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    四川达州中考试题及解析-

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    2018年四川省达州市初中毕业、升学考试
    学科
    （满分120分，考试时间120分钟）
    一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018四川省达州市，1，3分） 2018的相反数是（ ）． A．2018 B．－2018 C．11 D．－． 20182018【答案】B．
    【解析】∵a的相反数是－a，∴2018的相反数是－2018．故选B. 【知识点】相反数

    2．（2018四川省达州市，2，3分）二次根式2x4中x的取值范围是（ ）． A．x＜－2 B．x≤－2 C．x＞－2 D．x≥－2 【答案】D．
    【解析】由2x＋4≥0，得x≥－2．故选D. 【知识点】二次根式中被开方数的非负性 3．（2018四川省达州市，3，3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）．
    A.B.C.D
    【答案】B．
    【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 ．根据中心对称图形的定义，得图形B是中心对称图形．故选B. 【知识点】中心对称图形 4．（2018四川省达州市，4，3分）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度数为（ ）． A．30° B．35° C．40° D．45° AB3C2D1
    第4题图 【答案】B．
    【解析】如图，∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠4＝45°，∵∠3＝80°，∴∠2＝35°．故选B.

    A    134    2    BCD
    【知识点】平行线的性质；三角形的外角 5．（2018四川省达州市，5，3分）下列说法正确的是（ ）． A．“打开电视机，正在播放《达州》新闻”是必然事件；

    B．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨；

    22C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲＝0.3，S乙＝0.4，则甲的成绩更稳定；

    D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7． 【答案】C. 【解析】 A B C
    判断
    “打开电视机，正在播放《达州》新闻”是随机事件
    天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的可能性会下雨
    22方差分别是S甲＝0.3，S乙＝0.4，则甲的成绩更稳定
    正误 错误 错误
    甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，正确
    D 数据6，6，7，7，8的中位数7，众数为6，7 错误
    故选C. 【知识点】随机事件；概率；方差；中位数；众数

    6．（2018四川省达州市，6，3分）平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量OP可以用点P的坐标表示为OP＝（m，n），已知OA1＝（x1，y1），OA2＝（x2，y2），若x1·x2＋y1·y2＝0，则OA1与OA2互相垂直．
    1下列四组向量：①OB1＝（3，－9），OB2＝（1，－）；
    3②OC1＝（2，π°），OC2＝（21，－1）；

    ③OD1＝（cos30°，tan45°），OD2＝（sin30°，tan45°）； ④OE1＝（5＋2，2），OE2＝（5―2，其中互相垂直的组有（ ）．
    A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A.
    2）．
    2    1【解析】①OB1＝（3，－9），OB2＝（1，－）；
    3    1∵3×1＋（―9）×（―）≠0，∴OB1与OB2互相不垂直．
    3
    ②OC1＝（2，π°），OC2＝（21，－1）；

    ∵2×21＋（―9）×（―1）＝0，∴OC1与OC2互相垂直． ③OD1＝（cos30°，tan45°），OD2＝（sin30°，tan45°）；
    ∵cos30°·sin30°＋tan45°·tan45°≠0，∴OD1与OD2互相不垂直． ④OE1＝（5＋2，2），OE2＝（5―2，∵（5＋2）×（5―2）＋2×2）．
    2    2≠0，∴OE1与OE2互相不垂直．
    2故选A. 【知识点】阅读理解题；向量 7．（2018四川省达州市，7，3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N） 与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）．


    第7题图
    y    x    O    A.    O    B.    y    x    O    y    x    O    C.    y    x    D.
    【答案】D.
    【解析】在铁块未露出水面前，弹簧读数不变（等于铁块的重力减去所受的浮力），当铁块开始露出水面后，随着排开水的体积减小，浮力减小，则弹簧读数将不断增大，直至铁块完全露出水面后，弹簧的读数将等于铁块的重力，之后将保持不变．故选D. 【知识点】变量的表示方法--图象法 8．（2018四川省达州市，8，3分） △ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M．若BC＝7，则MN的长为（ ） ． A．35 B．2 C． D．3 22
    AMBDNEC
    第8题图 【答案】C，
    【解析】∵△ABC的周长为19，BC＝7， ∴AB＋AC＝12．
    ∵∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∴BA＝BE，N是AE的中点． ∵∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，∴AC＝DC，M是AD的中点． ∴DE＝AB＋AC－BC＝5． ∵MN是△ADE的中位线，
    15DE＝． 22故选C.
    【知识点】三角形的中位线 ∴MN＝9．（2018四川省达州市，9，3分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝DE、DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH，则A．SSADGBGH1AC，连接4的值为（ ）．
    123 B． C． D．1 234DEFBHCA
    G

