3,BF14,AF15,AF2x，利用双曲线的定义求出x3和a的值，再利用勾股定理求c，由y【详解】
    设AB3,BF14,AF15,AF2x，
    由双曲线的定义得：3x45x，解得：x3， 所以|F1F2|bx得到双曲线的渐近线方程.
    a4262413c13，
    bx23x.
    a因为2a5x2a1，所以b23， 所以双曲线的渐近线方程为y【点睛】
    本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
    3．A 解析：A 【解析】 试题分析：二项式展开式中含的项为的展开式的通项为，故选A.
    ，令    ，则    ，故【考点】二项展开式，复数的运算
    【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含    的项为．
    4．D 解析：D 【解析】 【分析】
    由coscos以及绝对值的定义可得cos0,再结合已知得sin0,cos0,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】
    由coscos，可知cos0，结合sincos0，得sin0,cos0， 所以角是第四象限角， 故选:D

    【点睛】
    本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.
    5．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
    试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
    两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；
    空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
    综上所述只有一个说法是正确的， 故选A．
    6．B 解析：B 【解析】 【分析】
    设bx,yy0，根据题意列出关于x、y的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b的坐标. 【详解】
    设bx,y，其中y0，则ab3xy3.
    1x2y21x132,. 由题意得3xy3，解得，即b22y0y32故选：B. 【点睛】
    本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.
    7．C 解析：C 【解析】
    由题意，不等式ax22ax42x24x，可化为(a2x2(a2x40， 当a20，即a2时，不等式恒成立，符合题意；
    2
    a20 ， 当a20时，要使不等式恒成立，需a224(44(a20解得2a2，
    综上所述，所以a的取值范围为(2,2]，故选C． 8．C 解析：C 【解析】 【分析】
    根据2a3b6即可得出a1log23，b1log32，根据log23log321，log32log322，即可判断出结果．
    【详解】 ∵2a3b6；
    ∴alog261log23，blog361log32；
    ∴ab2log23log324，ab2log23log324，故A,B正确；
    a1b122log23log322log23log322，故C错误；
    2    222∵a2b222log23log32log23log32
    24log23log322log23log328，故D正确
    故C． 【点睛】
    本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：ab2ab和不等式a2b22ab的应用，属于中档题
    9．A 解析：A 【解析】 【分析】
    根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】
    由斜二测画法规则知ACBC,即ABC直角三角形,其中AC3,BC8,所以AB73,所以AB边上的中线的长度为故选：A. 【点睛】
    73.
    2本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.
    10．D 解析：D

    【解析】 【分析】
    旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】
    因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一12C9C327个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以P(X4，故选3C12220D． 【点睛】
    本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4的意义，属基础题．
    11．B 解析：B 【解析】
    bba2b2双曲线的离心率为3，渐进性方程为yx，计算得2，故渐进性aaa方程为y2x.
    【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
    12．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
    试题分析：由lgblg(lgsinAlg2，所以lg1cb22lgbc且c22sinA22，又因为A为锐角，所以A45，由bc，根据正弦定理，得22sinB22sinCsin(135BcosBsinB，解得cosB0B90，所以22三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.
    二、填空题

    13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用
    解析：【解析】
    试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由

    正弦定理可得,解之得,应填.
    ,又因为,所以考点：正弦定理及运用．
    14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18 【解析】
    应从丙种型号的产品中抽取6030018件，故答案为18．
    1000点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．
    15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A点坐标为因 解析：8
    【解析】 【分析】
    由直线方程为y3(x2与准线l:xa得出点B坐标，再由BMMA可得，点4M为线段AB的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出a的值.
    2【详解】
    解：抛物线C:yaxa0的准线方程为l:xa
    4过点M2,0且斜率为3的直线方程为y3(x2，
    y3(x2联立方程组a，
    x4解得，交点B坐标为(a3(a8,， 44设A点坐标为(x0,y0， 因为BMMA，
    所以点M为线段AB的中点，

    ax(0442a3(a8所以，解得A(4,，
    3(a844y0402将A(4即(a3(a8,代入抛物线方程， 443(a82aa(4， 44因为a0， 解得a8. 【点睛】
    本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
    16．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
    解析：2 【解析】
    试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以AOB45，所以直线OA的方程为yx，此为双曲线的渐近线，因此ab，又由题意知OB22，所以a2b2a2a2(222，a2．故答案为2．
    【考点】双曲线的性质
    【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1掌握方程；(2掌握其倾斜角、斜率的求法；(3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
    求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为时为椭圆，当时为双曲线.
    的形式，当    ，    ，17．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人
    解析：60 【解析】 【分析】
    采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】

    ∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：300故答案为60.
    460.
    455618．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
    解析：[2，+∞） 【解析】
    分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
    详解：要使函数fx有意义，则log2x10，解得x2，即函数fx的定义域为[2,.
    点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
    19．【解析】在等腰梯形ABCD中由得所以考点：平面向量的数量积
    29
    18【解析】
    解析：在等腰梯形ABCD中,由ABDC,AB2,BC1,ABC60,得ADBC11,ABAD1,DCAB,所以AEAFABBEADDF 2222121111129ABBCADABABADBCADABBCAB131231218331818.考点：平面向量的数量积.
    20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 解析：10
    【解析】
    分析：由z1i，可得z1i，代入1zz，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.
    详解：因为z1i，所以z1i，1zz11i1i2i1i
    3i9110，故答案为10.
    点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意i21和abicdiacbdadbci
    三、解答题


