2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷一）

数学-理

1、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则

A. B. C. D.

2. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则

A. B.

C. D.

3. 已知，，，则

A. B. C. D.

4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

5. 函数在的图像大致为

A. B.

C. D.

6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的六个爻组成，爻分成阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A. B. C. D.

7. 已知非零向量，满足，且，则与夹角为

A. B. C. D.

8. 右图是求的程序框图，图中空白部分中应填入

A.

B.

C.

D.

9. 记为等差数列的前n项和.已知，，则

A. B. C. D.

10. 已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为

A. B. C. D.

11. 关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；②在区间单调递增；

③在有四个零点；④的最大值为2

其中所有正确的结论的编号是

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

12. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为

A. B. C. D.

2、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。

13. 曲线在点处的切线方程为 .

14. 记为等比数列的前n项和.若，，则 .

15. 甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场次安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 .

16. 已知双曲线C： 的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为 .

3、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

（1）必考题：共60分。

17. （12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,设.

（1）求A；

（2）若，求.

18. （12分）

如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是, ,的中点.

（1）证明： 平面

（2）求二面角的正弦值

19. （12分）

已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若，求的方程；

（2）若，求.

20. （12分）

已知函数，为的导数.证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有两个零点.

21. （12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选取一只施以甲药另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验.并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药的1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则甲药的-1分，乙药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别为和，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，， ，其中，，.假设，.

（i）证明： 为等比数列;

（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.

（2）

选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求C和的直角坐标方程；

（2）求C上的点到距离的最小值.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足.证明：

（1）；

（2）.