    第9题图 【答案】C．
    【解析】如图，过点H作HM∥AB交AD于M，连接MG． 设S平行四边形ABCD＝1．∵AE＝CF＝∴S△ADE＝1AC， 41113S△ADC＝S平行四边形ABCD＝，S△DEC＝． 488811∴S△AEG＝S△DEC＝．
    249111∴S△ADG＝S△ADE＋S△AEG＝＋＝．
    8246∵∵CH211＝，∴S△AMG＝S△ADG＝． AD339AG12＝，∴S△GBH＝2 S△AMG＝． CD93
    ∴SSADGBGH    1    3＝6＝． 249故选C.
    DMEAGBFCH
    【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等 10．（2018四川省达州市，10，3分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2． 下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0;
    ③若点M（15，y1）、N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2； 2223④－＜a＜－. 55其中正确结论有（ ）．
    A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个

    y3B21x=2
    A–1O    x
    第10题图 【答案】D
    【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵－①正确；
    当x＝3时， y＝9a＋3b＋c＞0，②正确;

    b＞0，∴b＞0．∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0． ∴abc＜0，2a15，y1）与对称轴的距离大于点N（，y2）与对称轴的距离，∴y1＜y2，③正确； 22∵抛物线与x轴的交点坐标分别为A（－1，0），（5，0）， ∴二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－5） ＝a（x2－4x－5）＝ax2－4ax－5a．
    ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∵对称轴为直线x＝2，点M（23∴2＜－5a＜3．∴－＜a＜－，④正确. 55故选D. 【知识点】二次函数的图象与性质


    二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018四川省达州市，11，3分）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为___________． 【答案】5.5×108
    【解析】数据5.5亿用科学记数法表示为5.5×108． 故答案为：5.5×108 【知识点】科学记数法

    12．（2018四川省达州市，12，3分）已知am＝3，an＝2，则a2mn的值为___________．

    9【答案】．
    2【解析】∵am＝3，an＝2，
    2∴a2mn＝（am）an
    9＝32÷2＝．
    29．
    2【知识点】幂的乘方；同底数幂的除法
    故答案为：13．（2018四川省达州市，13，3分）若关于x的分式方程x3a2a无解，则a的值为___________． x33x【答案】1．
    【解析】去分母将分式方程转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝3，代入整式方程求出a的值即可．注意：要考虑分母不为0．
    解：去分母得：x－3a=2a（x－3）， 由分式方程无解，得到x＝3，
    把x＝3代入整式方程得：3－3a=2a（3－3）， 解得：a=1． 故答案为：1．
    【知识点】分式方程的解

    14．（2018四川省达州市，14，3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，23）.将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为___________．

    yB1BA1COC1xA
    第14题图 【答案】（－23，6）. 【解析】如图，

    B1BA1COyEDC1xA
    ∵矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，23）. ∴OA＝6， AB＝OC＝23. 23,∴∠AOB＝30°，
    6在Rt△DOC1中，
    ∵tan∠AOB＝∵∠DOC1＝30°，OC 1＝23， ∴OD＝4，DC1＝2． ∵B1C 1＝6，∴B1D＝4， 在Rt△DEB1中，
    ∵∠DB1E＝30°，∴DE＝2， B1E＝23． ∴B1（－23，6）. 故答案为：（－23，6）.
    【知识点】平面直角坐标系；锐角三角函数；旋转的性质

    15．（2018四川省达州市，15，3分）已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，则【答案】3.
    mnn1的值为___________．
    n1．
    n由已知得m2－2m＝n2＋2n， ∴（m＋n）（m－n－2）＝0． ∴m＝－n或m－n－2＝0． 【解析】∵mn≠1，∴m≠∵n2＋2n－1＝0，∴n＋2－∴1＝0．
    nmnn111＝m＋1＋＝1－n＋＝1＋2＝3． nnn【知识点】代数式的值；平方差公式；因式分解； 16．（2018四川省达州市，16，3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，点D是BC边上一点且CD＝1，点P是线段DB上一动 ，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP.当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为___________．


    C    D    P    B    AO第16题图 【答案】22

    【解析】如图，以AC为斜边在AC的右下方作等腰Rt△AEC,以AD为斜边在AD的右下方作等腰Rt△AMD，以AB为斜边在AB的下方作等腰Rt△ANB，连接NM并延长，则点E、点C在NM的延长线上.