    21．（1）a3,c2；（2）【解析】
    试题分析：（1）由BABC2和cosB23 271，得ac=6.由余弦定理，得a2c213. 3解，即可求出a，c；（2） 在ABC中，利用同角基本关系得sinB22.
    3c42，又因为abc，所以C为锐角，因此sinBb9由正弦定理，得sinCcosC1sin2C7，利用cos(BCcosBcosCsinBsinC，即可求出结果.
    9，又cosB（1）由BABC2得，1，所以ac=6.
    3由余弦定理，得a2c2b22accosB. 又b=3，所以a2c292213.
    解，得a=2，c=3或a=3，c=2.
    因为a>c,∴ a=3，c=2.
    （2）在ABC中，sinB1cos2B1(2由正弦定理，得sinC1322.
    3c22242，又因为abc，所以C为锐角，因sinBb339此cosC1sin2C1(4227. 9917224223. 393927于是cos(BCcosBcosCsinBsinC=考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
    x2y222y013. 22．（1）1；（2）x094【解析】 【分析】 【详解】
    试题分析：（1）利用题中条件求出c的值，然后根据离心率求出a的值，最后根据a、
    b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、k2，并由两条切线的垂直关系得到k1k21，并设从点Px0,y0所引的直线方程为ykxx0y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用0得到有关k的一元二次方程，最后利用k1k21以及韦达定理得到点P的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P的轨迹方程. （1）由题意知55a3，且有a3，即32b25，解得b2，
    x2y2因此椭圆C的标准方程为1；
    94（2）①设从点P所引的直线的方程为yy0kxx0，即ykxy0kx0， 当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，则k1k21， 将直线ykxy0kx0的方程代入椭圆C的方程并化简得9k24x218ky0kx0x9y0kx0360，
    2    化简得ykx9k40，即x9k2kxyy40，
    则k、k是关于k的一元二次方程x9k2kxyy40的两根，则229y0kx02360， 18kykx49k400220020200201220200202y04k1k221，
    x0922化简得x0y013；
    ②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为3,2，此时点P也在圆x2y213上.
    综上所述，点P的轨迹方程为xy13.
    考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
    23．（1）3xy10，(x1(y12；（2）231. 【解析】 【分析】
    （1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l的普通方程，极坐标方程展开后，两边2222
    同乘以，利用2x2y2,cosx,siny ，即可得曲线C的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】
    （1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得 直线l的普通方程为3xy10.
    22将曲线C的极坐标方程化为222sin2cos.
    2    2即2sin2cos.∴x2+y2=2y+2x.
    故曲线C的直角坐标方程为x1y12. （2）将直线l的参数方程代入x1y12中，得
    2    22213t22. t122化简，得t123t30.
    ∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2. 由根与系数的关系，得t1t2231，t1t23，即t1，t2同正. 由直线方程参数的几何意义知,
    2    2    2PAPBt1t2t1t2231.
    【点睛】
    本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos和sin换成x和y即可. 24．C120o,c10 【解析】
    试题分析：解：（1）cosCcosABcosAB（2）由题意得{1，所以C120
    2ab23ab2
    ∴AB2AC2BC22ACBCcosCa2b22abcos120 =abababab232222210
    ∴AB10
    考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用

    点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题
    e22e25．（1）见解析； （2）a.
    2e2【解析】 【分析】
    1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求fx的单调区间；2若fx0在区间1,e上恒成立，则只需求出fx的最大值即可，求实数a的取值范围． 【详解】
    1fxx22a1x2alnx(a0．
    2x22a1x2ax2x1xax(x0，
    f'x由得x1a，x21，
    ，
    当0a1时，在x0,a或x1,时在xa,1时，
    fx的单调增区间是0,a和1,，单调减区间是a,1；
    当a1时，在x0,时，
    fx的单调增区间是0,；
    当a1时，在x0,1或xa,时在x1,a时．
    ，
    fx的单调增区间是0,1和a,，单调减区间是1,a．
    2由1可知fx在区间1,e上只可能有极小值点， fx在区间1,e上的最大值在区间的端点处取到，
    2即有f112a10且fee2a1e2a0，
    e22e解得a．
    2e2e22e即实数a的取值范围是a．
    2e2【点睛】
    本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．
    26．(1 当a0时，f(x的单调递减区间是(0,，无单调递增区间；当a0时，
    f(x的单调递减区间是0,111,b≤1，单调递增区间是 (2 ae2a【解析】 【分析】 【详解】
    分析：（1）求导fx，解不等式fx0，得到增区间，解不等式fx0，得到减区间；
    （2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+1﹣xlnx1lnx≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值 xxx详解：
    （1）在区间0,上， fxa1ax1， xx当a0时， fx0恒成立， fx在区间0,上单调递减； 当a0时，令fx0得x在区间0,1， a1上，fx0，函数fx单调递减， a1在区间,上，fx0，函数fx单调递增.
    a综上所述：当a0时， fx的单调递减区间是0,，无单调递增区间； 当a0时，fx的单调递减区间是0,11,，单调递增区间是
    aa（2）因为函数fx在x1处取得极值， 所以f10，解得a1，经检验可知满足题意 由已知fxbx2，即x1lnxbx2， 即1+1lnxb对x0,恒成立， xx1lnx， xx令gx1则gx11lnxlnx2， 22xxx222e易得gx在0,e上单调递减，在,上单调递增，
    所以gxminge1e1，即b≤1e1222.

    点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
    （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
    （2）若f(x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(xmin0，若f(x0恒成立，转化为f(xmax0;
    （3）若f(xg(x恒成立，可转化为f(xming(xmax

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