2019年贵州省安顺市中考数学试卷

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）2019的相反数是（　　）

A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．

2．（3分）中国陆地面积约为9600000km2，将数字9600000用科学记数法表示为（　　）

A．96×105 B．9.6×106 C．9.6×107 D．0.96×108

3．（3分）如图，该立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）

A．（a2b）3＝a5b3 B．（3a2）3＝27a6

C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2

5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

7．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC

8．（3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）

A． B．2 C． D．

9．（3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：

①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；

②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．

则下列说法错误的是（　　）

A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE

C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝

10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：

①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．

其中正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．

12．（4分）若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝　 　．

13．（4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为　 　．

14．（4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为　 　．

15．（4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2＝　 　．

16．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差为　 　．

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．

18．（4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣+cos60°+（）0+82019×（﹣0.125）2019．

20．（10分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．

21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

22．（10分）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（M•N）＝logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式　 　；

（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　．

23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有　 　，n＝　 　；

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　 　度；

（3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

24．（12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB，AD，DC之间的等量关系　 　；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年贵州省安顺市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）

1．【解答】解：2019的相反数是﹣2019，

故选：A．

2．【解答】解：将960 0000用科学记数法表示为9.6×106．

故选：B．

3．【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．

故选：C．

4．【解答】解：A．（a2b）3＝a6b3，故选项A不合题意；

B．（3a2）3＝27a6，故选项B符合题意；

C．a6÷a2＝a4，故选项C不合题意；

D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．

故选：B．

5．【解答】解：∵m2+1＞0，

∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，

∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，

故选：D．

6．【解答】解：

∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，

∴∠3＝55°，

∴∠2＝∠3＝55°，

故选：C．

7．【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；

选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；

选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．

故选：A．

8．【解答】解：作直径CD，

在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，

则OD＝＝4，

tan∠CDO＝＝，

由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，

则tan∠OBC＝，

故选：D．

9．【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，

在Rt△ADE中，cosD＝＝，

∴∠D＝60°，

∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；

∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，

而AB＝2DE，

∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；

若AB＝4，则DE＝2，

∴AE＝2，

在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；

作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，

设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，

在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，

∴CH＝a，EH＝a，

∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．

故选：C．

10．【解答】解：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，

∴abc＞0，故正确；

②∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；

③当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，

∴a﹣b+c＞0，故正确

④设C（0，c），则OC＝|c|，

∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，

∴ac+b+1＝0，故正确；

故正确的结论有①③④三个，

故选：B．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，

解得x≥2．

故答案为：x≥2．

12．【解答】解：∵|a+1|+＝0，

∴，

解得a＝﹣1，b＝2，

∴a+b＝﹣1+2＝1．

13．【解答】解：根据题意得2π×2＝，

解德l＝6，

即该圆锥母线l的长为6．

故答案为6．

14．【解答】解：设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，

依题意，得：﹣＝20．

故答案为：﹣＝20．

15．【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，

∴△AOB的面积为k1﹣2，

∴k1﹣2＝4，

∴k1﹣k2＝8，

故答案为8．

16．【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3…，xn的方差为2，

∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为32×2＝18．

故答案为18．

17．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，

∴AD＝＝，

∴MN的最小值为；

故答案为：．

18．【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，

∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，

故答案为2019

三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

19．【解答】解：原式＝﹣﹣3++1+（﹣0.125×8）2019＝﹣3+﹣1＝﹣3．

20．【解答】解：原式＝×

＝，

解不等式组得﹣2＜x＜4，

∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，

∵要使原分式有意义，

∴x可取0，2．

∴当x＝0 时，原式＝﹣3，

（或当x＝2 时，原式＝﹣）．

21．【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b

当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；

∴，

解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；

（2）由题意得：

（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，

整理得：x2﹣10x+9＝0，

解得：x1＝1．x2＝9，

∵让顾客得到更大的实惠，

∴x＝9，

答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．

22．【解答】解：（1）4＝log381（或log381＝4），

故答案为：4＝log381；

（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN；

（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．

故答案为：2．

23．【解答】解：（1）180÷45%＝400，

所以本次参与调查的学生共有400人，

n＝1﹣＝5%﹣15%﹣45%＝35%；

（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角＝360°×35%＝126°，

故答案为400；35%；126；

（3）D等级的人数为400×35%＝140（人），

补全条形统计图为：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，

∴P（小明去）＝＝

P（小刚去）＝1﹣＝

∵≠

∴这个游戏规则不公平．

24．【解答】解：（1）AD＝AB+DC

理由如下：∵AE是∠BAD的平分线

∴∠DAE＝∠BAE

∵AB∥CD

∴∠F＝∠BAE

∴∠DAF＝∠F

∴AD＝DF，

∵点E是BC的中点

∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF

∴△CEF≌△BEA（AAS）

∴AB＝CF

∴AD＝CD+CF＝CD+AB

（2）AB＝AF+CF

理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC（AAS）

∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分线

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，

∴AB＝AF+CF

25．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：

连结OD、AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

而AO＝BO，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴OD⊥DH，

∴DH为⊙O的切线；

（2）证明：连结DE，如图，

∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，

∴∠DEC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH＝EH，即H为CE的中点；

（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，

∵cosC＝＝，

∴AC＝5，

在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，

∴CH＝，

∴CE＝2CH＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．

26．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：

，解得：，

∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；

（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，

∵A （0，3），∴B（﹣4，1）

①当点B、C、M三点不共线时，

|MB﹣MC|＜BC

②当点B、C、M三点共线时，

|MB﹣MC|＝BC

∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，

过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB﹣MC|取最大值为；

（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）

在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，

在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，

过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，

过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°

∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA

∵∠PGA＝∠ACB＝90°

∴①当时，

△PAG∽△BAC，

∴＝，

解得x1＝1，x2＝0，（舍去）

∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，

∴点P为（1，6）；

②当时，

△PAG∽△ABC，

∴＝3，

解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），

∴此时无符合条件的点P

综上所述，存在点P（1，6）．