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普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学

一、 选择题：本大题共10小题， 每小题4分， 共40分。每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合， 那么

A.（-1,2） B.（0， 1） C.（-1,0） D.（1,2）

2.椭圆的离心率是

A. B. C. D.

3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）， 则该几何体的体积（单位：）是

A. B. C. D.

4.若x,y满足约束条件的取值范围是

A.[0,6] B. [0,4] C.[6, D.[4,

5.若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m

A. 与a有关， 且与b有关 B. 与a有关， 但与b无关

C. 与a无关， 且与b无关 D. 与a无关， 但与b有关

6.已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.函数的图像如图所示， 则函数的图像可能是

8．已知随机变量满足P（=1）=pi， P（=0）=1—pi， i=1， 2.若0<p1<p2<， 则

A．<， < B．<， >

C．>， < D．>， >

9．如图， 已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥）， P， Q， R分别为AB， BC， CA上的点， AP=PB， ， 分别记二面角D–PR–Q， D–PQ–R， D–QR–P的平面角为α,β,γ， 则

A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α

10．如图， 已知平面四边形ABCD， AB⊥BC， AB＝BC＝AD＝2， CD＝3， AC与BD交于点O， 记 ， ， ， 则

A．I１<I２<I３ B．I１<I３<I２ C． I３< I１<I２ D． I２<I１<I３

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题， 多空题每题6分， 单空题每题4分， 共36分。

11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π， 理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”， 将π的学科.网值精确到小数点后七位， 其结果领先世界一千多年， “割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6， S6= 。

12．已知a， b∈R， （i是虚数单位）则 ， ab= 。

13．已知多项式2=， 则=________________， =________.

14．已知△ABC， AB=AC=4， BC=2. 点D为AB延长线上一点， BD=2， 连结CD， 则△BDC的面积是___________,cos∠BDC=__________.

15.已知向量a,b满足， 则的最小值是 ， 最大值是 。

16.从6男2女共8名学生中选出队长1人， 副队长1人， 普通队员2人组成4人服务队， 要求服务队中至少有1名女生， 共有 种不同的选法.（用数字作答）

17.已知， 函数在区间[1,4]上的最大值是5， 则a的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题， 共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）已知函数

（）求的值

（）求的最小正周期及单调递增区间.

19. （本题满分15分）如图， 已知四棱锥P-ABCD， △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BC∥AD， CD⊥AD， PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

（）证明：CE∥平面PAB；

（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

20. （本题满分15分）已知函数

（）求的导函数

（）求在区间上的取值范围

21. （本题满分15分）如图， 已知抛物线.点A， 抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线， 垂足为Q

（）求直线AP斜率的取值范围；

（）求的最大值

22. （本题满分15分）已知数列满足：

证明：当时

（）;

（）；

()

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分， 满分40分。

1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分， 单空题每题4分， 满分36分。

11. 12.5,2 13.16.4 14. 15. 4， 16.660 17.

三、解答题：本大题共5小题， 共74分。

18.本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识， 同时考查运算求解能力。满分14分。

（）由，

得

（）由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

解得

所以的单调递增区间是

19.本题主要考查空间点、线、面位置关系， 直线与平面所成的角等基础知识， 同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）如图， 设PA中点为F， 连结EF， FB.

因为E， F分别为PD， PA中点， 所以EF∥AD且，

又因为BC∥AD， ， 所以

EF∥BC且EF=BC，

即四边形BCEF为平行四边形， 所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB.

（Ⅱ）分别取BC， AD的中点为M， N.连结PN交EF于点Q， 连结MQ.

因为E， F， N分别是PD， PA， AD的中点， 所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中， MQ∥CE.

由△PAD为等腰学科&网直角三角形得

PN⊥AD.

由DC⊥AD， N是AD的中点得

BN⊥AD.

所以 AD⊥平面PBN，

由BC∥AD得 BC⊥平面PBN，

那么， 平面PBC⊥平面PBN.

过点Q作PB的垂线， 垂足为H， 连结MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影， 所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.

设CD=1.

在△PCD中， 由PC=2， CD=1， PD=得CE=，

在△PBN中， 由PN=BN=1， PB=得QH=，

在Rt△MQH中， QH=， MQ=，

所以 sin∠QMH=，

所以， 直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.

20.本题主要考查函数的最大（小）值， 导数的运算及其应用， 同时考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

（Ⅰ）因为 =1-12x-1,(e-x)'=-e-x' class='_4'>=1-12x-1,(e-x)'=-e-x' class='_4'>

所以x=1-12x-1e-x-(x-2x-1)e-x' class='_4'>x=1-12x-1e-x-(x-2x-1)e-x' class='_4'>

=.

（Ⅱ）由x=1-x2x-1-2e-x2x-1=0' class='_4'>x=1-x2x-1-2e-x2x-1=0' class='_4'>

解得

或.

因为

又，

所以f（x）在区间[）上的取值范围是.

22. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识， 不等式及其应用， 同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。

（Ⅰ）用数学归纳法证明：>0

当n=1时， x1=1>0

假设n=k时， xk>0，

那么n=k+1时， 若xk+10,则， 矛盾， 故>0。

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数f(x)在[0,+∞）上单调递增， 所以=0,

因此

（Ⅲ）因为

所以得

故

21. 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识， 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k,

k=，

因为， 所以直线AP斜率的取值范围是（-1， 1）。

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是

因为

|PA|==

|PQ|= =，

所以

|PA||PQ|= -（k-1）(k+1)3

令f(k)= -（k-1）(k+1)3，

因为

f’(k)=，

所以 f(k)在区间（-1， ）上单调递增， （， 1）上单调递减，

因此当k=时， |PA||PQ| 取得最大值