    C    C    D    PMONB    ADEMONPBA
    ∵∠C＝90°，∠ANB＝90°， ∴A、C、B、N四点共圆. ∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC．
    ∴NEAE＝． BCAC在等腰Rt△AEC中，AC＝2，∴AE＝2．
    252NE＝，∴NE＝．
    225当点P与点C重合时，点O的位于点E的位置．当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的从点M出发运∵DB4MN4＝，∴＝，∴MN＝22． BC5NE5【知识点】圆的基本性质；四点共圆；相似三角形的判定与性质，比例的性质

    三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 动至点N．∵1-2201817．（2018四川省达州市，17，6分） 计算：＋－|2－12 |＋4sin60° （-1）（-）21-22018【思路分析】本题考查实数的运算. 计算时， 先分别求出、、12、sin60°的值 ，再进行实数的（-1）（-）2混合运算，注意运算顺序.
    【解题过程】解：原式＝1＋4－（2－23）＋4×＝1＋4－2＋23＋23 ＝3＋23.
    【知识点】实数的运算；有理数的乘方；负整数指数幂；算术平方根；绝对值；特殊角的三角函数值
    3
    2
    18．（2018四川省达州市，18，6分） 化简代数式：（①x2(x113xxx，再从不等式组的-）2x1x1x16x103x1②解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值. 【思路分析】先求出不等式组的解集，然后化简代数式，根据题意选取合适的整数值代入，求出代数式的值. 【解题过程】解：解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞－3， x2(x11∴不等式组6x103x1①②的解集为－3＜x≤1 3（xx1）（-xx1）x213xxx＝ （-）（x1）xx1x1x213（xx1）（-xx1）（x1）（x1）＝ （x1）（x1）x＝3（x＋1）－（x－1） ＝3x＋3－x＋1 ＝2x＋4. ∵x≠0，x≠±1
    ∴当x取－2时，原式＝2×（－2）＋4＝0. 【知识点】解不等式（组）；分式的化简求值 19．（2018四川省达州市，19，7分）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中 选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题. 人数10008006004002000CBAE D25%500300100ABCDE选项300
    第19题图
    （1）本次调查中，一共调查了___________名市民；扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是___________度；补全条形统计图；
    （2）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.

    【思路分析】（1）由统计图，得常用交通工具为D的有500人，占比25%，所以本次调查中，一共调查了市民500÷25%＝2000（名）； 其它各项如下表： 交通工具 A B C D E 人数 100 300 800 500 300 所占的百分比 100÷2000＝5% 300÷2000＝15% 1―5%―15%―25%―15%＝40% 25%
    300÷2000＝15% 对应的扇形圆心角 360°×5%＝18° 360°×15%＝54° 360°×40%＝144° 360°×25%＝90° 360°×15%＝54°

    补全条形统计图（略）
    （2）用列表法或画树状图法，求甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率. 【解题过程】解：（1）2000， 54°，补全条形统计图： 人数10008006004002000800500300100ABCDE选项300
    （2）列表法
    A B C D

    画树状图的方法
    开始甲乙    A    B    C    DA （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
    B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
    C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
    D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
    ABCDABCDABCDABCD
    从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能的结果共有16种，且每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的有4种，即（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），∴P（甲、乙两人恰好选择同一种交通工41； 具上班）＝164【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率 20．（2018四川省达州市，20，6分）在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值.）
    C    A    30°    B    45°

    第20题图
    【思路分析】认真审题，找出题中的等量关系，应用锐角三角函数构建关于x方程，解方程可得答案. 【解题过程】解：如图，设雕塑的高CD为x米．


    C    x30°445°B    x    D    A

    在Rt△ACD中，AD＝
    xx，在Rt△BCD中，BD＝＝x， tan30tan45x－x＝4． tan30根据题意，得AD－BD＝4，即解得x＝23＋2．
    答：雕塑的高CD为（23＋2）米．
    【知识点】锐角三角函数的实际应用 21．（2018四川省达州市，21，7分） “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同. （1）求该型号自行车的进价与标价分别是多少元？
    （2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3 辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 【思路分析】（1））本小题的等量关系是按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．根据等量关系列、解方程即可解决问题．
    （2）本小题的等量关系是每月的利润W＝实际售价×销售数量．根据等量关系列、解方程可得． 【解题过程】解：（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1＋50%）x元． 根据题意，得8[（1＋50%）x×0.9－x]＝7[（1＋50%）x－100－x] 整理,得2.8x＝3.5x－700 解得x＝1000(元,
    （1＋50%）x＝1500(元 ．
    答: 该型号自行车的进价为1000元，则标价为1500元．
    （2）设该型号自行车降价a元时，每月获利W最大．根据题意，得 W＝（155－1000－a）（51＋＝－＝－＝－3x）
    2032480a＋a＋25500 20203（a2－160a＋802－802）＋25500 203（a－80）2＋26460. 20当a＝80时，每月获利最大，最大利润是26460元. 即该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元. 【知识点】一元一次方程的应用; 一元二次方程的应用; 22．（2018四川省达州市，22，8分）已知，如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.

    （1）求证：DF是⊙O的切线；
    （2）若等边△ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分的面积. ADBOFEC
    第22题图 【思路分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一性质证点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理得OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；
    （2）根据阴影部分的面积＝△DEF的面积－DE所含的弓形面积列式计算可得． 【解题过程】解：（1）连接OD，CD．
    ADBOFEC
    ∵BC是直径，∴∠BDC＝90°．∵等边△ABC，∴点D是AB的中点．∵点O是BC的中点，∴根据三角形中位线定理得OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线； （2）连接OD，OE，DE．
    ADBOFEC
    ∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴DE是△ADE的中位线． ∵等边△ABC的边长为8，∴等边△ADE的边长为4． ∵DF⊥AC，∴EF＝2，DF＝23． ∴△DEF的面积＝11·EF·DF＝×2×23＝23． 22∴△ADE的面积＝△ODE的面积＝43． 60428∴扇形ODE的面积＝＝．
    3603∴阴影部分的面积＝△DEF的面积－DE所含的弓形面积
    88－43）＝63－． 33【知识点】三角形中位线定理；切线的判定；扇形面积公式 ＝23－（
    23．（2018四川省达州市，23，9分） 矩形中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝象与边AC交于点E.

    yA    ECF    x    O    图1    B    OG图2AyECFBxk（k＞0）的图x
    第23题图
    （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值；
    （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在OB边上的点G处，求此时反比例函数的解析. 【思路分析】（1）先根据题意求出点F的坐标，然后求得反比例函数解析式，最后求出点E的坐标；
    EC4＝； FC3（3）过点E作ED⊥OB于D，利用相似三角形的性质构建关于m的方程，由m的值，求得点F的坐标，进而求得k值，反比例函数解析式可求． 【解题过程】解：（1）∵矩形中，OB＝4，OA＝3，当点F是BC的中点时，F的坐标为（4，1.5），此时，反比（2）根据正切的定义，得tan∠EFC＝例函数的解析式为y＝6．当y＝3，x＝2，∴点E的坐标（2，3）；
    xEC4＝； CF3（3）过点E作ED⊥OB于D，则∠EGD＋∠DEG＝90°．
    ∵∠EGF＝90°，∴∠EGD＋∠BGF＝90°，∴∠DEG＝∠BGF． ∵∠GBF＝90°，∴△DEG∽△BGF． （2）在Rt△EFC中，tan∠EFC＝∴DEGB＝． EGGFDE2GB2∴＝． EG2GF2EC4EG4∵＝，∴＝．
    3CF3GF设EG＝4m，GF＝3m，则BF＝3－3m．
    9m2(33m29∴＝．
    (3m216m2∴m＝2521．3－3m＝ 323221）；
    32k2121k，即＝，∴k＝． x483221． 8x∴点E的坐标（4，设反比例函数的解析式为y＝∴反比例函数的解析式为y＝
    yAECFODGBx
    【知识点】反比例函数；相似三角形的判定与性质 24．（2018四川省达州市，24，11分）阅读材料：
    已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是A1A2上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1＋PA2＝PA3，从而得到PA1PA21＝是定值. PA1PA2PA32（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整：
    A3A1MP    OA2
    第24题图1 证明：如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M. ∵△A1A2A3是等边三角形， ∴∠A3A1A2＝60°.
    ∴∠A3A1P＝∠A2A1M，
    又A3 A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P， ∴△A1A3P≌△A1A2M.
    ∴PA3＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋PA1
    ∴PA1PA21＝，是定值. PA1PA2PA32（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A 4”，
    PA1PA2其余条件不变，请问还是定值吗？为什么？
    PA1PA2PA3PA4A4OA1PA2A3


    第24题图2 （3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4 A5”，其余条件不变，则PA1PA2＝___________（只写出结果）. PA1PA2PA3PA4PA5A4A5A3OA1PA2
    1515 AC；若顶角∠A＝36°，则BC＝ 22第24题图3 参考数据：如图，等腰△ABC中，若顶角∠A＝108°，则BC＝AC. AA108°B36°36°CB36°72°72°
    【思路分析】（1）阅读材料，得出方框内的内容.先根据全等三角形的性质得PA3＝MA2，PA1＝MA1，然后根据全等三角形的判定和性质得PA1＝PM . PA1PA2（2）用类比的方法证得还是定值.
    PA1PA2PA3PA4（3）用类比的方法证得PA1PA2还是定值.
    PA1PA2PA3PA4PA5【解题过程】解：（1）方框内的内容为： ∴PA3＝MA2，PA1＝MA1， ∵∠PA1M＝60°， ∴△PA1M是等边三角形. ∴PA1＝PM . （2）是定值. 理由：如图2，作∠PA1M＝90°，A1M交A2P的延长线于点M. A4OA1MPNA2A3
    ∵A1A2A3A 4是正方形， ∴∠A4A1A2＝90°.
    ∴∠A4A1P＝∠A2A1M，

    又A4 A1＝A2A1，∠A1A4P＝∠A1A2P， ∴△A1A4P≌△A1A2M. ∴PA4＝MA2，PA1＝MA1， ∵∠PA1M＝90°， ∴PM＝2PA1.
    ∴PA4＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋2PA1，
    作∠PA2MN＝90°，A2N交A1P的延长线于点MN. 同理可得PA3＝PA1＋2PA2， ∴PA3＋PA4＝(1+2 (PA1＋PA2 ∴PA1PA212＝＝1－，是定值. PA1PA2PA3PA422+2PA1PA2135＝＝，是定值. PA1PA2PA3PA4PA543+5（3）【知识点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；勾股定理；分母有理化；多边形内角和；类比的思想方法

    25．（2018四川省达州市，25，12分）如图，抛物线经过原点 O（0，0），点A（1，1），点B（7，0）. 2（1）求抛物线解析式；
    （2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
    （3） 点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N. 问：是否存在点M，使以点O、M、N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. yAB172C备用图yAOB172C1Oxx第25题图
    7），用待定系数法求得a的值即可；
    2（2）延长CA交y轴于点E .先求出点E的坐标，再求出AC所在直线的解析式，之后求出抛物线与AC所在直线的交点C的坐标. △AOC的面积可求. （3）存在. 过点M作MF⊥x轴于点F，因为MNO∽△FMO，MNO∽△AOC，所以△FMO∽△AOC. 设点M（a，【思路分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax（x－|－2 27 a＋a|），利用相似构建关于a的方程，解之可得点M的坐标. 55
    【解题过程】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x－∵点A（1，1），∴1＝a（1－∴抛物线解析式为y＝－7）.
    272），∴a＝－. 252277x（x－）＝－x2＋x. ①
    5525（2）如图，延长CA交y轴于点E.
    yE1OA1B72CDx
    ∵点A（1，1），∴点A在坐标轴夹角的平分线上. ∴∠AOE＝45°.

    ∵AC⊥OA，∴E（0，2）. 设AC所在直线的解析式为y＝k x＋b. 1kb,k1,根据题意，得解得
    2b,b2,∴AC所在直线的解析式为y＝－x＋2. ②
    联立①②，得 227yxx,55 yx2,x25,x11,解得（舍去）或
    y-3,y1,21∴点C（5，－3）. ∴OD＝5，CD＝3. 11·OD·（1＋CD）＝×5×4＝10. 22（3）存在点M，使以点O、M、N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似. 如图，过点M作MF⊥x轴于点F，则MNO∽△FMO.
    ∴△AOC的面积＝yAO1MBFNC    x    OyAFN    1    BMC    x

    ∵MNO∽△AOC， ∴△FMO∽△AOC. ∴MFOA＝ . FOAC∵点A（1，1），∴OA＝2.∵点C（5，－3），∴AC＝42. ∴OA1＝ . AC4设点M（a，|－2 27 a＋a|）， 5527｜a2a|5＝1 . ∴5a42 27a a＋a|＝ . 5542277a当－ a 2＋a≥0时，－ a 2＋a＝ . 55554整理，得8a 2－23a＝0 ∴|－解得a1＝当a＝23，a2＝0（不合题意，舍去），
    8272323时，－ a 2＋a＝，
    558322323∴点M（，）；
    8322277a当－ a 2＋a＜0时，－ a 2＋a＝－ . 55554整理，得8a 2－33a＝0 解得a1＝当a＝33，a2＝0（不合题意，舍去），
    8273333时，－ a 2＋a＝，
    558323333∴点M（，）.
    83223233333，），M（，）.
    883232【知识点】待定系数法求函数解析式；二元一次方程组；相似三角形的判定与性质；一元二次方程

    综上，满足条件的点有两个，分别是M（

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